 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Серветка і килим Серпінського
|
Читайте также: |
Ще один приклад простого самоподібного фрактала --- серветка Серпінського (рис. 1.2.1), придумана польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році. Сам термін «серветка» належить Мандельброту. У способі побудови, наступному нижче, ми починаємо з деякої області і послідовно викидаємо внутрішні підобласті. Пізніше ми розглянемо й інші способи, зокрема з використанням L-систем, а також на основі ітерованих функцій.
Рис 1.2.1. Серветка Серпінського
Нехай початкова множина S0 --- рівносторонній трикутник разом з областю, яку він замикає. Розіб'ємо S0 на чотири менші трикутні області, з'єднавши відрізками середини сторін вихідного трикутника. Видалимо маленьку центральну трикутну область. Назвемо залишкову безліч S1 (рис. 1.2.2). Потім повторимо процес для кожного з трьох, що залишилися маленьких трикутників і отримаємо наступне наближення S2. Продовжуючи таким чином, отримаємо послідовність вкладених множин Sn, чий перетин утворює серветка S.
Рис. 1.2.2. Побудова серветки Серпінського
Очевидно, що сумарна площа частин, викинутих при побудові, в точності дорівнює площі вихідного трикутника. На першому кроці ми викинули ¼ частину площі. На наступному кроці ми викинули три трикутника, причому площа кожного дорівнює ¼ 2 площі початкового. Міркуючи таким чином, ми переконуємося, що повна частка викинутої площі склала:
1/4 + 3*(1/42) + 32*(1/43) + … + 3n-1*(1/4n) + ….
Ця сума дорівнює 1. Отже, ми можемо стверджувати, що заликова безліч S, тобто серветка, має площу міри нуль. Це виділяє безліч S в розряд «досконалої», в тому сенсі, що вона розбиває своє доповнення на нескінченне число трикутних областей, володіючи при цьому нульовий завтовшки.
Килим Серпінського вважається ще однією моделлю фрактала. Будується він таким чином: береться квадрат, ділиться на дев'ять квадратів, вирізається центральний квадрат. Потім з кожним з восьми залишкових квадратів проробляється подібна процедура. І так до нескінченності. У результаті замість цілого квадрата ми отримуємо килим зі своєрідним симетричним малюнком. Вперше дану модель запропонував математик Серпінський, на честь якого він і отримав свою назву. Приклад килима Серпінського можна побачити на рис. 1.2.3.
Рис. 1.2.3. Побудова килима Серпінського
Поиск по сайту: