x y x y x y x y x y x y x y x y

8,56[1] 6,06 8,46 4,54 6,53 4,03 8,46 6,06 9,99 5,75 7,14 4,33 8,66 6,57 7,24 4,13

9,68 5,65 7,65 5,25 8,66 4,33 8,56 5,86 6,63 3,93 6,22 4,54 5,51 3,02 7,44 4,54

6,02 2,51 9,68 6,87 6,53 2,61 7,54 5,35 6,73 3,32 9,88 6,57 8,56 6,57 9,27 6,57

8,26 5,75 5,61 4,03 7,34 4,84 7,75 4,44 9,88 8,09 8,15 4,74 7,65 4,84 7,85 4,64

8,15 4,64 7,65 3,73 7,95 4,54 7,04 3,22 8,15 5,65 9,78 6,67 6,83 2,51 9,58 5,55

7,54 4,54 7,14 4,64 6,12 3,02 8,66 5,15 9,38 5,15 8,15 4,74 9,68 7,88 5,71 4,94

7,65 5,04 7,65 4,94 9,58 6,87 9,88 6,16 9,99 6,46 8,36 5,65 7,75 4,33 8,05 5,15

7,44 2,51 7,34 5,04 7,24 4,94 7,24 4,64 6,32 2,81 6,32 3,73 9,88 6,46 6,42 3,83

8,76 5,35 8,87 5,45 9,78 7,58 6,83 4,74 9,17 6,87 8,26 5,75 8,36 4,54 9,38 5,55

8,15 6,87 7,24 3,32 9,07 5,25 9,48 7,58 8,76 6,87 8,15 5,96 8,66 5,45

7,04 5,04 9,07 5,55 9,78 6,87 7,14 4,03 8,46 6,46 6,12 3,42 8,46 5,86

7,85 5,35 7,34 4,03 8,76 5,55 8,87 5,25 7,54 5,25 9,48 6,67 8,05 5,15

7,54 3,63 7,85 4,74 6,02 4,13 5,71 3,52 7,44 4,64 7,54 4,23 8,05 4,74

1.Составим таблицу подсчета частот по интервалам наблюдений двумерной случайной величины:

	№
№	Y	(2,1;2,8]	(2,8;3,5]	(3,5;4,3]	(4,3;5,0]	(5,0;5,7]	(5,7;6,4]	(6,4;7,1]	(7,1;7,8]	(7,8;8,6]
	(5,2;5,8]	-			-	-	-	-	-	-
	(5,8;6,4]					-	-	-	-	-
	(6,4;6,9]					-	-	-	-	-
	(6,9;7,5]						-	-	-	-
	(7,5;8,1]	-	-						-	-
	(8,1;8,7]	-	-						-	-
	(8,7;9,2]	-	-	-	-		-		-	-
	(9,2;9,8]	-	-	-	-
	(9,8;10,4]	-	-	-	-			-	-	-

2. Составим корреляционную таблицу, переходя от интервальных рядов для случайных величин X и Y к дискретным рядам, т. е. записывая середины каждого интервала.

Например, = = = 5,5, = = = 2,45 и т.д.

Y	2,45	3,13	3,9	4,65	5,85	6,05	6,75	7,45	8,2
5,5	-			-	-	-	-	-	-
6,1					-	-	-	-	-
6,65					-	-	-	-	-
7,2						-	-	-	-
7,8	-	-						-	-
8,4	-	-						-	-
8,95	-	-	-	-		-		-	-
9,5	-	-	-	-
10,1	-	-	-	-			-	-	-

По корреляционной таблице построим одномерные законы распределения.

	30,25	37,21	44,22	51,84	60,84	70,56	80,10	90,25	102,0
	5,5	6,1	6,65	7,2	7,8	8,4	8,95	9,5	10,1

	6,0	9,8	15,2	21,6	34,2	36,6	45,6	55,5	67,2
	2,45	3,13	3,9	4,65	5,85	6,05	6,75	7,45	8,2

Найдем числовые характеристики изучаемых признаков X – население района, Y – товарооборот запасы: выборочные средние, выборочные дисперсии, “исправленные” выборочные дисперсии, среднеквадратические отклонения, которые рассчитываются по следующим формулам:

Расчеты проведем с помощью программы Excel. Итак, получим:

= • 790,1 = 7,9 = • 6366,87 = 63,67

= • 509,46 = 5,1 = • 2763,5 = 27,63

= 63,67 – = 63,67 – 62,41 = 1,26

= 1,01 • 1,26 = 1,27 = √1,27 = 1,13

= 27,63 – (5,1 = 27,63 – 26,01 = 1,62

= 1,01 • 1,62 = 1,64 = √1,64 = 1,28

3. Для построения корреляционного поля в системе координат отметим

точки с координатами () в моей задаче i =

По характеру расположения точек на корреляционном поле можем предположить наличие линейной корреляционной связи между признаками X и Y.

4. По данной корреляционной таблице найдем закон распределения X • Y:

X	5,5	5,5	6,1	6,1	6,1	6,1	6,65	6,65	6,65
Y	3,13	3,9	2,45	3,13	3,9	4,65	2,45	3,13	3,9
	34,43	21,45	29,89	38,186	71,37	28,365	32,585	20,8145	51,87

X	6,65	7,2	7,2	7,2	7,2	7,2	7,8	7,8	7,8
Y	4,65	2,45	3,13	3,9	4,65	5,85	3,9	4,65	5,85
	30,9225	17,64	45,072	168,48	301,32	84,24	60,84	435,24	228,15

X	7,8	7,8	8,4	8,4	8,4	8,4	8,4	8,95	8,95
Y	6,05	6,75	3,9	4,65	5,85	6,05	6,75	5,85	6,75
	47,19	52,65	32,76	78,12	343,98	254,1	170,1	209,43	120,825

X	9,5	9,5	9,5	9,5	9,5	10,1	10,1
Y	5,85	6,05	6,75	7,45	8,2	5,85	6,05	n
	222,3	114,95	384,75	212,325	77,9	59,085	61,105	4142,44

Значение выборочного среднего находим по формуле:

Таким образом, = • 4142,44 = 41,42

5. Значение выборочного корреляционного момента (ковариации) находим по формуле:

Таким образом, = 41,42 – 7,9 • 5,1 = 1,13

Для выяснения зависимости или независимости, коррелированности или некоррелированности случайных величин X и Y вычислим выборочный коэффициент корреляции . Выборочный коэффициент корреляции вычислим по следующей формуле:

Таким образом, = = 0,78

По полученному значению можно сделать вывод: связь между X – населением района и Y – товарооборотом тесная.

6. Найдем выборочные уравнения регрессии Y на X и X на Y. Уравнение выборочной прямой линейной регрессии Y на X имеет вид:,

где - коэффициент регрессии Y на X. Уравнение выборочной прямой

линейной регрессии X на Y имеет вид:,

где - коэффициент регрессии X на Y. Подставив найденные значения,

получим: 0,78• = 0,8835 = 0,78 • = 0,6885

Правильность вычислений проверим соотношением

0,78⃒=√0,8835•0,6885=√0,6082=0,779 0,78

Таким образом, найдем уравнение выборочной линейной регрессии Y на X:

y = 5,1+0,8835(x – 7,9) = 5,1+0,8835 x – 6,979 или

x = 7,9+0,6885(y – 5,1) = 7,9+0,6885y – 3,513 или

Построим графики полученных линий. Найдем координаты точки пересечения этих

прямых, решив систему уравнений:

Получим x = 8,4, y = 5,7, что равно соответственно и .

Точка (; ) = (8,4; 5,7) - центр совместного распределения.

Построим на корреляционном поле прямые линии регрессии и :

Найдем остаточные дисперсии для x и y:

Остаточная дисперсияопределяет величину ошибки, которую допускают при замене Y линейной функцией, т. е. приближенного равенства Y≈ aX+b. В моём случае получим:

= 1,27 = 1,64 = 0,78

(y) = 1,64•(1- )=0,64 (x) = 1,27•(1- =0,5

7. Проверяем значимость найденного коэффициента корреляции.

При уровне значимости α= 0,05 (Приложение А, вариант 18) выдвинем нулевую гипотезу o равенстве нулю генерального коэффициента корреляции (: = 0) нормально распределенной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе

: 0. Вычислим наблюдаемое значение критерия по

следующей формуле: = = = = 12,42

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k = n -2=98 найдем критическую точку (0,05;98)=1,98 для двусторонней критической области.

Так как ⃒ =12,42 =1,98, то нулевую гипотезу отвергаем. Таким образом, выборочный коэффициент корреляции значительно отличается от нуля, то есть можно считать (с надежностью g = 1- a = 1- 0,05 = 0,95), что признаки X и Y коррелированны (т. е. $ a ¹ 0, b: x = ay + b). Таким образом, случайные величины X и Y зависимы.

[1] Каждая сотая обозначает номер интервала.

Поиск по сайту: