|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
В О П Р О СЫ К К О Л Л О К В И У М У
Список литературы 1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Линейная алгебра, учебник 2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Аналитическая геометрия, учебник 3. А.В. Ефимов, А.С. Поспелов, Сборник задач по математике для ВТУЗ-ов, часть 1, М. Физмат, 2004 4. Н.И. Лобкова, Ю.Д. Максимов, Ю.А. Хватов, Математика, том 1, изд-во Политехнического университета, 2007 5. Н.И. Лобкова, М.В. Лагунова, В.М. Семенов, Математика, выпуск 1, Основы линейной алгебры и аналитической геометрии, Опорный конспект, изд-во Политехнического университета, 2005 Ч а с т ь 1 Глава 1. Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А
Тема 1. Определители. § 1. Определители 2-го и 3-го порядка. § 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка. § 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка. § 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу. § 5. Определители 4-го порядка. § 6. Определители n-го порядка. Задачи по теме 1. Тема 2. Матрицы. § 1. Виды матриц, равенство матриц. § 2. Линейные действия с матрицами и их свойства. § 3. Умножение матриц и его свойства. § 4. Обратная матрица и ее свойства. § 5. Ранг матрицы. Задачи по теме 2. Тема 3. Системы линейных уравнений. § 1. Основные понятия. § 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. § 3. Решение систем линейных уравнений матричным способом. § 4. Исследование систем линейных уравнений. § 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. § 6. Однородные системы линейных уравнений. Задачи по теме 3. Ответы к задачам.
§ 1. Определители 2-го и 3-го порядка. A = Определитель 2 -го порядка: det A =
Правило: (+) (−) Пример.
A = Определитель 3 -го порядка: det A = =
Правило: (+) (−) Пример. =
§ 2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.
1. Определитель не изменится, если все строки определителя заменить соответствующими столбцами или наоборот: все столбцы определителя заменить соответствующими строками. (Такое действие над строками и столбцами называется транспонированием матрицы).
2. При перестановке двух каких-либо строк (или двух столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
3. Общий множитель некоторой строки (или некоторого столбца) можно вынести за «знак» определителя. (Под «знаком» определителя понимается не знаки «+» или «-», а обозначения определителя: «det» или «
4. Определитель, имеющий нулевую строку (или нулевой столбец) равен нулю.
5. Определитель, имеющий две одинаковые строки (или два одинаковых столбца) равен нулю.
6. Определитель, имеющий две пропорциональные строки (или два пропорциональных столбца) равен нулю.
7. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей следующего вида:
8. Определитель не изменится, если к какой-либо строке (или столбцу) прибавить другую строку (или столбец), умноженную на любое число.
9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
§ 3. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы 3-го порядка.
A = Mij - минор элемента
Aij - алгебраическое дополнение элемента A11 = M11 A12 = - M12 A13 = M13 A21 = - M21 A22 = M22 A23 = - M23 A31 = M31 A32 = - M32 A33 = M13 Правило (выбора знака): Пример. A =
A11 = A21 = - A31 =
§ 4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или столбцу.
Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения: det A = det A = det A = det A = det A = det A = det A =
Пример. Вычислить определитель: det A = а) путем разложения по строке или столбцу; б) с использованием его свойств.
разложение по 1-й строке: det A = 1×(-4) + 2×(-8) + 3×(-10) = -4 -16 -30 = -50; разложение по 3-му столбцу: det A = 3×(-10) + 4×(-5) + 0×(-5) = -30 -20 + 0 = -50. с использованием его свойств: det A = =
§ 5. Определители 4-го порядка.
A = Mij - минор элемента
Aij - алгебраическое дополнение элемента A11 = M11 , A23 = - M23 , A42 = M42 , A34 = - M34 и т.д. Правило (выбора знака): Пример. A =
A11 = A23 = − A34 = − = =
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:
= = =
Определитель 4-го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
det A = или: det A =
Свойства определителей 4-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го и 3-го порядков (свойства 1 ÷ 9). Вычисление определителей 4 -го порядка намного упрощается, если разумно применить свойства определителей, например: получить много нулей в какой-нибудь строке или столбце или привести определитель к треугольному виду.
Пример. det A = = = = = = = −
§ 6. Определители n-го порядка.
A = Mij - минор элемента Aij - алгебраическое дополнение элемента
Теорема. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n - го порядка на их алгебраические дополнения есть величина постоянная:
Определитель n - го порядка - это число, равное сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы n - го порядка на их алгебраические дополнения: det A = i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n.
Свойства определителей n-го порядка - такие же, как и для определителей 2-го, 3-го и 4-го порядков (свойства 1 ÷ 9).
Пример. Вычислить определитель n -го порядка: det A = Ко всем строкам прибавим первую строку, умноженную на (-1): det A = Получили определитель треугольной матрицы, который по свойству (9) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали: det A = 1×(
Пример. Вычислить определитель n -го порядка: det A = (Элементы главной диагонали равны нулю, а все остальные элементы равны 1). Все строки прибавим к первой строке: det A = Из первой строки вынесем общий множитель: det A = ( Вычтем первую строку из всех остальных строк: det A = ( Задачи по теме 1. u. Вычислить определители 2-го порядка (довести до числового значения).
1.
4.
7.
10.
13.
15.
17.
v. Вычислить определители 3-го порядка: − № 1 ÷ 8 - используя разложение по строке или столбцу; − № 9 ÷ 16 - используя свойства определителей.
1.
5.
9.
13.
w. Вычислить определители 4-го порядка.
1.
4.
7.
Дополнительные задачи.
1. Найти многочлен: P(λ) = 2. Для матрицы A =
Вычислить определители n -го порядка: 3.
6.
10.
§ 1. Виды матриц, равенство матриц.
A m, n = AT n, m =
A 1, n = A n, 1 = A n, n = A n, n = A n, n = D n, n = E n, n = Равенство матриц.
A m, n = A m, n = B p, q Û
§ 2. Линейные действия с матрицами и их свойства.
К линейным действиям с матрицами относятся: сложение, вычитание матриц и умножение матрицы на число.
1. Сложение и вычитание матриц.
A m, n =
A + B = A - B =
Пример. A = A - B =
Свойство нулевой матрицы: A +
2. Умножение матрицы на число.
A m, n =
Пример. A =
Умножение матрицы на числа 0 и 1: 0× A = Противоположная матрица: - A = (-1)× A Свойства п ротивоположной матрицы: A + (- A) =
(A, B, C - матрицы одинаковых размеров; λ, α, β - действительные числа):
1. A + B = B + A (коммутативность сложения матриц) 2. (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения матриц) 3. α×(β× A)= (α×β)× A (однородность относительно умножения на число) 4. (α + β)× A = α× A + β× A (дистрибутивность относительно сложения чисел) 5. λ×(A + B) = λ× A + λ× B (дистрибутивность относительно сложения матриц)
§ 3. Умножение матриц и его свойства.
1. Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец. A 1, n = A и B - матрицы разного размера (при n >1), но имеющие одинаковое число элементов.
Пример. A = A × B =
2. Умножение согласованных матриц.
Матрицы A и B - с огласованы для умножения A × B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B: A m, k и B k, n - согласованные матрицы
A m, k = B k, n = A m, k × B k, n = C m, n =
Пример. A = A 2, 3 × B 3, 2 = = B 3, 2 × A 2, 3 = =
Свойство нулевой матрицы: A × Свойство единичной матрицы: A × E = A, E × A = A (для согласованных матриц A и E).
(A, B, C - согласованные матрицы; λ - действительное число):
1. (A × B) × C = A × (B × C) (ассоциативность умножения матриц) 2. λ ×(A × B)= (λ × A)× B (однородность умножения) 3. (A + B)× C = A × C + B × C (дистрибутивность относительно сложения матриц) 4. A ×(B + C) = A × B + A × C (дистрибутивность относительно сложения матриц)
1. (AT) T = A 2. (A + B) T = AT + BT 3. (λ × A) T = λ × AT 4. (A × B) T = BT × AT
Для квадратных матриц A n, n введено понятие определителя det A. Из свойств определителей получаем следующие дополнительные свойства матриц:
1. det (AT) = det A 2. det 3. det (- A) = (-1) n × det A 4. det (λ× A) = λ n × det A Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового размера равен произведению определителей этих матриц:
Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее определитель равен нулю: A - вырожденная матрица Û det A = 0 Пример. A = Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.101 сек.) |