Фракталдар

Жартылай өткізгішті қабықшаларға нанокластерлі құрылым сәйкес. Жұқа қабыршақтарды заманауи микроскоптардың көмегімен зерттеу иерархиялық ұқсастыққа ие екенін, яғни фракталды құрылмға ие болатынын көрсетті. Салыстырмалы түрде ертеректе математикада көлемді объектінің үлгісі алынды, алайда сызықтыға ай келетіні белгілі болды. Кей ғалымдарға ені белгісіз сызықты түсінігіне үйренісу қиын болды, сондықтан олар бөлшектік кеңістікке ие геометриялық формалар мен құрылымдарды зерттеуге кірісті. Үздіксіз қисықтар орнына өз туындыларына сынған немесе өте көп кесілген қисықтар келді. Мұндай қиықтардың жарқын мыалы ретінде броундық қозғалытардың траекториясын айтса болады. Сонымен ғылымда фракталдар ұғымы пайда болды.

Қазіргі уақытта «фракталдар» ұғымын анықтайтын терминнің біртекті анықтамаы жоқ. Божокин бойынша фракталдар деп геометриялық обьектілер аталады: өте қатты кесілген формасына ие және өзіне ұқсас қаиеттерге ие сызықтар, беттік қабаттар, кеңістіктік денелер жатады. Фрактал ұғымы латынның fractus сөзінен шыққан және бөлшектікғ сынған деп аударылады. Өзіне ұқсату фракталдардың негізгі сипаттамасы сынды, масштабтың кең диапазонында бір қалыпты орналасуын айтады. Яғни фракталдың фрагменттерін ұлғайту кезінде үлкенге ұқсап кетуі ықтимал. Идеалды жағдайда мұндай өзіне ұқсатуда фрактал обьектісі созылуға сай инвариантты болып келеді, яғни дилатационды симметрия сай келеді. Ол фракталдың негізгі геометриялық ерекшеліктерінің масштабын ұлғайтқанда өзгермеуін шамалайды. Өзіне дәлме дәл ұқсату тұрақты фракталдар ғана тән екенін ескере кеткен жөн. Егер құрудың детерминделген әдісі орнына кездейсоқтықтың (мысалға, клатердің диффузионды өсуінде, электрлік бұзу және т.б.) кей элементтерін құру алгоритмін пайдаланса, онда аталмыш кездейсоқ фракталдар туындайды. Олардың тұрақтыдан негізгі айырмашылығы өзіне ұқсату қасиеттері барлық статистикалық тәуелсіз обьектіні жүзеге асыру бойынша сәйкес орташаландырудан кейін әділетті болып саналуы. Мұнда фракталдың ұлғайтылған бөлігі шығыс фрагментке ғана тең емес, алайда статистикалық сипаттамалар сай келеді.

Ал Лаверьге сүйенсек [16], фрактал – масштабты әр кішірейту кезінде бір фрагмент қайта қайталанатын геометриялық фигура. Бұл қасиетке ие және нәтижесінде қарапайым рекурсивті жосық (сызықты түрлену комбинациясы) алынатын фракталдарды конструктивті фракталдар деп атайды. Осылайша конструкциялы фракталдар — бұл нәтижеінде ұқсастықтың сызықты (аффинді) сығатын шағылулары алынатын жиынтық. Нәтижелеуші сығатын шағылулар тұрақты қозғалмайтын «нүкте» – фракталға ие болады.

Конструкциялы фракталдар қатарында фракталдарға ұқсас жиынтық байқалды. Ережеге сай, ұқсас жиынтық сызықты динамикалық жүйелерде (динамикалық фракталдар) туындайды. Олардың құрылымы конструкциялық фракталдардағы жағдайлардағыдай қарапайым емес және олар масштабты инварианттыққа тек жақын ғана болуы мүмкін [17]. Осыған байланысты Мандельборт фракталдың келесі анықтамасын ұсынды: фрактал деп қандай да бір бүтінге сәйкес бөліктен құралатын құрылымды айтады [18]. [19] кітапта термин былайша түсіндіріледі: фрактал деп геометриялық обьектілер аталады — қатты тілімденген форма ие және өзіне ұқсату қасиеті бар — сызықтар, беттер, кеңістіктік денелер.

Жоғарыда келтірілген анықтамаларға сай өзара ұқсастық фракталдың сипаттамалық қасиеті ретіндепайдаланылады. М. Шредер жазуы бойынша: өзіне ұқсату немесе сәйкестілік маштаб немесе өлшемін өзгерту кезінде табиғаттың көптеген заңдары мен бізді қоршаған әлемнің сансыз құбылыстарына тиесілі болып келеді. Сондай-ақ өзіне ұқсату — біздің әлемде қалыпты түрлендіру рөлін ойнайтын және біздің оған жетуге ұмтылатын талпынысымыздың негізінде жататын симметрияның маңызды бір түрі[20].

Фракталдардың жүз жылдай уақыт алдын математикалық әдебиеттерде пайда болуы математикалық ойлардың даму тарихында қайғылы жеккөрініштікпен қарсы алғаны назар аударуға тұрарлықтай. Бір әйгілі математик, Шарль Эрмит, оларды құбыжық деп атағаны да рас. Шектен асқанда, жалпы көзқарас оларды нағыз ғалымдар үшін емес, керісінше математикалық елестермен тері пайдаланатын зерттеушілер үшін ғана қызығушылық тудыратын патологиятты іспетті қабылдады.

Бенуа Мандельборттың күш салу нәтижесінде мұндай көзқарастар өзгерді және фракталды геометрия құрметті қолданбалы ғылым ретінде көзге түсті. Мандельборт 1919 жылы ұсынылған Хаусдорфтың фракталды (бөлшектік) өлшемділігіне сүйене отырып, фрактал терминін қолданысқа енгізді. Оның бірінші кітабы жарық көруіне дейін біршама жыл алдын Мандельборт құбыжықтардың пайда болуын және табиғаттағы басқа да патологияларды зерттеуге кірісті. Ол бос саналған беделсіз Кантора жиыннтығы, Пеано қисығы, Вейерштрасс функциясы мен мағынасыз деп саналған көптеген түрдегі қуыстарды зерттеуге күш салды. Ол және оның шәкірттері біршама жаңа фракталдарды ашты, мысалға, жүрек соғыы мен өзен деңгейінің флуктуациясы, таулы және орманды ландшафттарды модельдеу үшін фракталды броундық қозғалыстар. Оның кітабы жарыққа шығуымен фракталды геометрияның қосымшасы жаңбырдан кейінгі саңырауқұлақтар тәрізді пайда бола бастады. қолданбалы ғылым сынды таза математикаға қатысы мол болды. Тіпті киноиндустрия да шет қалып қоймады. Миллиондаған адамдар фракталдар көмегімен конструкцияланған ландшафтты «Жұлдызды көшу 2: хан қаһары»фильмін сүйісіне тамашалады.

Геометриялық фракталдар

Бұл класстағы фракталдар ең көрнектлері саналады. Екі өлшемді жағдайда генератор аталмыш кей бұрмаланулар (немесе үш өлшемді жағдайдағы беттер) көмегімен алынады. Алгоритмнің әр қадамы сайын бұрмалануды құрайтын әр кесінділер сәйкес масштабта бұрмалану-генераторына алмастырылады. Іс-әрекетті шексіз қайталау нәтижесінде геометриялық фракталдар алынады.

Осындай фракталды объектілердің бірі – триадты Кох қисығын қарастырайық. Қисықты құру бірлік ұзындықтың кесіндісінен басталады (сурет 1.16) – бұл Кох қисығының 0-дік буыны. Әрі қарай әр бөлім (нөлдік буында бір кесінді) сурет 1.16-да белгіленген n=1 арқылы түрлендірілетін элементке алмастырылады. Мұндай алмастыру нәтижесінде Кох қисығының келесі буыны пайда болады. 1-ші буына – бұл төрт тура сызықты бөлімнің қисығы, әрқайсысының ұзындығы 1/3 болады. 3-ші буынды алу үшін дәл оы әрекеттер қайталанады – әр бөлім кішірейтілген түрлендіруші элементке алмастырылады. Сонымен, әр келесі буынды алу үшін алдыңғы буынның барлық бөлімін кішіретйілген түрлендіруші элементпен алмастыру шарт. n-ші буынның қисығы кез-келген соңғы n кезінде алдыңғы фрактал деп аталады. Сурет 1.16-да қисықтың бес буыны келтірілген. Шекіздікке ұмтылған n кезінде Кох қисығы фракталды обьекті болып кетеді.

Сурет 1.16 — Кохтың триадалы қисығын құру

Компьютерлік графикада геометриялық фракталдарды ағаштар, бұтақтар, жағалаулы сызықтарды алу кезінде пайдаланнылады. Екі өлшемді геометриялық фракталдар көлемді текстураларды (обьектінің бетіндегі суретті алу үшін) құру үшін қолданылады.

Алгебралық фракталдар

Бұл фракталдардың ең үлкен тобы. Оларды n-өлшемді кеңістіктерде бейсызық процесстер көмегімен алады. Бейсызық итерационнды процессті дискретті динамикалық жүйе ретінде түсіндіре отырып, мына жүйелердің терминология теорияларын пайдаланса болады: фазалық портрет, орнатылған процесс, аттрактор және т.б. Бейсызық динамикалық жүйелер бірнеше тұрақты күйлерге ие екені мәлім. Итерацияның сандарынан кейінгі динамикалық жүйе орналасуы оның бастапқы күйіне тәуелді. Сондықтан әр тұрақты күй (немесе басқаша – аттрактор) қарастырылатын соңғы күйге түсетін жүйе бастапқы күйлердің кей облыстарына ие. Осылайша, жүйенің фазалық кеңістігі аттрактордың тартылу облыстарына бөлінеді. Егер екі өлшемді кеңістік фазалы болып табылса, тартылу облыстарын түрлі түстермен бояу арқылы осы жүйенің түсті фазалық портретін (итерациялық процестің) алса болады. Түсті таңдау алгоритмін өзгерту арқылы бапшыл көп түсті түйінді күрделі фракталды бейнелерді алса болады. Математиктер үшін анайы алгоритмдер көмегімен өте күрделі езбесіз, яғни жылдамырақ құрылымдарды туындату кездейсоқтық болды.

Сурет 1.17 — Мандельборт жиынтығы

Стохасты фракталдар

Фракталдардың тағы да бір белгілі класы ретінде егер итерациялы процессте кездейсоқ түрде оның қандай да бір параметрлерін өзгертетін болса ол жағдайда алынатын фракталдар стохаты деп аталады. Сонымен қатар табиғиға ұқса – симметриялы емес ағаштар, кесілген жағалаулық сызықтар және т.б. обьектілер алынады. Екі өлшемді стохасты фракталдар рельефті аймақты және теңіздің бетін модельдеуде пайдаланылады [20 – 21 – 22].

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. З.Ж.Жаңабаев, Н.И.Ильясов, Н.И.Темірқұлова. Бейсызық физика практикумы. «Қазақ университеті» 2003ж.

2. Кардона М. Основы физики полупроводников. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 560 с.

3. Физический факультет Московский государственный университет(МГУ) имени М. В. Ломоносова

3. ZhanabaevZ.Zh., GrevtsevaT.Yu.,Danegulova T.B., Assanov G.S. Optical Processes in Nanostructured Semiconductors. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience. 2013, Vol. 10, No 3, pp. 673-678.

4. ZhanabaevZ.Zh., GrevtsevaT.Yu. Physical Fractal Phenomena in Nanostructured Semiconductors. Reviews in Theoretical Science, 2014, Vol. 2, No. 3, pp. 211-259.

5. ФедерЕ. Фракталы. – Москва: Мир, 1991. - 254 с.

6. 5. Золотухин И.В., Калинин Ю.Е., Логинова В.И. Твердотельные фрактальные структуры // Альтернативная энергетика и экология. − 2005. - № 9(29). - С. 56-66.

7.ZhanabaevZ.Zh., GrevtsevaT.Yu. Fractal Properties of Surfaces of Nanostructured Semiconductor Films // Eurasian Physical Technical Journal. – 2006. - Vol. 3, № 2(6). - P. 38-44.

8. Жанабаев З.Ж., Данегулова Т.Б., Гревцева Т.Ю. Оптические свойства наноструктурированных полупроводников // Мат. 6-ой Междунар. науч. конф. «Современные достижения физики и фундаментальное физическое образование». Посвященная 75-летию КазНУ им. аль-Фараби. – Алматы, 2009. – С. 126-128.

9.Демиховский В.Я. Квантовые ямы, нити, точки: Что это такое? // Соросовский Образовательный Журнал. 1997.№5. С.80-86.

4. Mandelbrot B.B. Stochastic models of the Earth’s relief, the shape and the fractal dimension of the coastlines, and the number-area rule for islands // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. − 1975. - № 72. - Р. 3825-3828.

6. Mandelbrot B.B., Passoja D.E., Paullay A.J. Fractal character of fracture surfaces of metals // Nature. − 1984. - Vol. 308. - P. 721-722.

8. А. Я. ШИК. Квантовые нити. –Санкт-Петербургский технический университет

9. ZhanabaevZ.Zh., GrevtsevaT.Yu. Fractal Properties of Nanostructured Semiconductors // Physica B: Condensed Matter. – 2007. - Vol. 391, № 1. -P. 12-17.

10.Piotzonero L., Tosatti E. Fractals in Physics. – Elsiever Science, 1986. – 274 p.

11.ZhanabaevZ.Zh., GrevtsevaT.Yu. Fractal Properties of Surfaces of Nanostructured Semiconductor Films // Eurasian Physical Technical Journal. – 2006. - Vol. 3, № 2(6). - P. 38-44.

12. Жанабаев З.Ж., Данегулова Т.Б., Гревцева Т.Ю. Оптические свойства наноструктурированных полупроводников // Мат. 6-ой Междунар. науч. конф. «Современные достижения физики и фундаментальное физическое образование». Посвященная 75-летию КазНУ им. аль-Фараби. – Алматы, 2009. – С. 126-128.

13.Демиховский В.Я. Квантовые ямы, нити, точки: Что это такое? // Соросовский Образовательный Журнал. 1997.№5. С.80-86.

14. http://www.iasj.net/iasj?func=fulltext&aId=41668 структура и эл.свойства пористого кремния

akmaralmirauan@mail.ru

Поиск по сайту: