В В Е Д Е Н И Е. Численные методы решения задач как раздел математики и инженерной деятельности непосредственно связан с такой областью как математическое моделирование

Численные методы решения задач как раздел математики и инженерной деятельности непосредственно связан с такой областью как математическое моделирование. Позже, на старших курсах, математическое моделирование будет предметом отдельной дисциплины, ориентированной на специфику конкретной специальности, а сейчас лишь кратко рассмотрим, что такое математическое моделирование и как оно связано с численным решением задач.

Одним из основных способов решения научных и технических задач является эксперимент. Но давно прошли те времена, когда натурный эксперимент был прост по своей подготовке и требовал для проведения небольших средств. Наука и техника берутся за решение все более и более сложных задач, и поэтому соответственно растет сложность и стоимость экспериментальной базы. К тому же в практике науки и техники все чаще возникают ситуации, когда в принципе невозможно провести направленный, или как говорят – активный эксперимент. В качестве примера можно привести эксперименты в ядерной физике, требующие проведения ядерных взрывов, или все более опасные для окружающей среды биологические эксперименты. Поэтому в последние десятилетия все чаще применяют другой способ – математическое моделирование изучаемых объектов или процессов и проведение экспериментов на математических моделях. Например, учитывая глубокие сегодняшние знания в теоретической механике, теории прочности, аэродинамике, можно достаточно адекватно описать с помощью математических формул полет баллистической ракеты и на основе этих формул исследовать сидя за компьютером влияние на полет различных, например, атмосферных возмущений, даже таких, которые при реальном полете создать преднамеренно невозможно.

Весь процесс математического моделирования можно разделить на четыре основных этапа:

1. исследование объекта или процесса и составление его математического описания;

2. построение алгоритма, моделирующего объект, на основании полученного математического описания;

3. проверка соответствия математической модели и реального объекта (говорят – адекватности модели);

4. использование математической модели для изучения объекта и прогнозирования его поведения в различных ситуациях.

Первый, третий и четвертый этапы подробно будут рассматриваться в курсах математического моделирования, а сейчас самое пристальное внимание уделим второму этапу. Математическое описание объекта заканчивается обычно формулировкой уравнения (алгебраического, дифференциального, интегрального или какого-нибудь еще более сложного) или системы уравнений. Давно прошли времена, когда объект удавалось описать линейным или квадратным уравнением, системой уравнений невысокого порядка, «берущимся» интегралом и т.п., т.е. зависимостью, которую можно разрешить аналитически. Кто-то из великих ученых сказал, что все задачи, которые можно решить аналитически, были решены до начала двадцатого века. Сейчас в большинстве случаев приходится сталкиваться с задачами, относительно которых известен из физических соображений лишь факт существования решения, но неизвестны, а может быть в принципе и не существуют, методы получения его в аналитическом виде. Иногда возникают и другие ситуации. Например, математическое описание сети теплоснабжения города можно представить в первом приближении системой линейных алгебраических уравнений относительно сотен или даже тысяч неизвестных. Аналитическое решение систем таких высоких порядков в принципе возможно, но оно очень трудоемко и занимает слишком много времени.

Поэтому приходится применять численные методы решения для каждого конкретного набора значений параметров, входящих, в математическое описание. В качестве простейшего примера рассмотрим решение квадратного уравнения

.

(1.1)

Его аналитическое решение для любых значений a, b, c, как известно, выражается формулой:

.

(1.2)

Решить такое уравнение – это значит для конкретных значений параметров a, b, c найти значения x ₁, x ₂, при которых оно обращается в тождество. Для этого достаточно значения a, b, c подставить в (1.2) и вычислить его правую часть.

Но эту же задачу можно решить и другим способом. Для заданных конкретных значений a, b, c протабулируем функцию , т.е. вычислим значения y для значений x, изменяющихся с некоторым шагом на достаточно большом промежутке [ x_н,x_к ]. Среди всех точек оси Х, для которых вычислены значения y, выберем две соседние такие, в которых функция y имеет разные знаки (рис.1.1). Возьмем эти точки в качестве x_н,x_к и повторим эту процедуру еще раз, но уже с меньшим шагом и опять найдем две соседние точки оси Х, в которых y имеет разные знаки (рис.1.2). Эту процедуру можно повторять не-

Рис.1.1.

Рис.1.2.

однократно до тех пор, пока длина промежутка [ x_н,x_к ] не станет меньше некоторой наперед заданной величины . Когда условие будет выполнено, то любую из точек x_н или x_к можно будет считать решением уравнения (1.1.). При этом говорят, что решение получено с точностью .

Это и есть пример численного решения математической задачи. Естественно, что надо быть идиотом, чтобы решать квадратное уравнение таким способом. Но в практике современного исследователя или инженера часто встречаются уравнения значительно более сложные или даже вообще не решаемые аналитическим способом (такие уравнения называются трансцендентными), например, или . Для решения подобных уравнений нет других методов, кроме численных. Раздел математики, в котором разрабатываются численные методы решения, называется теорией численных методов. Численный метод решения каждой задачи должен быть строго обоснован математически. Теоретической основой численных методов являются алгебра и математический анализ.

Из приведенного примера численного решения уравнения может возникнуть впечатление, что численные методы - это нечто приблизительное, неточное. Но давайте пристальнее посмотрим на то, что мы считаем точным решением – на формулу решения квадратного уравнения (1.2). Если под корнем окажется, например, число 23, то точное значение корней нам записать не удастся, так как число - иррациональное и выражается бесконечной непериодической десятичной дробью, и нам придется все равно ограничиваться некоторой точностью его записи.

Численные методы еще называют приближенными, но не потому, что они дают неточный, приблизительный результат, а потому, что в большинстве из них результат получается путем последовательного приближения к точному решению с заранее заданной точностью.

В данном курсе численных методов решения задач в виду ограниченности времени будут рассмотрены лишь пять математических задач:

1. решение трансцендентных уравнений;

2. решение задач линейной алгебры;

3. аппроксимация зависимостей;

4. вычисление определенных интегралов;

5. решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Поиск по сайту: