МАТЕРИАЛЫ ЛЕКЦИИ 3

Диаметры кривых второго порядка. Свойство диаметров кривых параболического типа. Теорема о сопряженных диаметрах.

Литература. [1]§ 35.

Мы получили необходимые нам соотношения, которые будем использовать в дальнейшем:

, (*)

где коэффициенты не равны нулю одновременно.

Параметрические уравнения прямой l:

(1^*)

, (2^*)

, (3^*)

, (4^*)

. (5^*)

Любая прямая не асимптотического направления пересекает кривую второго порядка либо в двух различных действительных, либо в двух совпавших, либо в двух комплексно сопряженных точках. Отрезок прямой, заключенный между этими точками будем называть ее хордой.

Пусть даны кривая второго порядка g, заданная своим общим уравнением (*) и пучок параллельных между собой прямых, имеющих не асимптотическое направление. Требуется найти множество середин хорд, отсекаемых этими прямыми от кривой. Заметим, если точки и пересечения g и прямой имеют комплексно сопряженные координаты и , то координаты : , середины хорды являются действительными числами. Рассмотрим произвольную прямую l данного пучка. Обозначим через a и b координаты ее направляющего вектора. Все прямые пучка параллельны между собой, поэтому вектор является направляющим для любой прямой пучка. Пусть и - точки пересечения g и l, а ‑ середина хорды (рис.79). Примем точку М в качестве начальной и составим параметрические уравнения прямой l. Пусть и - параметры точек и , тогда Согласно лемме, доказанной на предыдущей лекции, точка М в том и только в том случае совпадает с серединой отрезка , когда . Но и - корни уравнения (2^*). Из теоремы Виета для корней квадратного уравнения следует, что точка M тогда и только тогда будет серединой хорды , когда ее координаты обращают в нуль коэффициент Q этого уравнения. Поэтому из формулы (4^*) получим:

,

или

. (1)

Коэффициенты и не равны одновременно нулю. Если , то , т.е. . Мы получили, что вектор имеет асимптотическое направление, чего нет по условию. Таким образом, уравнение (1) представляет собой уравнение прямой. Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Множество середин всех хорд кривой второго порядка, параллельных между собой и имеющих не асимптотическое направление, образуют прямую линию.

Определение 4. Прямая, содержащая середины всех хорд кривой второго порядка, параллельных между собой и имеющих не асимптотическое направление, называется диаметром, сопряженным этому направлению.

Если направление определено вектором , то уравнение сопряженного ему диаметра d имеет вид (1). При этом также говорят, что диаметр d сопряжен вектору . Все диаметры центральной кривой второго порядка проходят через ее центр.

Нас будет интересовать, в каком случае диаметр кривой имеет асимптотическое направление и как связаны между собой его направляющий вектор и вектор, ему сопряженный.

Теорема 2. Диаметр d кривой второго порядка в том и только в том случае имеет асимптотическое направление, когда кривая принадлежит параболическому типу. При этом все ее диаметры параллельны между собой.

Доказательство. Так как уравнение диаметра d, сопряженного направлению вектора , имеет вид (1), то координаты направляющего вектора этой прямой равны: . Выясним, при каком условии этот вектор имеет асимптотическое направление. Проведем следующие преобразования:

где - первый инвариант кривой. Отсюда следует, что вектор имеет асимптотическое направление в том и только в том случае, когда . Но направление вектора не является асимптотическим, . Поэтому для того, чтобы диаметр d имел асимптотическое направление необходимо и достаточно, чтобы , т.е. кривая принадлежала параболическому типу. Кривая параболического типа имеет единственное асимптотическое направление. Отсюда следует, что все ее диаметры параллельны между собой. Теорема доказана.

На рисунке 81 изображены парабола, две прямые из пучка параллельных прямых и сопряженный с ними диаметры . Этот диаметр параллелен оси параболы и имеет асимптотическое направление. Рассмотрим теперь произвольную кривую g непараболического типа.

Теорема 5 (теорема о сопряженных диаметрах). Пусть g ‑ кривая эллиптического или гиперболического типов. Обозначим через диаметр, сопряженный не асимптотическому направлению вектора , через ‑ направляющий вектор , а через - диаметр, сопряженный направлению вектора . Тогда вектор параллелен .

Доказательство. Пусть вектор имеет координаты и . Тогда координаты вектора , направляющего для диаметра , равны: (см. (1)). Обозначим через направляющий вектор диаметра , сопряженного с вектором . Вычислим координаты и вектора и покажем, что они пропорциональны и . Если и - координаты , то

,

.

Кривая имеет непараболический тип, следовательно D ¹ 0. Векторы и коллинеарны. Теорема доказана.

Векторы и , один из которых параллелен диаметру, сопряженному направлению второго вектора, называются сопряженными, относительно кривой. Также называются диаметры и направления, определенные сопряженными векторами. На рисунке 81 изображены сопряженные векторы и , и сопряженные диаметры и . В школьном курсе геометрии доказывается, что векторы, сопряженные относительно окружности, перпендикулярны между собой.

Выведем условие сопряженности векторов в координатах. Обозначим через и координаты вектора . Тогда уравнение диаметра d, сопряженного направлению вектора , имеет вид (1): Поэтому вектор параллелен прямой d в том и только в том случае, когда

.

Полученное равенство преобразуем к виду:

, (2)

которое представляет собой искомое условие, наложенное на координаты сопряженных относительно кривой векторов.

Поиск по сайту: