Механические колебания и волны

Краткие теоретические сведения

1.1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид:

.

Решением этого уравнения является закон гармонических колебаний:

.

где — отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в момент времени t; — амплитуда колебаний; — фаза колебаний; — циклическая (круговая) частота; — период колебаний; — частота; — начальная фаза колебаний. и определяются из начальных условий.

1.2. Скорость точки, совершающей гармонические колебания:

,

где — амплитуда скорости.

1.3. Ускорение точки, совершающей гармонические колебания:

где — амплитуда ускорения.

1.4. Период и круговая частота свободных колебаний пружинного маятника:

, ,

где — масса груза; — жесткость (коэффициент упругости) пружины.

1.5. Период и круговая частота малых свободных колебаний физического маятника:

, ,

где — масса маятника; — момент инерции маятника относительно оси вращения; — расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника; — ускорение свободного падения.

1.6. Период и круговая частота малых свободных колебаний математического маятника:

, ,

где — длина маятника.

1.7. Потенциальная энергия гармонических колебаний пружинного маятника:

.

1.8. Кинетическая энергия гармонических колебаний пружинного маятника:

.

1.9. Полная энергия гармонических колебаний пружинного маятника:

.

1.10. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника:

,

где — коэффициент затухания; — коэффициент вязкого трения; — круговая частота свободных колебаний маятника.

1.11. Решением дифференциального уравнения затухающих колебаний является закон затухающих колебаний:

,

где — амплитуда затухающих колебаний; — круговая частота затухающих колебаний.

1.12. Логарифмический декремент затухания:

.

1.13.Время релаксации:

.

1.14. Добротность:

.

1.15. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

,

где — циклическая частота вынуждающей силы, — максимальное значение (амплитуда) внешней силы.

1.16. Решение дифференциального уравнения для установившихся вынужденных колебаний:

,

где — амплитуда вынужденных колебаний; ; — сдвиг фазы между смещением и внешней силой.

1.17. Условие механического резонанса:

,

и амплитуда резонансных колебаний:

.

1.18. Связь длины и скорости распространения волны:

.

1.19. Скорость распространения упругих продольных волн в тонких стержнях:

,

где — модуль Юнга; — плотность материала стержня.

1.20 Скорость распространения упругих волн в газах:

,

где — показатель адиабаты; — давление; — плотность газа.

1.21. Уравнение плоской гармонической волны:

,

где — смещение частиц среды в точке в момент времени ; — волновое число; — амплитуда волны.

Поиск по сайту: