ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ И ТЕРМОДИНАМИКЕ

2.1. В сосуде объемом 1 л находится кислород массой 1 г. Определить концентрацию молекул.

=10-3 м 3 m =1 г = 10-3 кг М =32×10-3 кг/моль

n -?

Решение. p = nkT, Þ . , Þ , подставляем в правую часть выражения в рамке: . Ответ: n= 1,88×10²⁵ м ^-3.

2.2 Найти среднюю скорость молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа равна 0,3 кг / м ^-3.

Решение. Запишем основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа в виде , где m_o – масса отдельной молекулы. Средняя скорость равна , а среднеквадратичная , Þ . , Þ , Þ . Подставим в выражение в рамке:

. Ответ: м/с.

2.3. На какой высоте давление составляет 60 % от давления на уровне моря? Считать температуру равной 10 ^оС, независимо от высоты.

Решение. Из барометрической формулы следует, что отношение давлений на высоте h и на уровне моря равно , Þ . Обратите внимание: чтобы избавиться от минуса, мы перевернули дробь. Осталось выразить h из последней формулы: . Ответ: h =4220 м.

2.4. Считая температуру равной 273 К и не зависящей от высоты, определить, на какой высоте над уровнем моря плотность воздуха уменьшится в е раз.

Решение. Из уравнения Клапейрона-Менделеева выразим давление через протность: = , и подставим в барометрическую формулу: , Þ , Þ , Þ 1= . Отсюда выразим искомую высоту: =8000 м. Ответ: h =8 км.

2.5. В длинном вертикальном сосуде находится смесь из двух газов, у которых массы молекул соответственно равны m ₁ и m ₂. Концентрации молекул газов у дна сосуда равны соответственно n ₀₁ и n ₀₂. Найти высоту, на которой концентрации газов будут одинаковы. Считать температуру одинаковой по всей высоте.

Решение. Запишем барометрическую формулу для каждой компоненты смеси: ; . При n ₁= n ₂ после несложных преобразований имеем . Логарифмируем последнее выражение, а затем выразим искомую высоту: . Ответ: .

2.6. Четыре моля кислорода находятся при температуре 27 ^оС. Найти его внутреннюю энергию.

Решение. Внутренняя энергия идеального газа не зависит от вида газа, а определяется только количеством молей и абсолютной температурой:

, где для двухатомной жесткой молекулы кислорода число степеней свободы i =5. Отсюда = 25×10³ Дж. Ответ: U = 25×10³ Дж.

2.7. Определить плотность смеси водорода массой m ₁ =8 г и кислорода массой m ₂ = 64 г при температуре Т=290 К и давлении 0,1 МПа.

Решение. r= (1), m = m ₁+ m ₂ (2), (3), Þ (4). Подставляя (2) и (4) в (1), получим искомое выражение для плотности смеси газов: (кг/м ³).

Ответ: r = 0,498 кг/м ³.

2.8. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на D Т = 72 К, сообщив ему количество теплоты Q =1,6 кДж. Найти приращение его внутренней энергии и показатель адиабаты .

D Т = 72 К n= 1 Q =1,6 кДж

D U -? γ -?

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа, равно

, откуда , откуда, раскрывая скобки, выражаем γ:

. Приращение внутренней энергии равно = , где мы подставили ранее найденное γ: .

Ответ: D U =1 кДж, γ =1.6

2.9. Идеальный газ с показателем адиабаты γ расширяют так, что сообщаемое ему тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе и уравнение процесса в параметрах TV.

Решение. По условию , поэтому молярная теплоемкость равна , . Это процесс с постоянной теплоемкостью, т.е. политропический. Показатель политропы , где мы подставили найденную выше теплоемкость С. В уравнение политропы в форме =const, подставим n:

. Ответ: ; .

2.10. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в η =1,5 раза?

Решение. Обозначим искомое отношение объемов: . По условию , где слева отношение начальной и конечной среднеквадратичных скоростей, каждая из которых пропорциональна корню квадратному из температуры. Следовательно, . При адиабатическом процессе =const, Þ = , Þ = , Þ . Осталось подставить показатель адиабаты: , Þ β = .

Ответ: .

2.11. Водород совершает цикл Карно. Найти кпд цикла, если при адиабатическом расширении объем газа увеличивается в n =2 раза.

Решение. При адиабатическом процессе =const, Þ = , Þ , Þ кпд цикла равен η = = . Ответ: 0,25.

2.12. Водород совершает цикл Карно. Найти кпд цикла, если при адиабатическом расширении давление газа уменьшается в n =2 раза.

Решение. Уравнение адиабаты =const, Þ = , Þ . По условию , Þ . Из уравнения Клапейрона-Менделеева () следует, что ; , Þ , что подставляем в формулу для кпд: η = = . Ответ: =0,18.

2.13. Найти приращение энтропии 1 моля углекислого газа при увеличении его температуры в n =2 раза при изобарическом процессе.

n =2 p=const n= 1 γ = 7 / 5

-?

Решение. Энтропия 1 моля идеального газа равна . Следовательно, изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2 равно , где . Жесткая молекула углекислого газа линейна и поэтому имеет 5 степеней свободы, Þ γ = 7 / 5. Окончательно получаем (Дж/К). Ответ: Дж/К.

2.14. Один моль кислорода изохорически нагревается от температуры T ₁ до температуры T ₂=4 T ₁. Найти приращение энтропии.

n =4 V=const n= 1 γ = 7 / 5

-?

Решение. Запишем энтропию 1 моля идеального газа в фирме . Тогда изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2 равно = . Поскольку молекула кислорода линейная, то если считать ее жесткой, то γ = 7 / 5, т.к. число степеней свободы =5. Отсюда Ответ: Дж/К.

2.15. Азот массой 28 г адиабатно расширили в n =2 раза, а затем изобарно сжали до исходного объема. Определить изменение энтропии в ходе указанных процессов.

n =2 m = 28×10-3 кг i= 5

-? -? -?

Решение. Обозначим адиабатный переход 1®2, а изобарный 2®3. Полное изменение энтропии равно сумме: = + . Изменение энтропии на участке 1®2: =0, так как адиабатный процесс идет без теплообмена, Þ , Þ =0. Изменение энтропии на участке 2®3 равно = . При р= const ; . Подставляя в формулу = , получим: = = . Ответ: Дж/К.

2.16. Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определить работу А, которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от d ₁=6 мм до d ₂=60 мм. Поверхностное натяжение мыльного раствора принять равным s =40 мН/м.

Решение. Величину поверхностного натяжения можно выразить двумя способами: либо как силу натяжения, приходящуюся на единицу длины контура, либо как поверхностную энергию, приходящуюся на единицу площади поверхности: . В последнем случае, искомую работу следует приравнять изменению энергии в результате раздувания пузыря, а -полагать изменением площади поверхности с учетом того, что у пузыря две поверхности: внешняя и внутренняя. Таким образом, , где . При Т=const, Þ s=const. Таким образом, = . Ответ: А =896×10^-6 Дж.

2.17. Капилляр, имеющий внутренний радиус r =0,5 мм, опущен в жидкость. Определить массу жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее поверхностное натяжение равно 60 мН/м.

Решение. Сила тяжести столба жидкости в капилляре уравновешена силами поверхностного натяжения в связи со смачиванием внутренних стенок капилляра жидкостью: , где l=2pr – длина границы. Отсюда .

Ответ: m =1,92×10^{-5 кг} .

Поиск по сайту: