Теоретические сведения. Тема: «Использование обыкновенных жордановых исключений в линейной алгебре»

Лабораторная работа № 1

Тема: «Использование обыкновенных жордановых исключений в линейной алгебре»

Цель работы: используя обыкновенные жордановы исключения (ОЖИ) решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами.

Содержание отчета

1. Условие лабораторной работы (постановка задачи).

2. Исходная таблица для первого способа.

3. Все таблицы ОЖИ для получения обратной матрицы.

4. Проверка обратной матрицы и решение для первого способа.

5. Исходная таблица для второго способа.

6. Все таблицы ОЖИ и решение для второго способа.

7. Текст программы решения задачи.

8. Экранные формы программы.

Теоретические сведения

В вычислительных процедурах симплекс-метода (и не только его) широко используется аппарат так называемых жордановых исключений (обыкновенных и модифицированных).

Пусть рассматривается система

, (1.1.1)

из линейных форм с независимыми переменными . Эта система может быть записана в виде таблицы

		...		...
		...		...
...	.	.	.	.	.
		...		...
...	.	.	.	.	.
		...		...

(1.1.2)

Будем называть шагом обыкновенного жорданова исключения, произведенным над таблицей (1.1.2) с разрешающим элементом , с r -й разрешающей строкой и s ­м разрешающим столбцом, схематизированную операцию перемены ролями зависимой переменной и независимой , т.е. операцию решения уравнения

(1.1.3)

относительно , подстановки его во все остальные уравнения системы (1.1.1) и записи полученной системы в виде новой таблицы, аналогичной (1.1.2).

А именно, если , то из (1.1.3):

,

и

Полученная система может быть записана аналогично (1.1.2) в виде таблицы:

		...		...
		...		...
...	.	.	.	.	.
		...		...			(1.1.4)
...	.	.	.	.	.
		...		...

Таким образом, один шаг ОЖИ с разрешающим элементом переводит таблицу (1.1.2) в новую таблицу (1.1.4) по схеме, состоящей из следующих пяти правил:

1. Разрешающий элемент заменяется единицей.

2. Остальные элементы разрешающего столбца (s ­го) остаются без изменений.

3. Остальные элементы разрешающей строки (r -й) меняют лишь свои знаки.

4. Остальные элементы с координатами () вычисляются по формуле .

5. Все элементы новой таблицы делятся на разрешающий элемент , что в табл. (1.1.4) изображено символически делением всей таблицы на .

Примечание. Приведенная выше последовательность удобна лишь для ручных вычислений, когда новая таблица записывается отдельно. В машинной же реализации все вычисленные элементы новой таблицы с целью экономии памяти (а размерность реальной задачи бывает очень велика) можно записывать на место старых (в тот же массив), если изменить порядок вычислений:

1. Элементы с координатами () вычисляются по формуле .

2. Остальные элементы разрешающего столбца (s ­го) делятся на .

3. Остальные элементы разрешающей строки (r -ой) делятся на .

4. Разрешающий элемент заменяется на .

Примечание. Приведенный алгоритм можно еще оптимизировать с целью минимизации времени выполнения его программной реализации.

Для решения системы линейных уравнений с неизвестными

, , (1.1.5)

где ранг матрицы равен n, можно указать несколько вариантов применения жордановых исключений.

1 способ. Система (1.1.5) может быть записана в виде таблицы

		...
		...
...	.	.	.
		...

Проделав последовательно n шагов ЖИ и упорядочив (если разрешающие элементы брались не по главной диагонали) строки и столбцы, получим:

		...
		...
...	.	.	.	,
		...

т.е. . Полученная матрица C = { c_ij } является матрицей, обратной заданной , т.е. .

2 способ. Перепишем систему (1.1.5) в виде

		...
		...
...	.	.	.	.
		...

Произведя последовательно n шагов ЖИ с разрешающими столбцами, отличными от столбца свободных членов, и вычеркивая после каждого шага столбец под переброшенным наверх нулем, получим окончательное решение в виде:

...	...

Примечание. Если ранг матрицы меньше n, то второй способ решения приводит к таблице вида:

		...
		...
...	.	...	.	.
		...
		...
...	.	.	.	.
		...

Если хотя бы один из , , не равен нулю, то система (1.1.5) решений не имеет. В противном случае – множество решений.

Варианты заданий *

Используя обыкновенные жордановы исключения, вычислить матрицу, обратную данной матрице А, и решить систему линейных уравнений Ax = b двумя способами: 1) с помощью обратной матрицы; 2) предварительно приведя систему виду Ax – b = 0.

В приведенных вариантах рассматривается система уравнений

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + a ₁₃ x ₃ = b ₁;

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + a ₂₃ x ₃ = b ₂;

a ₃₁ x ₁ + a ₃₂ x ₂ + a ₃₃ x ₃ = b _3.

_{________________________________________________________________________________}

*) использование вариантов заданий из /5/ согласовано с автором.

Поиск по сайту: