МАТЕРИАЛЫ К ЛЕКЦИИ 2

Центры и касательные кривых второго порядка. Оптическое свойство параболы.

Литература. [1]§ 33, 34.

На прошлой лекции мы получили необходимые нам соотношения, которые будем использовать в дальнейшем:

, (*)

где коэффициенты не равны нулю одновременно.

Рассмотрим параметрические уравнения прямой l:

(1^*)

, (2^*)

, (3^*)

, (4^*)

. (5^*)

Под центром кривой будем понимать ее центр симметрии. Найдем способ определения ее центра по общему уравнению. Докажем лемму.

Лемма. Пусть прямая задана своими параметрическими уравнениями: точкам и соответствуют параметры и . Тогда начальная точка в том и только в том случае совпадает с серединой отрезка , когда .

Доказательство. Пусть координаты данных точек и равны: . Тогда

(1)

Точка в том и только в том случае является серединой отрезка , когда , Подставим сюда соотношения (1): , . Полученные равенства равносильны условию . Утверждение доказано.

Теорема 2. Пусть кривая g второго порядка задана общим уравнением

.

Тогда точка в том и только в том случае служит центром симметрии g, когда ее координаты удовлетворяют системе уравнений:

(2)

Доказательство. Пусть - центр симметрии кривой. Тогда любая прямая не асимптотического направления пересекает эту кривую в двух точках и , которые симметричны относительно . Если - параметрическое уравнение этой прямой, а и параметры точек и , то, согласно доказанной лемме, . С другой стороны и - корни квадратного уравнения (2^*). Тогда по теореме Виета коэффициент Q этого уравнения также равен нулю. Из формулы (4^*) получим: , или . Найденное равенство выполняется для любых a и b. Поэтому оно справедливо только тогда, когда , u и v - решения системы (2).

Обратно. Рассмотрим произвольное решение u, v системы (2). Обозначим через l - прямую не асимптотического направления, проходящую через точку . Пусть ее параметрические уравнения, а и ‑ точки пересечения l с кривой. Тогда параметры и точек и являются решением квадратного уравнения (2^*). Из формул (4^*) и (2) следует, что второй коэффициент Q этого уравнения равен нулю. По теореме Виета . Поэтому согласно лемме 1, точка - середина отрезка . Так как наши рассуждения справедливы для любой прямой не асимптотического направления, то - центр симметрии кривой g.

Следствие. Если центр кривой совпадает с началом координат, то , и ее общее уравнение имеет вид:

Действительно, система (2) имеет нулевое решение, поэтому

Как легко видеть, определитель системы (2) совпадает с первым инвариантом D кривой. Поэтому кривые эллиптического и гиперболического типов имеют единственный центр симметрии. Они носят название центральных кривых второго порядка. Для кривых параболического типа D = 0. Эти кривые либо не имеют центров симметрии, либо имеют их бесконечно много. Такие кривые называются нецентральными.

Определение 3. Точка кривой второго порядка называется обыкновенной, если она не совпадает с ее центром симметрии. В противном случае она носит название особой.

Легко видеть, что эллипс, гипербола и парабола состоят из обыкновенных точек. Как известно из курса математического анализа, под касательной к кривой в точке понимается предельное положение секущей , при условии, что точка М кривой стремится к . Секущая пересекает кривую в двух вещественных точках, она имеет не асимптотическое направление. Так как касательная – предельное положение секущей, то он является прямой, пересекающей кривую в двух совпавших точках и имеющей не асимптотическое направление. Касательные к кривой будем рассматривать только в ее обыкновенных точках.

Теорема 3. Если - обыкновенная точка кривой второго порядка, заданной своим общим уравнением (*), то уравнение касательной в этой точке имеет вид:

(3)

Доказательство. Касательная пересекает кривую в двух совпавших точках. Обозначим через a и b координаты ее направляющего вектора. Если уравнение прямой имеет параметрический вид (1^*): то параметры точек пересечения определяются как решения уравнения (2^*). Так как это уравнение имеет единственный корень, то его дискриминант равен нулю. Таким образом, . По условию точка принадлежит кривой. Поэтому из формулы (5^*)следует, что . Итак, прямая l тогда и только тогда является касательной к кривой в ее точке , когда координаты и , а также координаты направляющего вектора a и b удовлетворяют условию , или, как следует из (4^*):

.(4)

Пусть ‑ произвольная точка касательной. Тогда вектор коллинеарен ее направляющему вектору, поэтому . Отсюда вытекает: . Преобразуем полученное выражение:

точка принадлежит кривой, поэтому: . Таким образом, уравнение касательной примет вид: , т.е. (3). Полученное уравнение является уравнением прямой, так как коэффициенты при х и у отличны от нуля, в силу того, что точка ‑ обыкновенная. Теорема доказана.

Найдем уравнения касательных к эллипсу, гиперболе и параболе. Пусть - точка эллипса, определенного своим каноническим уравнением: . Для этого уравнения Из (19.14) получим: . Аналогично доказывается, что уравнение касательной в точке гиперболы, заданной своим каноническим уравнением, можно представить как . В случае параболы уравнение такой же касательной имеет с вид:

. (5)

Касательные к кривым второго порядка обладают интересными геометрическими свойствами. Установим одно из них ‑ оптическое свойство параболы.

Пусть - точка параболы, F - ее фокус. Доказать, что касательная к параболе в точке образует равные углы как с прямой , так и с прямой, проходящей через и параллельной оси параболы.

Решение. Будем считать, что данная парабола имеет каноническое уравнение , координаты точки равны (рис. 1). В этом случае фокус F имеет координаты: . Составим уравнение прямой : , или . Обозначим через m прямую, проходящую через и параллельную оси параболы. Для параболы, заданной каноническим уравнением, ее ось совпадает с осью абсцисс, поэтому . Пусть l ‑ касательная к параболе в точке . Ее уравнение имеет вид (5). Найдем косинусы углов и между прямыми l и , l и m:

, .

Углы и лежат в первой четверти, поэтому для доказательства их равенства достаточно проверить, что их косинусы равны. Преобразуем , учитывая при этом, что :

.

Таким образом, .Утверждение доказано.

Оптическое свойство параболы широко используется при изготовлении осветительных приборов (прожекторов, фар автомобиля и т.д.). Отражательная поверхность таких устройств делается в виде параболического зеркала, а источник света помещают в его фокус. Тогда отраженные лучи образуют концентрированный световой пучок, направленный вдоль оси параболы. Эллипс и гипербола также обладают интересными оптическими свойствами. Например, если источник света поместить в фокусе эллиптического зеркала, то отраженные лучи будут проходить через второй его фокус.

Поиск по сайту: