Коши критерийі

Х_n тізбегі R жиынында жинақты болу үшін Хn тізбегінің фундаментальді болуы қажетті және жеткілікті

Қажеттілік айталық х_nтізбегі жинақты және оның шегі а болсын сонда мұның фундаментальді екенін көрсетейік

∃ n_bϵ N => | x_n-a| =

Демек n+p>n_a

Ушин де фундаментальді

Хn функционалды тізбек

2.Функция шегі.Функция шегінің бар болуының Коши критериі.

Кванторлар тілінде бұл теорема былай жазылады:

f - тің а нүктесінде нақты ()()()

мәнді шегі бар

: ε. (1)

(1)- нің оң жағында жазылған шарт Коши шарты деп аталады.

Сонымен Коши критерийін былай айтуға болады: функциясының а нүктесінде нақты мәнді шегі бар болуы үшін сол нүктеде Коши шарты орындалуы қажетті және жеткілікті.

3. Үзіліссіз функциялар. Кесіндідегі үзіліссіз функциялардың қасиеті.

Үзіліссіз функциялардың қасиеттері.

4.Функцияның үзіліс нүктелері және олардың классификациясы.

5. Дифференциалданатын функциялардың негізгі қасиеттері. Бір айнымалы функция үшін Тейлор формуласы.

6. Функцияның интегралдануының қажетті және жеткілікті шарттары. Анықталған интегралдың орта мәні туралы теоремалар.

Анықталған интегралдың анықтамасы. сегментінде анықталған функциясы берілсін. Осы сегментті қалауымызша алынған нүктелерімен бөлікке бөліп, әр бөлік сегменттен кез келген нүктесін алып, Риман қосындысы немесе интегралдық қосынды деп аталатын мынадай қосынды жасайық: .

Бұл қосындының мәні, жалпы алғанда, сегментін бөлу тәсілінен де, нүктелеріне де тәуелді. Бөлік сегменттердің ұзындықтарының ең үлкенін , яғни деп белгілейік.

Анықтама. Егер интегралдық қосынды -ның нөлге ұмтылғанда (барлық бөлік сегменттердің ұзындықтары нөлге ұмтылғанда) сегментін бөлу тәсілінен тәуелсіз және әр бөлік сегменттен нүктесін таңдап алудан тәуелсіз шекті (тиянақты) шегі бар болса, осы шекті функциясының -дан -ға дейінгі немесе сегментіндегі анықталған интегралы деп,атайды да оны деп белгілейді. .

Мұндағы - интеграл астындағы функция, - интеграл астындағы өрнек, саны –интегралдың төменгі, саны – интегралдың жоғарғы шегі, ал айнымалысы – интегралдау айнымалысы деп аталады.

Берілген анықтамадан жоғарғы, төменгі шектер тұрақты сандар болса, анықталған интеграл тұрақты санға тең болатынын байқаймыз, себебі ол айнымалы қосындының шегі.

Риман бойынша кесіндісінде интегралдагатын барлық функциялар жиынын арқылы белгілейді.

1-теорема. (қажетті шарт) кесіндісінде анықталған функциясының осы кесіндіде Риман бойынша интегралдануы үшін оның осы кесіндіде шектеулі болуы қажет.

2 –теорема. (жеткілікті шарт) кесіндісінде шектелген функциясының осы интервалда интегралдануы үшін кезкелген саны табылып, параметрі болатын кесіндісінің кезкелген бөліктеуі үшін теңсіздігінің орындалуы жеткілікті.

Анықталған интегралдың орта мәні туралы теорема.

7. Бірінші және екінші текті меншіксіз интегралдар. Меншіксіз интегралдардың жинақтылығының жеткілікті шарттары.

Меншіксізинтегралдың қасиеттері:

f(x) E ашық жиынында анықталып, f(x) кірістіруін қанағаттандырсын, яғни Е жиынының әрбір нүктесінде f(x) функциясының реті s–тен аспайтын барлық мүмкін дербес туындылары бар және үзіліссіз болсын. a=( және x=() E нүктелерін жалғайтын кесінді Е жиынында толық жатсын, яғни - (i=1,2,…,n), h=() үшін t [0,1] болғанда a+th==() болсын. Онда [0,1] сегментінде

f(a+th)=f( (1)

күрделі функциясы анықталған болады. f болғандықтан кірістіруі орындалады, яғни бір айнымалы функциясы [0,1] сегментінде s рет үзіліссіз дифференциалданады, сол себептен (1) функциясы үшін болғандағы ( (2)-теңдігі орындалады. Сонымен бірге,(1) бойынша , (2) теңдігінде деп алып, бұл жағдайда 1 болатынын ескере отырып,

f( -f()=f( = + (3)

теңдігіне келеміз. Егер (3) теңдігінде көмекші функциясынан бастапқы f функциясына толық көшсек, онда солай түрлендірілген (3) теңдігі көп айнымалылы Тейлор формуласы деп аталады.

9.Көп айнымалыдан тәуелді функцияның локалды экстремумы. Локалды экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары. Шартты экстремум.

сандық функциясы ашық жиынында анықталсын. Егер, біріншіден, нүктесі жиынының ішкі нүктесі болса, екіншіден, кірістіруі орындалатындай қайсыбір оң саны мен әрбір үшін теңсіздігі орындалса, онда нүктесін функциясы локальді максимум мәнін қабылдайтын нүкте, не қысқаша - локальді максимум нүктесі деп атайды. Егер теңсіздігі орындалса, онда нүктесін функциясы локальді минимум мәнін қабылдайтын нүкте, не қысқаша - локальді минимум нүктесі деп атайды.

Экстремум бар болуының қажетті шарты. Егер нүктесі функциясы үшін локальді экстремум нүктесі болып, функциясының нүктесінде барлық дербес туындылары бар болса, онда сол дербес туындылары міндетті түрде нольге тең болады, яғни (1)

Экстремумның жеткілікті шарттары (екі айнымалы жағдайы).

1 – теорема. Екі айнымалы сандық функциясы нүктесінің қайсыбір - маңайында анықталып, сол маңайда

дербес туындылары бар және үзіліссіз болып, сол нүктенің өзінде локальді экстремумның қажетті шарты орындалсын:

(2)

Мынадай белгілеулер енгізейік:

(3)

. Онда 1) егер болса, онда локальді экстремум нүктесі болып, болғанда локальді қатаң минимум, болғанда локальді қатаң максимум нүктесі болады;

егер болса, онда нүктесі локальді экстремум нүктесі емес;

егер болса, онда нүктесі туралы нақты ештеңе айтуға болмайды; ол локальді экстремум нүктесі болуы да, болмауы да мүмкін.

Шартты экстремум. сандық функциясы жиынында анықталып, жиыны берілсін. Егер: 1 °. нүктесі Е жиынының ішкі нүктесі болса; 2°. а нүктесі F жиынында жатып, сол жиынның шектік нүктесі болса, яғни а нүктесінің әрбір маңайында а -дан өзге болатын F жиынының нүктесі табылса; 3°. а нүктесінің белгілі бір маңайы мен F жиынында жатқан әрбір нүктесі үшін теңсіздігі орындалса, яғни

( V _δ (a)

болса, онда а нүктесін f функциясының F бойынша шартты максимум (шартты минимум) нүктесі деп атайды. Әдеттегідей, шартты максимум мен шартты минимум шартты экстремум деп аталады.

Шартты экстремумның кажетті шарты.

Диференцианалданатын f функциялары арқылы

ψ(x₁,x₂,...,x_n) = f(x₁,x₂,...,x_n,φ₁(x₁,x₂,...,x_n),..., φ_m (x₁,x₂,...,x_n))

бойынша анықталған ψ(x₁,x₂,...,x_n) күрделі функциясы да сол маңайда дифференциалданады. Сондықтан локальді экстремумның қажетті шарттын қолданып келесі теңдеуге келеміз:

(a₁,a₂,...,a_n)=0,..., (a₁,a₂,...,a_m)=0 бұған байланыс теңдеудері беретін

F₁ (a₁,a₂,...,a_n+m)=0,..., F_m (a₁,a₂,...,a_n+m)= 0 теңдеулерін қосып, саны n+m болатын a₁,a₂,...,a_n+m белгісіз айнымалыларын табу үшін n+m теңдеу алдық. Осы теңдеулер шартты экстремумның қажеттін шартын құрайды.

Шартты экстремумның жеткілікті шарты.

x₁=a₁,...,x_n+m=a_n+m, λ₁= λ⁽⁰⁾₁,...,λ_m=λ⁽⁰⁾_m сандары

=0,..., =0; =0,..., =0 (1)

жүйесінің шешімін құрасын. Онда Ф(x)=f(x)+λ⁰₁F₁(x)+...+λ⁰_mF_m(x) Лагранж функциясы үшін

(2)

жүйесі n айнымалылы Q квадраттық формасын анықтайды.

10. Сандық қатарлар. Абсолют және шартты жинақты қатарлар. Қатар жинақтылығының жеткілікті шарттары.

Жинақты болудың қажетті шарты. Қатараларды қарстыруда мынандай екі мәселе туады:

1) қатардың жинақты, не жинақсыз болатынын анықтау, және 2)қатар жинақты болған жағдайда, оның қосындысын табу.

4-теорема. Егер қатары жинақты болса, онда оның жалпы мүшесі нөмірі шектеусіз өскенде нолге ұмтылады, яғни

Дәлелдеу. Айталық қатары жинақты және оның қосындысы болсын. Оның

және дербес қосындыларын қарастырайық. Бұлардан

Сондықтан,

Өйткені және . Мұнда -да . Сонымен, екен.

Салдар. (Қатардың жинақсыз болуының жеткілікті шарты.)

Егер қатардың жалпы мүшесі нөмірі шектеусіз артқанда нөлге ұмтылмайтын болса, онда қатар жинақсыз болады.

Шынында, егер қатарды жинақты десек, онда алдыңғы теоремаға сәйкес қатардың жалпы мүшесі нолге ұмтылған болар еді. Бірақ, бұл шартқа қайшы. Сондықтан, қатар жинақсыз.

11. Функционалдық тізбектер және қатарлар. Функционалдық тізбектер мен қатарлар бірқалыпты жинақтылығының жеткілікті белгілері.

Жалпы тізбек деп барлық оң бүтін сандар жиынында анықталған функция аталады. Нақты сандар жиыны берілсін. Егер әр n оң бүтін санына E жиынында берілген функциясы сәйкес қойылса, онда осы сәйкестік Е жиынында анықталған функциялық тізбек деп аталады.

12. Дәрежелік қатарлар және олардың жинақталу облысы.Дәрежелік қатарлар мүшелеп интегралдау және мушелеп диффференциалдау. Функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу.

13. Қос интегралдаудың негізгі қасиеттері. Қос интегралдауда және үш еселі интегралдауда айнымалыны ауыстыру.

Екі еселі интеграл. Негізгі қасиеттері

z=f(x,y) D облысында анықталған D:D_i i=1̅,n̅ D_i M(x_i,y_i) f(x_i,y_i) ΔS_i–D_iоблысының ауданы, ∑ⁿ_i=1 f(x_i,y_i) S_i g-облысы бойынша интегралдық қосындысы. lim_n→∞∑ⁿ_i=1 f(x_i,y_i) S_i =∫_D∫f(x,y)dS. Егер f(x,y) үшін интегралдық қосындының n→∞ (maxdi→0) шегі D облысын n бөлікке бөлу әдісіне тәуелсіз ж/е осы облыстан M(x_i,y_i)нүкелерін таңдап алу әдісіне тәуелсіз бар болса онда осы шекті f(x,y) ф/ң D облысы бойынша екі еселі интегралы д.а. мұндағы f(x,y) интегралдық ф/я,dS- бөліктің ауданы. z=(x, y) D олысында шенелген болуы қажеттң ғана.TH:z=(x, y) D олысында үзіліссіз болса онда функция облысы интегралданады, яғни екі еселі интегралы бар. Дарбу ережесі: lim_n→∞(S-s)=0 Қасиеттері:

1.∫∫_D kfdS=k∫∫_DfdS 2.∫∫_D(f₁±f₂)dS=∫∫_D f₁dS+∫∫_D f₂dS

3. D=D₁∩D₂→∫∫_Df(x,y)dS=∫∫_D1f(x,y)dS+∫∫_D2f(x,y)dS

4.f(x,y)>0→∫∫_Df(x,y)>0 f₁≥f₂→∫∫_Df₁≥∫∫_Df₂

5.m≤f(x,y)≤M (облысында үз/сіз болса ең үлкен ең кіші мәні табылады)mS≤∫∫_Df(x,y)dS≤MSЕкі еселі интегралды бағалау

6. ∫∫_Df(x,y)dS=f(x₀,y₀)S f(x₀,y₀)=1/2∫∫_Df(x,y)dS

Үш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру

Егер функциясы V тұйық облысында үзіліссіз болса, ал

(1)

функцияларының UVW кеңістігіндегі Т тұйық облысында үзіліссіз дербес туындылары бар болып және осы облысты XYZ кеңістігіндегі V облысына бірмәнді бейнелесе, онда келесі теңдік орындалады:

(2)

мұндағы - якобиан бейнелеуі

14 Бірінші және екінші текті қисық сызықты интегралдар.

Бірінші түрдегі қисық сызықтыинтеграл - бір айнымалы Риман интегралының жалпылауы. Бір айнымалы Рмиан интегралының S-тіліндегі анықтамасы: функциясы сегменінде анықталсын. Егер қасыбір нақты сан мен әр оң саны үшін _{n - 1} …, N) болған сайын

<

болатындай оң саны табылса, онда функциясы сегменінде интегралданады, санын оның интегралы деп атайды да, ол үшін

(1) Белгілеуі қолданылады.

Қисық ұғымын қолданып, бұл анықтаманы былай жалпылауға болады. үзіліссіз дифференциалданатын жай қисығы беріліп, : Жиынында нақты мәнді функциясы анықталсын. Әр үшін қисығының нүтелер арасындағы бөлігінің ұзындығы

(2) болады.

сегменің _n бөлшектеуі берілсін. Онда үшін айырымы қисығының _{- 1} және. нүктелерін жалғайтын бөлігінің ұзындығы болады. Осы дайындықтан кейін, мақсатымыз болатын анықтамаға тікелей көше аламыз. Егер қасыбір нақты сан мен әр оң саны үшін _{n - 1} …, N) болған сайын

<

болатындай оң саны табылса, онда функциясы қисығында интегралданады, ал санын оның интегралы дейді де

(3)белгілеуі қолданылады.

(3) интегралы бірінші түрдегі қисықсызықты интеграл деп атайды. Егерде сегменінде анықталған функциясын жазықтықта жатқан қисықтың бейнесі болатын сегменінде анықталған функция ретінде қарастырсақ, онда (3) анықтамасы (1) анықтамасына айналады. Сөйтіп бірінші түрдегі қисық сызықты интеграл анықтамасы бір айнымалы функцияның интеграл анықтамасының жалпылауы болады.

Екінші түрдегі қисықсызықты интеграл. Ω облысы беріліп, Р (x,y) және Q(x,y) функциялары Ω облысында анықталған және үзіліссіз болсын.

γ (t) = (x(t), y(t)) (a ≤ t ≤ b) қисығы үзіліссіз дифференциалданып, әр t [ a, b ] үшін γ (t) C Ω кірістіруі орындалсын.

w(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy дифферианциалдық формасының γ қисығы бойынша екінші түрдегі қисықсызықты интегралы деп

(1)

саны аталады да, ол не қысқаша (2*)

түрлерінде белгіленеді. Енді екінші түрдегі интегралдың кейбір қасиеттерін атап өтейік.

. Қойылған шарттар (1), демек, (2)-(2*) интегралының бар болуын қамтамасыз етеді.Расында да,қойылған шарт бойынша γ қисығын анықтайтын x(t) және y(t) функциялары [a,b] cегментінде үзіліссіз дифференциалданады, демек, x’(t) және y’(t) функциялары сол сегментте үзіліссіз, бұған қоса Р(x(t),y(t)) және Q(x(t),y(t)) функциялары үзіліссіз функциялардан құрылған күрделі функциялар ретінде [a,b] сегментінде үзіліссіз. Сондықтан (1) интегралы үзіліссіз функциядан алынған интеграл ретінде бар болады.

2 . Егерде қисығы γ қисығынан параметрді алмастыру арқылы алынса, онда (2*) интегралымен бірге (3) Интегралы да бар болады.γ мен бірыңғайлы бағытталған жағдайда, яғни t’(u) > 0 болғанда = (4)

Ал қарама-қарсы бағытталған жағдайда, t’(u)<0 болғанда = (5) тендіктері орындалады. Расында да, x(t (u)) = (u), y(t(u)) = (u)(6) болсын. Онда қисығы (u) = ( дәл озі болады. Күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша ’(u) = x’ (t(u)) * t’ (u), ’(u) = y’ (t(u)) * t’ (u)(7) Демек, (u) және (u) функциялары [ ] сегментінде үзіліссіз дифференциалданып, 1 б/ша (3) интегралы бар болып, (u)= P( (u), (u)) ’ + Q ( (u), (u)) (u) (8) = (u)du(9)болады.Сонымен қатар (1) интегралында t = t(u) алмастыруын жасағанда,интеграл астындағы функция

f(u)=P(x(t(u)), y(t(u))) x’(t(u))t’(u)+Q(x(t(u)),y(t(u)))y’(t(u))t’(u) (10)

функциясына алмастырылады.(10)(7)(6)(8) бойыншаf(u)= (u). (11)

γ мен бірыңғай бағытталғандаt()=a,t()=b болып, (4)теңдігіне:

= ,

Ал γ мен қарама-қарсы бағытталса t()=b, t( болып,(5)-ке келеміз:

.

Сөйтіп, екінші түрдегі қисықсызықты интеграл, бірінші түрдегідей емес, қисықтың бағытталуына тәуелді екендігі анықталады.

3 (қисықсызықты интегралдың сызықтық қасиеті):

= +

4 (қисықсызықты интегралдың аддитивтік қасиеті): егерде a < c < b үшін (t) = γ (t) (a ≤ t ≤ c) және (t) = γ (t) (c ≤ t ≤ b) болса, онда

.

Поиск по сайту: