ФРУ космологиясы

Фридманның космологиясы салыстырмалылық жалпы теориясына негізінде құралған [18]. Мұнда төрт өлшемді кеңістік уақыты псевдоримановты геомтрияны құрайды. Сәйкесінше Фридман моделі үшін интервал сфералық координатта былай жазылады:

(1.5)

мұндағы мәндерін қабылдайды. егер координатасының орнына жанадан координатасын енгізсек, онда

(1.6)

ал космологиялық уақыт үшін өлшемсіз комформды уақытты қойсақ, онда

. (1.7)

Онда (1.7) метрикасын мынадай түрде жазамыз:

. (1.8)

Онда Эйнштейн теңдеуі, (1.1) өрнегінді келесі түрде жазылады:

(1.9)

, (1.10)

мұнда штрихпен дифференциал комформды уақытпен белгіленген.

Бұл теңдеу системасын шешу үшін импульс энергиясының компонент тензорына нақты түр беру керек. Оны әдетте импульс энергиясының тензорын шынайы сұйықтыққа

, (1.11)

бағыттас санақ жүйесінде үшін таңдайды. (1.9)-(1.11) теңдеуі Ғалам эволюциясының есебін шешуге толықтай мүмкіндік береді, егер баротропты сұйықтық жағдайының теңдеуі белгілі болса . (1.11)-ны (1.10)-ға қоятын болсақ, Фридман теңдеуінің жүйесін аламыз.

. (1.12)

. (1.13)

Мысалы, ультрарелятивистік орта үшін күй теңдеуі тең, жалпы салыстырмалылық теориясының теңдеуі келесі Ғалам эволюциясының үш режиміне алып келеді; гиперболалық , ; эллиптикалық , және параболалық ұлғаю.

Космологиялық ұлғаюының себебінің бірі алыстағы көздердің сәулеленуіңің спекторлық сызықтарының қызыл шекарасына ығысуы. ол төмендегі өрнекпен беріледі

. (1.14)

мұндағы - жарықтың түсу мезеті болғанда уақыт, ал оның - берілген нүктеге кіру мезеті. қаншалықты қызыл жолақ жарықтың түсу мезетінде анықталады, онда, осы мезеттегі космологиялық уақыт мәндерін көрсету орнына, оларды қызыл жолақты мәндермен сипаттауға болады. Сонымен, заманауый дәуірге сәйкес ал сингулярлық кезеңі

Қызыл жолақ уақыт пен осындай космологиялық шама рөлін атқара алды, былай, мысалы, заттың тығыздығы (1.1):

. (1.15)

Бұл теңдеу Ғаламның стационарлы емес ұлғаю күйін сипаттайды.

2 ЖАЛПЫ САЛЫСТЫРМАЛЫ ҚОЗҒАЛЫС ТЕҢДЕУЛЕРІ ЖӘНЕ ТЕЛАПАРАЛЛЕЛЬ ГРАВИТАЦИЯ

2.1 ЖСТ дағы сынамалы бөлшектің қозғалыс теңдеуі

Гравитациялық өрістің әсері Ньтондық механикадағы бөлшектердің қозғалысымен жақсы түсіндірілген. Бөлшектердің қозғалыс теңдеуі (бұл жағдайда инерциялық масса) сол жағындағы сынамалы бөлшектің қозғалыс теңдеуі бөлшектердің массасына көбейтіледі, ал теңдеудің оң жағы гравитациялық күш болып қалады. Гравитациялық күш, өз кезегінде,гравитация тарапынан (бұл жағдайда гравитациялық масса) сынамалы бөлшектің қозғалыс теңдеуі масса туғызады:

. (2.1)

Дененің инерциялық массасы гравитациялық массасына тең болғандықтан (бұл эквиваленттік принцип бұл тұжырым бірнеше рет экспериментті түрде дәлелденген), сынамалы бөлшектер қозғалысы массаға байланысты емес – құстың қауырсыны мен тас(кірпіш) гравитациялық өрісте бірдей жылдамдықпен құлайды (ауаның кедергісін ескермегенде).

Уақыт – жалпы салыстырмалық теорияның гравитациялық күші қисықтық кеңістігіндегі рөлі. Гравитациялық өрістегі қозғалыс, ол – қисықтық кеңістігіндегі қозғалыс, түзу сызықты қозғалыстан ауытқу – ол қозғалыстың уақыт бойынша ауытқуы қисықтық кеңістігінде туындайды.

Арнайы салыстырмалы теориядағы қозғалыстың бірінші теңдеуін еске түсірейік.

АСТ – дағы сынамалы бөлшектің қозғалыс теңдеуі.

Арнайы салыстырмалы теориядағы сынамалы бөлшектің қозғалыс теңдеуі төмендегідей:

(2.2)

мұндағы - бөлшектердің жылдамдығы (физикалық анықтама) немесе вектор, бөлшектер траекториясына жанама (математикалық анықтама). Ескерте кетсек, мұндағы - өлшемсіз сан, ал - өлшемді [см]. Басқаша айтқанда, сол жақ шамасы тұрады да күш өлшемі бар .

Электронның қозғалыс теңдеуі электромагниттік өріс түрінде табылады:

. (2.3)

Күш, теңдеудің сол жағындағы инвариантты Лоренц күші, Максвелл тензоры салған .

Осы жағдайда,әсер етуші күш нөлге тең болғанда бөлшектердің қозғалысы инерция бойынша жүреді. Онда 2.2 теңдеу түрі өзгереді:

. (2.4)

. (2.5)

Инерциалды қозғалыс – ол түзу сызықты қозғалыс. Эвклидті және псевдоэвклидті геометрияның екі нүкте арасындағы қысқа түзу сызық. Эвклидті емес геометрияда қысқа түзу сызықты геодезиялы сызық деп атайды. Сыртқы күш нөлге тең болған жағдайда, эвклидті емес геометрия жалпы ковариантты теңдеулерге ауысады – геодезиялық сызық бойымен қозғалыс болады.

Бізде сондай-ақ, (2.4) теңдеудің шешімі фотонның қозғалысын сипаттайды, егер болжасақ, бұл -фотонды таратудағы жалғыз бірлік векторы, - траектория бойымен афинды параметр.

ЖСТ дағы сынамалы бөлшектің қозғалыс теңдеуі

Гравитациялық өрістегі геодезиялық сызық бойымен қозғалысты сынамалы бөлшек сипаттайды. Бұл қозғалыс эвклид метрикасының кеңістігіндегі инерциалды қозғалыс болып табылады.

Жалпы салыстырмалық теориясындағы теңдеуді, 2.2 теңдеуді жалпы ковариантты ретінде жазамыз:

, (2.6)

мұндағы - жағарыда айтып өткендей,коварниантты дифференциалдың белгісі болып табылады. Сондықтан, жалпы салыстырмалы теорияның қозғалыс теңдеуін толығырақ жазуға болады:

. (2.7)

Қазір қозғалыс теңдеулеріміз сызықты емес (жылдамдық бойынша), екінші жағынан сол жағында квадрат жылдамдық теңдеулер бар.

Енді, қозғалыс теңдеулері, мысалы, электронның электромагниттік өріс түрінде бар:

, (2.8)

мұндағы - электромагниттік өріс тензоры, ал және - электрон массасы және заряды.

Енді, сынамалы бөлшектің қозғалысы сыртқы кұш болмаған жағдайда түзy сызық бойымен қозғалады, эвклидті геометриясындағыдай. Барлық төртінші координата бойынша екінші ретті дифференциалды теңдеудің сыртқы қозғалыс күштер болмаған жағдайда, сынамалы бөлшектер төрт өлшемді траекторияны сипаттайды.

Үш өлшемді қозғалыс теңдеуі.

Сынамалы бөлшектің қозғалыс теңдеуін үш өлшемді түрінде жазсақ. Бөлшектер релятивистік емес деп қарастырамыз (яғни екі оқиғалар арасындағы интервал: нүктеге кіретін бөлшек және нүкте пайда болатын бөлшек кірістілігі -нөлге тең емес). Сынамалы бөлшектің қозғалыс теңдеуі – геодезиялы сызықтың теңдеуіне тең (2.1.7). Афин параметрінің сапасына геодезияны аламыз – - интервал арасында (ол нөлге тең емес). Сонымен қатар, бірлік вектор қозғалысқа жанама болады:

.

Қозғалыс теңдеулерін басқаша жазуға болады, үдеу мынаны қамтиды (координаталық бөлшектің екінші туындысы афин параметрі арқылы):

(2.9)

Екінші ретті кеңістіктік туынды координаталы индексті екінші ретті туынды координатамыз нөлдік индекс бойынша түрленеді:

, (2.10)

мұндағы - жылдамдықтың нөлдік компонентасы, ал - төрт өлшемді 0 индекстің қозғалыс теңдеуі.

Бұл теңдеуді қайта қалпына келтіруге болады, сынамалы бөлшекке арналған үдемелі теңдеу:

(2.11)

Бұл теңдеу үшін өрнекті алмастырамыз

, (2.12)

және

, (2.13)

Барлық есептеулерден кейін, қозғалыс теңдеуін табуымыз анық:

,(2.14)

Осы уақытқа дейінгі дифференциалдық үйлестірімділік нөлдік индекске қатысты жүргізілген, бұл координаттар басқа координаттармен бірдей өлшемде.(см).

Поиск по сайту: