Приложение дифференциального исчисления

1) Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого возьмем производную и приравняем ее нулю.

при .

	+ + х

На тех интервалах, где , функция убывает; где , функция возрастает. Поэтому интервалы возрастания функции и , интервалы убывания функции и .

По рисунку видно, что в точках и функция принимает свои минимальные значения, а при - максимальное. Найдем эти значения:

Ответ: .

2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Так как свои наименьшее и наибольшее значения непрерывная на отрезке функция может принимать либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума, входящих в этот отрезок, то находим значения исследуемой функции во всех этих точках и среди них выбираем наибольшее и наименьшее значения.

при ;

.

Найдем значение функции только при так как .

.

Выбираем наибольшее значение функции из найденных трех чисел; это 10. Теперь наименьшее – это 3.

Ответ:

3) Найти точки перегиба функции .

Решение. Так как точками перегиба являются те точки из области допустимых значений, где вторая производная меняет знак, то сначала найдем , затем и приравняем нулю.

при , так как для всех .

- +   2

выпуклость на вогнутость, т.е. - точка перегиба функции.

Ответ: - точка перегиба.

4) Найти асимптоты графика .

Так как вертикальную асимптоту имеет функция с разрывом 2-го рода в точке , то сначала найдем точки разрыва и исследуем поведение функции в их окрестностях.

О.Д.З.

Значит, - точка разрыва, так как функция в этой точке не определена. Найдем предел слева и предел справа функции при подходе к точке . И выясним, разрыв какого рода терпит данная функция в этой точке.

. Предел слева равен .

. Предел слева равен + .

Так как односторонние пределы бесконечны, то в точке разрыв 2-го рода, поэтому уравнение вертикальной асимптоты .

Функция также может иметь или не иметь наклонные асимптоты. Если они есть, то их уравнение , где

.

Найдем правую наклонную асимптоту при .

Подставляем в уравнение асимптоты и получаем уравнение правой асимптоты Найдем левую асимптоту при . Повторяя все предыдущие действия, как и для , получаем уравнение левой асимптоты Ответ: Вертикальная асимптота . Наклонная асимптота .

-2

-2 -1 1 х

-2 -

5) Исследовать функцию и построить ее график .

Исследование функции будем проводить по плану.

1. Найдем О.Д.З. и, если есть асимптоты О.Д.З., – любое. Следовательно, нет

точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот нет.

2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат, исследуем функцию на четность, тригонометрические функции - на периодичность. Пусть , тогда . Точка (0,0). Проверим четность функции.

. Значит, наша функция нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Исследуем монотонность функции с помощью .

Получаем, что функция всюду возрастающая, не имеющая точек экстремума, так как нет ни одной точки, в которой

+ +

0 х

равен нулю или бесконечности.

4. С помощью находим точки перегиба

при и .

Все точки, в которых , являются точками перегиба, так как в них меняет знак на противоположный.

Найдем значения функции в этих точках: .

5. Найдем наклонные асимптоты, если они есть .

Сначала , тогда

Теперь найдем

Получаем - уравнение правой асимптоты. Повторяя прежние рассуждения, уже при получим уравнение левой асимптоты .

6. Теперь строим график функции, начертив сначала все асимптоты, отметив точки экстремума, точки перегиба и точки пересечения с осями координат.

Поиск по сайту: