Закон сохранения полной механической энергии системы

До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения одной частицы с энергетической точки зрения. Теперь перейдем к системе частиц. Это может быть любое тело, газ, любой механизм, Солнечная система и т. д.

В общем случае частицы системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в данную систему. Систему частиц, на которую не действуют никакие посторонние тела или их воздействие пренебрежимо мало, называют замкнутой или изолированной. Понятие замкнутой системы является естественным обобщением понятия изолированной материальной точки и играет важную роль в физике.

Введем понятие потенциальной энергии системы частиц. Рассмотрим замкнутую систему, между частицами которой действуют только центральные силы, т. е. силы, зависящие при данном характере взаимодействия только от расстояния между ними и направленные по прямой, их соединяющей.

Покажем, что в любой системе отсчета работа всех этих сил при переходе системы частиц из одного положения в другое может быть представлена как убыль некоторой функции, зависящей при данном характере взаимодействия только от конфигурации самой системы или от относительного расположения ее частиц. Эту функцию назовем собственной потенциальной энергией системы, в отличие от внешней потенциальной энергии, характеризующей взаимодействие данной системы с другими телами.

Первоначально рассмотрим систему из двух частиц. Вычислим элементарную работу сил, с которыми эти частицы взаимодействуют между собой. Пусть в произвольной системе отсчета в некоторый момент времени положение частиц определяется радиус-векторами и . Если за время dt частицы совершили перемещения и соответственно, то работа сил взаимодействия и равна

Теперь учтем, что, согласно третьему закону Ньютона , поэтому предыдущее выражение можно переписать так:

Введем вектор , характеризующий положение 1-й частицы относительно 2-й. Тогда и после подстановки в выражение для работы получим

.

Сила - центральная, поэтому работа этой силы равна убыли потенциальной энергии взаимодействия данной пары частиц, т. е.

Так как функция зависит только от расстояния между частицами, то ясно, что работа не зависит от выбора системы отсчета.

Теперь рассмотрим систему из трех частиц, так как полученный в этом случае результат легко обобщить и на систему из произвольного числа частиц. Элементарная работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарном перемещении всех частиц, может быть представлена как сумма элементарных работ всех трех пар взаимодействий, т. е.

Но для каждой пары взаимодействий, как было показано , поэтому

где функция есть собственная потенциальная энергия данной системы частиц:

Так как каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими частицами, то очевидно, что собственная потенциальная энергия U данной системы зависит от относительного расположения частиц в один и тот же момент времени, или, другими словами, от конфигурации системы.

Ясно, что подобные рассуждения справедливы и для системы из любого числа частиц. Поэтому можно утверждать, что каждой конфигурации произвольной системы частиц присуща своя собственная потенциальная энергия U, и работа всех центральных внутренних сил при изменении конфигурации системы равна убыли собственной потенциальной энергии системы, т. е.

(5.35)

а при конечном перемещении всех частиц системы

(5.36)

где и -значения потенциальной энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Собственная потенциальная энергия системы U - величина неаддитивная, т. е. она не равна в общем случае сумме собственных потенциальных энергий ее частей. Необходимо учесть еще потенциальную энергию взаимодействия отдельных частей системы

,

(5.37)

где - собственная потенциальная энергия части системы.

Следует также иметь в виду, что собственная потенциальная энергия системы, как и потенциальная энергия взаимодействия каждой пары частиц, определяется с точностью до прибавления произвольной постоянной, которая, впрочем, и здесь совершенно несущественна.

В заключение приведем полезные формулы для расчета собственной потенциальной энергии системы. Прежде всего покажем, что эта энергия может быть представлена как.

(5.38)

где - потенциальная энергия взаимодействия частицы со всеми остальными частицами системы. Здесь сумма берется по всем частицам системы.

Убедимся в справедливости этой формулы сначала для системы из трех частиц. Выше было показано, что собственная потенциальная энергия данной системы Преобразуем эту сумму следующим образом. Представим каждое слагаемое в симметричном виде: , ибо ясно, что . Тогда

Сгруппируем члены с одинаковым первым индексом:

Каждая сумма в круглых скобках представляет собой потенциальную энергию взаимодействия частицы с остальными двумя. Поэтому последнее выражение можно переписать так:

что полностью соответствует формуле (5.38).

Обобщение полученного результата на произвольную систему очевидно, ибо ясно, что подобные рассуждения совершенно не зависят от числа частиц, составляющих систему.

Для системы, взаимодействие между частицами которой носит гравитационный или кулоновский характер, формулу (5.38) можно преобразовать и к другому виду, воспользовавшись понятием потенциала. Заменим в (5.38) потенциальную энергию частицы выражением , где - масса (заряд) частицы, а - потенциал, создаваемый всеми остальными частицами системы в точке нахождения частицы.

Тогда

(5.39)

Если массы или заряды распределены в системе непрерывно, то суммирование сводится к интегрированию:

(5.40)

где -объемная плотность массы или заряда, -элемент объема. Здесь интегрирование проводится по всему объему, занимаемому массами или зарядами.

В качестве примера на применение последней формулы может служить задача, в которой необходимо провести расчет собственной потенциальной энергии гравитационного взаимодействия масс, распределенных по сфере и объему шара.

Пример. Определить собственную потенциальную энергию гравитационного взаимодействия масс, равномерно распределенных:

по поверхности сфера;

по объему шара.

Массы сферы м шара равны М, их радиус равен R.

Имея в виду, что потенциал в каждой точке сферы получим в соответствии с формулой (5.40),

Для случая шара потенциал внутри шара зависит только от r:

Подставляя это выражение в (5.40) и интегрируя, получим

где dm - масса элементарного сферического слоя, находящегося между радиусами r и r+dr;

Теперь введем понятие кинетической энергии системы. Рассмотрим в некоторой системе отсчета произвольную систему частиц. Пусть частица системы имеет в данный момент кинетическую энергию . Приращение кинетической энергии каждой частицы равно, согласно (5.26), работе всех сил, действующих на эту частицу: Найдем элементарную работу, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы:

,

где - суммарная кинетическая энергия системы. Заметим, что кинетическая энергия системы - величина аддитивная: она равна сумме кинетических энергий отдельных частей системы независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Итак, приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы. При элементарном перемещении всех частиц

(5.41)

а при конечном перемещении

(5.42)

Уравнение (5.41) можно представить и в другой форме, поделив обе части его на соответствующий промежуток времени dt. Имея при этом в виду что, получим

(5.43)

т. е. производная кинетической энергии системы по времени равна суммарной мощности всех сил, действующих на все частицы системы,

Уравнения (5.41) - (5.43) справедливы как в инерциaльных, так и в неинерциальных системах отсчета. Следует только понимать, что в неинерциальных системах кроме работы сил взаимодействия необходимо учитывать и работу сил инерции.

Проведем классификацию сил по их свойствам. Известно, что частицы рассматриваемой системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в данную систему. В соответствии с этим силы взаимодействия между частицами системы называют внутренними, а силы, обусловленные действием других тел, не входящих в данную систему, - внешними. В неинерциальной системе отсчета к последним нужно относить и силы инерции.

Кроме того, все силы делят на потенциальные и непотенциальные. Потенциальными называют силы, зависящие при данном характере взаимодействия только от конфигурации механической системы. Работа этих сил, как было показано, равна убыли потенциальной энергии системы.

К непотенциальным силам относятся так называемые диссипативные силы - это силы трения и сопротивления, а также энергетические силы, вызывающие увеличение механической энергии системы за счет других видов энергии (например, взрыв артиллерийского снаряда). Важной особенностью данных сил является то, что суммарная работа внутренних диссипативных сил рассматриваемой системы отрицательна, а энергетических сил - положительна, причем в любой системе отсчета. Докажем это для диссипативных сил.

Любая диссипативная сила может быть представлена в виде

(5.44)

где - скорость данного тела относительно другого тела (или среды), с которым оно взаимодействует; - положительный коэффициент, зависящий в общем случае от скорости . Сила всегда направлена противоположно вектору . В зависимости от выбора системы отсчета работа этой силы может быть как положительной, так и отрицательной. Суммарная же работа всех внутренних диссипативных сил - величина всегда отрицательная.

Переходя к доказательству этого, отметим прежде всего, что внутренние диссипативные силы в данной системе будут встречаться попарно, причем в каждой паре, согласно третьему закону Ньютона, они одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Найдем элементарную работу произвольной пары диссипативных сил взаимодействия между телами 1 и 2 в системе отсчета, где скорости этих тел в данный момент равны :

Теперь учтем, что - скорость тела 1 относительно тела 2, а также то, что . Тогда выражение для работы преобразуется так:

,

Отсюда видно, что работа произвольной пары внутренних диссипативных сил взаимодействия всегда отрицательна, а значит и суммарная работа всех пар внутренних диссипативных сил также всегда отрицательна. Таким образом, действительно,

(5.45)

Теперь можно сформулировать закон сохранения полной механической энергии системы частиц. Выше было показано, что приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы. Разделив эти силы на внешние и внутренние, а внутренние, в свою очередь,- на потенциальные и непотенциальные, запишем предыдущее утверждение так:

Теперь учтем, что работа внутренних потенциальных сил равна убыли собственной потенциальной энергии системы, т.е.

Тогда предыдущее выражение примет вид

(5.46)

Введем понятие полной механической энергии системы, или, короче, механической энергии, как сумму кинетической и потенциальной энергии системы:

(5.47)

Очевидно, энергия Е зависит от скоростей частицы системы, характера взаимодействия между ними и конфигурации системы. Кроме того, энергия Е, как и потенциальная энергия U, определяется с точностью до прибавления несущественной произвольной постоянной и является величиной неаддитивной, т. е. энергия Е системы не равна в общем случае сумме энергий ее отдельных частей. В соответствии c (5. 37)

(5.48)

где - механическая энергия части системы, - потенциальная энергия взаимодействия ее отдельных частей.

Вернемся к формуле (5.46). Перепишем ее с учетом (5.47) в виде

(5.49)

Это выражение справедливо при бесконечно малом изменении конфигурации системы. При конечном же изменении

(5.50)

т. е. приращение механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внешних сил и всех внутренних непотенциальных сил.

Уравнение (5.49) можно представить и в другой форме, поделив обе части его на соответствующий промежуток времени dt. Тогда

.

(5.51)

т. е. производная механической энергии системы по времени равна алгебраической сумме мощностей всех внешних сил и всех внутренних непотенциальных сил.

Уравнения (5.49) - (5.51) справедливы как в инерциальной, так и в неинерциальной системах отсчета. Следует только иметь в виду, что в неинерциальной системе отсчета необходимо учитывать работу (мощность) и сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под надо понимать алгебраическую сумму работ внешних сил взаимодействия и работу сил инерции . Чтобы выделения этого обстоятельства, запишем уравнение (5.50) в виде

(5.52)

Итак, мы пришли к важному результату: механическая энергия системы может изменяться под действием как внешних сил, так и внутренних непотенциальных сил (точнее говоря, под действием алгебраической суммы работ всех этих сил). Отсюда непосредственно вытекает и другой важный вывод - закон сохранения механической энергии:

в инерциальной системе отсчета механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой нет непотенциальных сил, сохраняется в процессе движения, т. е.

(5.53)

Такую систему называют консервативной. С достаточно хорошим приближением замкнутой консервативной системой можно считать Солнечную систему.

Заметим, что при движении замкнутой консервативной системы сохраняется именно полная механическая энергия, кинетическая же и потенциальная в общем случае изменяются. Однако эти изменения происходят всегда так, что приращение одной из них в точности равно убыли другой, т. е. Ясно, что это положение справедливо только в инерциальных системах отсчета.

Далее, из уравнения (5.50) следует, что если замкнутая система неконсерватнвна, т. е. в ней имеются непотенциальные силы, то механическая энергия такой системы, согласно (5.45), изменяется, а в случае диссипативных сил убывает:

(5.54)

Можно сказать: уменьшение механической энергии обусловлено тем, что она расходуется на работу против диссипативных сил, действующих в системе. Однако такое объяснение является формальным, поскольку оно не раскрывает физической природы диссипативных сил.

Более глубокое осмысливание этого вопроса привело к фундаментальному выводу о существовании в природе универсального закона сохранения энергии: энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую или обмениваться между отдельными частями материи.

При этом понятие энергии пришлось расширить введением новых форм ее (помимо механической) - энергия электромагнитного поля, химическая энергия, ядерная и др.

Универсальный закон сохранения энергии охватывает, таким образом, и те физические явления, на которые законы Ньютона не распространяются. Поэтому он не может быть выведен из этих законов, а должен рассматриваться как самостоятельный закон, представляющий собой одно из наиболее широких обобщений опытных фактов.

Возвращаясь к уравнению (5.54), можно сказать: при уменьшении механической энергии замкнутой системы всегда возникает эквивалентное количество энергии других видов, не связанных с видимым движением. В этом смысле уравнения (5.49) - (5.51)можно рассматривать как более общую формулировку закона сохранения энергии, в которой указана причина изменения механической энергии у незамкнутой системы.

В частности, механическая энергия может сохраняться у незамкнутых систем, но это происходит лишь в тех случаях, когда, согласно уравнению (5.50), уменьшение этой энергии за счет работы против внутренних диссипативных сил компенсируется поступлением энергии за счет работы внешних сил.

В заключение отметим, что при решении большинства задач закон сохранения энергии применяют обычно совместно с законом сохранения или импульса, или момента импульса, или с тем и другим одновременно.

Поиск по сайту: