 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Нахождение наиболее выгодных условий измерения
Теми же приемами дифференциального исчисления удается решить, хотя и не всегда, задачу о нахождении наиболее выгодных условий измерения.
Наиболее выгодные условия измерения, очевидно, будут иметь место в том случае, когда ошибка результата оказывается наименьшей. Отсюда следует, что с математической стороны вопрос приводится к нахождению условий минимума выражений (2-20) в простейшем случае и (2-23) в более сложном случае. Для этого надо воспользоваться общими правилами, принятыми в дифференциальном исчислении для нахождения минимумов функции одного или нескольких переменных, а именно:
1) В первом случае надо найти производную выражения (2-19) по x и, приравняв ее к нулю, определить отсюда соответствующее значение x; пусть оно оказалось равным а. Берем вторую производную функции (2-19) по x и в ее выражение вставляемвместо x его значение а; если при x, равном а, вторая производная оказывается положительной, то функция (2-19) при x, равном а, имеет минимум.
2) Во втором случае надо найти частные производные первого порядка выражения (2-23) по всем независимым переменным и из полученных уравнений, приравнивая их нулю, определить значения всех переменных. Дополнительными условиями минимума вновь будет определение знака частных производных второго порядка при найденных значениях переменных.
Определение наиболее выгодных условий измерения не всегда дает положительный результат, так как не все функции имеют минимум. Но в некоторых случаях определение условий минимума ошибки, т.е. определение наиболее выгодных условий измерения, может быть выполнено очень просто.
Пример. При определении сопротивления проводников методом мостика сопротивление Rx вычисляется по формуле
, (2-26)
где R0 – эталон сопротивления, а l1 и l2 – части измерительной проволоки мостика, на которые ее делит подвижной контакт при его установке на нулевое отклонение гальванометра. Определим наиболее выгодное положение подвижного контакта (т.е. относительно длину l1 и l2), при котором ошибка измерения оказывается наименьшей.
Длину всей измерительной проволоки будем считать постоянной, обозначим ее через L. Очевидно,
L1 + l2 = L,
И формулу (2-26) можно написать так:
.
Находим натуральный логарифм этого выражения:
1n Rx = 1n R0 + 1n l1 – 1n (L – l1).
Вычисляем дифференциал этого выражения, причем в первой части берем сумму абсолютных величин всех членов, т.е. находим, согласно формуле (2-20), значение относительной ошибки измерения:
.
Это выражение будет иметь минимум при минимуме коэффициента, стоящего при dl; обозначая его через Z, т.е. полагая
, (2-27)
находим первую и вторую производные Z по l1:
.
При всех возможных значениях l1 всегда меньше L. Поэтому функция (2-27) имеет минимум при том значении l1, которое получится, если первую производную положить равной нулю; таким образом можно написать:
;
отсюда получаем:
, (2-28)
т.е. наиболее выгодные условия измерения будут иметь место в том случае, когда подвижной контакт находится посередине (l1 = l2 =L/2) измерительной проволоки. Согласно формуле (2-26), для этого необходимо, чтобы эталон R0 были (приблизительно) равны по величине.
Поиск по сайту: