ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО ЗАДАНИЯ

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия и определения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (дифференциальное уравнение, д.у.) относительно функции - это уравнение, содержащее производные неизвестной функции . Порядок старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком д.у. В общем виде д.у. первого порядка записывается так:

(1.1)

Если уравнение (1.1) можно разрешить относительно производной , то получим д.у. первого порядка, разрешенное относительно производной

(1.2)

Представив производную как отношение дифференциалов: , д.у. (1.2) можно записать в дифференциальной форме

(1.3)

Здесь функции известные функции указанных аргументов.

В инженерной практике большое применение имеет задача Коши: найти решение д.у. (1.2), удовлетворяющее начальным условиям:

при (1.4)

Теорема Пикара (достаточное условие существования и единственности решения задачи Коши): если в окрестности точки функция непрерывна и ее частная производная ограничена, то решение задачи Коши (1.2), (1.4) существует и единственно.

Общим решением д.у. 1-го порядка называется однопараметрическое семейство его решений:

(1.5)

где функция такая, что решение задачи Коши (1.2), (1.4) для тех точек , где оно существует и единственно, может быть получено из формулы (1.5) выбором произвольной постоянной С. Частным решением называется решение (1.5) при фиксированной постоянной С. Особым решением д.у. называется такое его решение, которое из (1.5) не может быть получено выбором постоянной С. Нахождение решений д.у. называется интегрированием д.у. Решение д.у. в неявной форме называется интегралом д.у. (частным, общим или особым).

2. Методы интегрирования д.у. первого порядка

2. 1. Уравнения простейшего типа: . Общее решение имеет вид:

(2.1)

2. 2. Уравнения с разделенными переменными:

(2.2)

Общий интеграл уравнения (2.2) имеет вид

(2.3)

2. 3. Уравнения с разделяющимися переменными (УРП):

(или ) ( 2.4 )

Разделив обе части уравнения на (), придем к уравнению с разделенными переменными. Общий интеграл уравнения (2.4):

(2.5)

2. 4. Однородные уравнения: или

, (2.6)

где однородные функции одного порядка , т.е.

Заменой или однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными (2. 4).

2. 5. Линейное уравнение первого порядка:

(2.7)

Решение уравнения можно найти методом Бернулли и методом Лагранжа. Согласно методу Бернулли решение ищется в виде произведения двух функций: , что приводит к системе простых уравнений:

- (2.8)

общее решение уравнения (2.7).

2. 6. Уравнение Бернулли: ,

Метод Бернулли: приводит к системе уравнений

- (2.9)

общее решение уравнения Бернулли.

2. 7. Уравнения в полных дифференциалах.

Для того чтобы уравнение

(2.10)

было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы функции были непрерывными в некоторой области , и чтобы выполнялось условие в области :

(2.11)

Тогда общий интеграл уравнения (2.10) имеет вид:

, (2.12)

где потенциал определяется из системы уравнений

(2.13)

Для определения можно пользоваться готовой формулой [1]:

, (2.14)

где любая точка из области .

3. Д.у. второго порядка. Основные понятия и определения

В этом пункте в основном повторяются положения п. 1. Д.у. 2-го порядка в общем виде записывается так:

(3.1)

Если уравнение (3.1) можно разрешить относительно , то получим д.у. 2-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

(3.2)

Формулировка задачи Коши: найти решение уравнения (3.2), удовлетворяющее начальным условиям:

при (3.3)

где известные числа.

Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши: если в окрестности точки функция непрерывна и ее частные производные ограничены, то решение задачи Коши (3.2), (3.3) существует и единственно.

Общим решением д.у. (3.2) называется двухпараметрическое семейство его решений

, (3.4)

где функция такая, что решение задачи Коши (3.2), (3.3) для тех точек , где оно существует и единственно, может быть получено из формулы (3.4) выбором произвольных постоянных и .

Частным решением называется решение (3.4) при фиксированных значениях и . Особое решение д.у. - это такое его решение, которое не может быть получено из формулы (3.4) выбором произвольных постоянных и .

4. Уравнения, допускающие понижение порядка

4.1. Если в уравнении (3.1) или (3.2) не содержится явно функции , то порядок уравнения можно понизить введением новой функции :

(4.1)

4. 2. Если в уравнении (3.1) или (3.2) не содержится явно переменной интегрирования : , то порядок уравнения можно понизить введением новой переменной интегрирования (вместо переменной ) и новой неизвестной функции :

(4.2)

5. Линейные однородные уравнения второго порядка

В данной работе мы рассматриваем только линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОУ) второго порядка с постоянными коэффициентами. Более полное изложение вопроса см. в работе .

, (5.1)

где известные числа.

ЛОУ имеют фундаментальные системы решений (Ф.С.Р.). Для ЛОУ 2-го порядка - это два линейно независимых частных решений . Они удовлетворяют условию:

Общее решение ЛОУ - линейная комбинация уравнений фундаментальной системы:

. (5.2)

Частное решение ищем в виде . Для определения

получаем характеристическое уравнение

В зависимости от корней характеристического уравнения строим Ф.С.Р. и находим общее решение по следующим правилам, приведенным в таблице

Таблица 1

,
,

6. Линейные неоднородные уравнения второго порядка

Рассматриваем линейные неоднородные уравнения (ЛНУ) второго порядка с постоянными коэффициентами

, (6.1)

где известные числа, известная функция аргумента .

Общее решение ЛНУ есть сумма общего решение соответствующего ему ЛОУ (5.1) и частного решения ЛНУ (6.1):

(6.2)

Если правая часть уравнения (6.1) сумма нескольких функций, например, , то его частное решение сумма частных решений ЛНУ с правыми частями соответственно:

, (6.3)

где частное решение ЛНУ ,

частное решение ЛНУ .

В инженерной практике распространен метод подбора для правых частей ЛНУ (6.1) специального вида (метод неопределенных коэффициентов)

(6.4)

где известные числа, известные многочлены порядков соответственно. Алгоритм подбора вида частного решения приведен в таблице 2. Обозначено: , многочлены порядка с неопределенными коэффициентами, ,

корни характеристического уравнения .

Таблица 2

Вид функции	Вид частного решения
1. Общий случай	, где
2. Частный случай: . Тогда	Тогда
3. Частный случай: Тогда . многочлен порядка с неизвестными коэффициентами	, где

Метод неопределенных коэффициентов нельзя применить, если правая часть уравнения (6.1) неспециального вида. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) можно применить всегда, если найдена ФСР соответствующего однородного уравнения.

Согласно методу Лагранжа решение уравнения (6.1) ищется в виде

(6.5)

Неизвестные функции находятся из системы уравнений

(6.6)

Отсюда

, (6,7)

где произвольные постоянные.

Подставив формулы (6.7) в выражение (6.5), получим общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНУ) (6.1).

7. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.

Рассмотрим систему из двух уравнений относительно функций

, (7.1)

где известные числа.

Согласно методу Эйлера решение системы (7.1) ищем в виде

или в матричном виде (7.2)

Параметр находится из характеристического уравнения [1] (7.3)

Числа , соответствующие характеристическому числу , находятся из системы уравнений

(7.4)

Если корни уравнения (7.3) вещественны и различны (, то общее решение системы (7.1) имеет вид:

(7.5)

8. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Операционный метод.

Полное изложение метода дано в учебнике [1]. В основе метода преобразование Лапласа функции

,

где . Функция называется оригиналом, ее изображением. Принято обозначение ¸ . В таблице 3 приведены изображения основных элементарных функций. Основные теоремы операционного исчисления см. в учебнике [1].

Таблица 3

№	Оригинал	Изображение	№	Оригинал	Изображение

9. Пример выполнения типового расчета

Задания 1 - 8, 10 -13. Найти общие решения (общие интегралы) дифференциальных уравнений. Где указано, найти решение задачи Коши.

Задание 1. .

Решение. Это уравнение простейшего типа. Его общее решение имеет вид (2.2):

Под знаком интеграла неправильная дробно-рациональная функция. Выделяем целую часть

.

Интегрируя, получим

Ответ:

Задание 2.

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными (см. (2.4.)). Запишем уравнение в дифференциальной форме:

Разделив обе части уравнения на , получим уравнение с разделенными переменными

Общий интеграл уравнения (см. (2.5)) имеет вид:

Ответ:

Задание 3. Найти решение задачи Коши: .

Решение. Найдем сначала общее решение уравнения. Это линейное уравнение (см.(2.7.)). Решение уравнения ищем в виде:
. Уравнение примет вид

Выберем функцию так, чтобы тогда приходим к системе уравнений (см. (2.8)):

Уравнение (9.1) - УРП. Разделим переменные

Выберем одно решение этого уравнения (С=0):

Находим решение уравнения (7.2):

Общее решение уравнения имеет вид: .

Найдем решение задачи Коши. Найдем значение постоянной С из условия: при . Имеем

.

Ответ. Решение задачи Коши: .

Задание 4. .

Решение. Это уравнение Бернулли (см.п. 2.6.). Решение ищем методом Бернулли:

.

Уравнение примет вид:

Выберем функцию так, чтобы . Приходим к системе уравнений

Найдем какое-нибудь решение уравнения (7.3).

Тогда .

Уравнение (7.4) примет вид

Общий интеграл уравнения: . Отсюда

Ответ. Общее решение:

Задание 5. .

Решение. Правая часть этого уравнения есть функция . Следовательно, это однородное уравнение (см.п. 2.4). Делаем замену . Тогда

Уравнение примет вид

Это УРП. Разделяем переменные

Отсюда

Подставив , получим общий интеграл уравнения.

Ответ.

Задание 6.

Решение. Обозначим . Тогда

.

Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах. Общий интеграл уравнения (см. п. 2.7): ,

где функция находится из системы уравнений (2.13):

Интегрируем уравнение (7.5):

, (9.7)

где неизвестная дифференцируемая функция аргумента .

Подставим (7.7) в уравнение (7.6):

Отсюда .

Согласно формуле (7.7)

Ответ. Общий интеграл

Задание 7.

Решение. Это уравнение второго порядка и явно не содержит функции . Согласно пункту (4.1) вводим новую функцию и приходим к системе уравнений

Уравнение (7.8) - УРП. Разделяем переменные (положить )

.

Отсюда (учесть, что ) получим

Подставляем в уравнение (9.9). Оно простейшего типа.

Согласно (2.1)

.

Ответ. Общее решение .

Задание 8.

Решение. Дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно переменной «». Согласно (4.2) считаем переменной интегрирования и полагаем .

Приходим к системе уравнений

Разделяем переменные в уравнении (7.10):

Отсюда . Уравнение (7.11) примет вид

Это уравнение с разделяющимися переменными (УРП):

Ответ. Общий интеграл уравнения: .

Задание 9. Даны корни характеристического уравнения ЛОУ второго порядка с постоянными коэффициентами: . Правая часть ЛНУ: Написать частное решение ЛНУ (коэффициенты не находить).

Решение. Правая часть уравнения - сумма трех функций специального вида: , где

1) многочлен второго порядка, ;

2)

3) .

Согласно таблице 2 частное решение ЛНУ, соответствующее , имеет вид: ; функции -

; функции

.

Частное решение ЛНУ с функцией в правой части имеет вид:

+ .

Коэффициенты неизвестны.

Ответ.

Задание 10. .

Решение. Это ЛНУ второго порядка с правой частью специального вида (таб.2, п.3). Находим общее решение однородного уравнения

Характеристическое уравнение

.

Его корни .

Следовательно (см. таб.1), общее решение ЛОУ имеет вид

В правой части ЛНУ многочлен второго порядка, кроме того

Частное решение ЛНУ (см.табл.2, п.3) ищем в виде

. Тогда

Подставив в исходное уравнение , получим

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева:

Частное решение имеет вид

Общее решение имеет вид

Ответ.

Задание 11.

Решение. Это ЛНУ второго порядка с правой частью специального вида (таб.2, п.3). Находим общее решение однородного уравнения

Характеристическое уравнение

имеет корни . Общее решение ЛОУ (см. табл. 1)

Найдем частное решение ЛНУ. Его правая часть специального вида

Частное решение ищем в виде

. Тогда

.

Подставив в исходное уравнение , получим

Частное решение ЛНУ имеет вид , общее решение -

Ответ.

Задание 12.

Решение. Это ЛНУ второго порядка с правой частью нестандартного вида. Находим фундаментальную систему решений ЛОУ:

Его характеристическое уравнение

Корни уравнения .

Фундаментальная система решений (см.табл.1)

Тогда

Решение ЛНУ ищется в виде

(9.12)

Система уравнений (6.6) для определения примет вид

Используем формулы Крамера. Определитель системы

(проверьте!)

Вспомогательные определители

Итак,

Тогда

Здесь произвольные постоянные.

Подставляя в формулу (9.12) получим общее решение ЛНУ.

Ответ.

Задание 13. Найти решение задачи Коши: , (9.13)

(9.14)

Решение. Найдем общее решение ЛНУ (9.13). Его правая часть специального вида. Используем метод неопределенных коэффициентов.

Характеристическое уравнение

Общее решение однородного уравнения (см. табл.1)

(9.15)

Правая часть ЛНУ ,

Следовательно, (см. табл.2), частное решение надо искать в виде:

.

Дифференцируем и подставляем в уравнение (9.13):

,

(7.13): .

Приравниваем коэффициенты при и при справа и слева

Частное решение уравнения (7.13): .

Общее решение уравнения (7.13):

(9.16)

Отсюда (9.17)

Найдем решение задачи Коши. Подставим в (7.16) и (7.17)

Ответ. Решение задачи Коши

Задание 14. Найти решение задачи Коши системы тремя методами: методом исключения, методом Эйлера, операторным методом.

, . (9.18)

Решение. Подробное изложение данной темы см. в [1].

Метод исключения.

Дифференцируем по аргументу «» одно из уравнений системы, например, первое:

Подставляем из второго уравнения

(9.19)

Из первого уравнения находим

и подставляем его в уравнение (9.19)

.

Т.о., мы приходим к системе уравнений

Первое уравнение системы - ЛОУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение

Общее решение (см. табл. 1) имеет вид

(9.20)

Тогда . Второе уравнение системы дает

(9.21)

В уравнениях (7.20) и (7.21) положим :

.

Подставляем в уравнения (7.20) и (7.21) и получаем решение задачи Коши.

Ответ. ,

Метод Эйлера. Характеристическое уравнение (9.3) системы имеет вид

.

Отсюда

Числа , соответствующие собственному числу находим из системы (см. (7.4))

.

Аналогично, числа , соответствующие собственному числу находим из системы (см. (7.4))

.

Два линейно независимых частных решений системы имеют вид

Общее решение

.

В развернутом виде общее решение системы -

Положим . Тогда

Решение задачи Коши имеет вид

Получен тот же результат, что и методом исключения.

Операционный метод. Обозначим изображения неизвестных функций

¸ ¸

Тогда изображения производных (см.п.8)

¸ ¸

Изображение системы (7.18) имеет вид

Решение системы находим по формулам Крамера.

Определитель системы ,

Операторное решение системы уравнений (7.8) имеет вид

По таблице 3 изображений и оригиналов находим

¸ , ¸

Тогда решение задачи Коши (7.8) имеет вид

, ,

что совпадает с решением по другим методам.

Ответ. , .

Задание 15. Тело массой подброшено вертикально вверх с поверхности планеты () со скоростью и замедляет движение под действием веса тела и силы сопротивления среды: где расстояние от тела до начала координат в момент времени Найти закон движения тела и время первой остановки тела.

Решение.

В заданиях 15 используется второй закон Ньютона:

, где вектор ускорения, масса тела, суммарный вектор действующих сил.

Если движение прямолинейное, ось направлена вертикально вверх и расстояние от начала координат до движущегося тела в момент времени , то уравнение движения согласно условию задачи примет вид:

Это ЛНУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

Частное решение (см. табл.2) ищем в виде

.

Для определения получаем уравнение:

Общее решение ЛНУ

Начальные условия: (в начальный момент времени тело находилось на поверхности планеты - в начале координат);

.

Для определения имеет систему уравнений

Закон движения тела:

Скорость тела: .

Время первой остановки тела (скорость равна нулю):

Поиск по сайту: