Простори операторів

Тема: Простори операторів. Норма оператора.

Норма оператора

Нехай Е, Е₁ – нормовані простори, а А – лінійний обмежений оператор, діючий з Е в Е₁.

Означення: Найменше з чисел С, які задовольняють нерівності

(1)

називається нормою оператора А та позначається .

Теорема 1: Для будь-якого обмеженого оператора А діючого з нормованого простору в нормований,

(2)

Доведення.

1. Вводимо позначення

В силу лінійності справедлива рівність .

Дійсно .

Тому, для будь-якого елемента

, тобто

,

звідси .

Потім, для будь-якого ε>0 існує такий елемент що . (В силу означення ).

Тобто

Звідси

,

В силу того, що довільна величина, . Звідси маємо, що .

Теорему доведено.

Простори операторів.

Означення: Нехай і - два лінійних оператора, що діють із лінійного простору в лінійний простір . Назвемо їх сумою лінійний оператор , що ставить у відповідність елементу елемент , тобто .

Він визначений на всіх елементах, які належать до перетину D₁∩D2 областей визначення операторів А і В.

Легко перевірити, що С=А+В – лінійний оператор, та неперервний, якщо А і В – неперервні.

1) Дійсно

тобто А+В – лінійний.

2) Нехай . Покажемо, що

Розглянемо , (в силу неперервності А та В)■

Якщо Е і Е₁ – нормовані простори, а оператори А і В обмежені, то А+В також обмежений, причому (3)

Дійсно, для будь-якого

звідки маємо (3).

Означення. Нехай і - лінійні оператори, причому діє із в , а із в . Добутком операторів і називається оператор , що ставить у відповідність елементу елемент із . Область визначень D_с оператора складається з тих , для котрих

Зрозуміло, що лінійний:

Якщо А і В неперервні, то ВА – неперервний. Нехай , тоді в силу неперервності А: , а в силу неперервності В: тому , то , таким чином ВА – неперервний.

Якщо і - обмежені оператори, що діють в нормованих просторах, то і оператор - обмежений, причому

(4)

дійсно

(5)

звідки маємо(4).

Сума чи добуток трьох і більше операторів визначаються послідовно. Обидві ці операції асоціативні.

Означення. Добутком лінійного оператора на число називається оператор , який кожному елементу ставить у відповідність елемент із .

Сукупність усіх лінійних неперервних операторів, визначених на всьому і які відображають у (де і – фіксовані лінійні метричні простори), створює, за відношенням к доведеним вище операціям суми та добутку на числа, лінійний простір. Нулем цього простору є нульовий оператор , тобто такий оператор

Якщо і – нормовані простори, то – нормований простір з нормою оператора, визначення якої є на початку теми. Якщо Е₁ - повний нормований простір, то – також повний простір.

Поиск по сайту: