Надежность результата измерения или доверительная вероятность выражается в долях единицы или процентах

Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем ΔХ. Это принято записывать в виде:

Р((<Х> – ΔХ) < Х < (<Х> + ΔХ)) = α (1.16).

Выражение (1.16) означает, что с вероятностью, равной α, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от <Х> – ΔХ до <Х> + ΔХ. Чем больше доверительный интервал, то есть чем больше задаваемая погрешность результата измерений ΔХ, тем с большей надежностью искомая величина Х попадает в этот интервал. Естественно, что величина α зависит от числа n произведенных измерений. а также от задаваемой погрешности ΔХ.

Таким образом, для характеристики величины случайной ошибки, необходимо задать два числа, а именно:

величину самой ошибки (или доверительный интервал);

величину доверительной вероятности (надежности).

Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.

Необходимая степень надежности задается характером проводимых изменений. Средней квадратичной ошибке Sn соответствует доверительная вероятность 0.68, удвоенной средней квадратичной ошибке (2σ) – доверительная вероятность 0.95, утроенной (3σ) – 0.997.

Если в качестве доверительного интервала выбран интервал (X – σ, X + σ), то мы можем сказать, что из ста результатов измерений 68 будут обязательно находиться внутри этого интервала (рис. 1.2). Если при измерении абсолютная погрешность ∆Х > 3σ, то это измерение стоит отнести к грубым погрешностям или промаху. Величину 3σ обычно принимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо 3σ берут абсолютную погрешность измерительного прибора).

Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления проведены и их результаты сведены в табл. 1.1.

Доверительные вероятности α для доверительного интервала, выраженного а долях средней квадратичной ошибки ε = ΔX/σ:

Ранее нами было рассмотрено определение доверительной вероятности для отдельного измерения Xi с помощью табл. 1.1, то есть определение вероятности того, что Xi не будет отклоняться от истинного значения более чем на величину ΔX.

Однако, наиболее важной задачей является определение величины отклонения от истинного значения Xист среднего арифметического <X> результатов измерений. Для решения поставленной задачи также можно воспользоваться табл. 1.1, взяв, вместо величины σ величину σ<X>, то есть у / (n0.5) или с учетом (1.14), для конечного числа измерений

Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического Sn<X> равна средней квадратичной ошибке отдельного результата, деленой на корень квадратный из числа измерений.

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте наблюдений. Из него следует, что для повышения точности измерений в 2 раза необходимо увеличить число измерений в 4 раза. Однако этот вывод относится только к измерениям, в которых точность результата полностью определяется случайной ошибкой.

Обычно выполняется сравнительно небольшое число измерений для n которых определяется величина Sn<X>. Если при оценке доверительной вероятности считать, что значение Sn<X> совпадает с у<X> и пользоваться табл. 1.1, то будем получать завышенные значения α. Из того, что σ<X> является пределом Sn<X> при n → ∞, следует, что Sn<X> пропорциональна величине σ<X>. Коэффициент пропорциональности зависит от числа измерений и отражает степень приближения Sn<X> к σ<X>. На основании этого интервал ΔX можно представить в виде

Значения величины tαn, носящей название коэффициента Стьюдента, вычислены для различных значений n и α и приведены в табл. 1.2. Сравнивая приведенные в ней данные с данными табл. 1.1, легко убедиться, что при больших n величина tαn стремится к соответствующим значениям величины ε. Это естественно, так как с увеличением n Sn<X> стремится к σ<X>.

Используя коэффициенты Стьюдента, мы можем переписать равенство (1.14) в виде

Пользуясь этим соотношением и табл. 1.2, легко определить доверительные интервалы и доверительные вероятности при любом небольшом числе измерений. После выполнения измерений должны быть известны все величины, входящие в это выражение - одни из них могут быть наперед заданы, другие необходимо определить.

Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность (ошибка), обычно выражаемая в процентах (%):

Величину ϕ = 1/δ, обратную относительной погрешности называют точностью измерений.

Используя таблицу коэффициентов Стьюдента, можно решить и обратную задачу: по известной абсолютной погрешности измерительного прибора и заданной величине надежности определить необходимое число измерений в серии.

Таблица коэффициентов Стьюдента

Поиск по сайту: