сызба 2 сызба 3сызба. 13.Ішкі жиын. Жиынды толықтырушы

13.Ішкі жиын. Жиынды толықтырушы.

В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болған жағдайда ғана, В жиыны А жиынының ішкі жиыны болып табылады, яғни B⊂A дейміз.

Венн диаграммасы тұйықталған пішіндерден тұратын жиындардан құралған.

Егер В жиынының барлық элементтері А жиынына тиісті болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. Мысалы; А= (1;2;3;4;5;6;7) осы жиынға тиісті жұп сандар жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. Осы жиынға тиісті жұп сандар жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. В= (2;4;6)

Жиындардың байланыстары арақатынастары Эйлер дөңгелектері

(алғаш рет ХҮІІІ ғасырда өмір сүрген швейцариялық белгілі математик Леонард Эйлер пайдаланған.) В жиыны А жиынының ішкі жиыны екені Эйлер дөңгелектері арқылы кескінделген.

Жиынның толықтауышы.

А - қайсыбір кластағы барлық парталар жиыны, ал В - осы кластағы бір қатарда тұрған парталар жиыны, яғни ВÌА болсын. Егер В жиынына кластағы басқа қатарда тұрған парталарды қоссақ, онда А жиыны шығады. Бұл жерде біз В жиынын А жиынына дейін толықтырдық.

Сонымен, егер ВÌА болса, онда А жиынының В жиынына тиісті емес элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындағы толықтауышы деп аталады және арқылы белгіленеді.

Егер А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндесек, онда А жиынындағы В жиынының толықтауышы штрихталған (15-сурет) бөлік болады.

14.Позициялық санау жүйесі.

Сан түсiнiгi – математикалық сияқты ақпараттануда да басты негiз. Егер математикада сандрды өңдеу әдiстерiне көп көңiл бөлiнетiн болса, онда ақпараттану үшiн сандарды ұсынуды пайдаланады. Себебi, тек солар ғана жадтың қажеттi қорын, жылдамдықты есептеуде жiберетiн қатенi анықтайды.

Санау жүйесi деп белгiлi бiр мөлшердегi таңбалардың көмегiмен сандарды өрнектеу мен жазудың жиынтығы. Санау жүйесi екi топқа бөлiнедi: позициялық және позициялық емес.

Позициялық санау жүйесiнде цифрдық мәнi оның орнына байланысты болды. Позициялық мән санау жүйесiнiң негiзiнде дәрежесi арқылы анықталады. Позициялық санау жүйесiнiң негiзi деп қолданылатын цифрлар санын айтады.

Санау жүйесi төртке бөлiнедi: 1. ондық санау жүйесi; 2. екiлiк санау жүйесi; 3. сегiздiк санау жүйесi; 4. оналтылық санау жүйесi.

Әрбір позициялық жүйенің нақты анықталған цифрлар алфавиті мен негізі бар.
Позициялық санау жүйесінің негізі цифрлар санына тең және көрші позицияда тұрған бірдей цифрлардың мәндері неше есеге ерекшеленетінін анықтайды.
Сандардың бізге үйреншікті жазылу жүйесі ондық жүйе деп аталады, ол он араб цифрларынан тұрады. Кез келген санды жазу үшін 0-ден 10-ға дейінгі 10 цифр қолданылады, оның негізі 10-ға тең; екілік жүйеде тек 0 және 1 цифрларын қолдануға болады, негізі-2; сегіздік жүйе сегіз цифрдан тұрады, негізі – 8; он алтылық жүйеде ондық санау жүйесінің он цифры және қалған 6 цифрдың орнына латын алфавитінің әріптері қолданылатын, барлығы он алты цифр бар, негізі – 16.
Позициялық санау жүйелері
Санау жүйесі негізі Цифр алфавиті
Ондық 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Екілік 2 0,1
Сегіздік 8 0,1,2,3,4,5,6,7
Он алтылық 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 А(10),В(11),С(12),Д(13),Е(14),F(15)

15.Позициялық емес санау жүйесі.

Сан түсiнiгi – математикалық сияқты ақпараттануда да басты негiз. Егер математикада сандрды өңдеу әдiстерiне көп көңiл бөлiнетiн болса, онда ақпараттану үшiн сандарды ұсынуды пайдаланады. Себебi, тек солар ғана жадтың қажеттi қорын, жылдамдықты есептеуде жiберетiн қатенi анықтайды.

Санау жүйесi деп белгiлi бiр мөлшердегi таңбалардың көмегiмен сандарды өрнектеу мен жазудың жиынтығы. Санау жүйесi екi топқа бөлiнедi: позициялық және позициялық емес.

Позициялық емес санау жүйесіндегі сандардың тұрған орны, оның мағынасын өзгертпейді.
Мысалы, ХХХ санында Х – ондық санның белгісі және оның мағынасы тұрған орнына байланысты емес.
Компьюторде позициялық санау жүйесін ғана қолданылады, себебі бұл жүйеде санды жазу басқа жүйеге қарағанда өте жинақы және есептеуге ыңғайлы.

Позициялық емес санау жүйесiнде әрбiр цифрдық мәнi оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесiнiң мысалы ретiнде римдiк жүйенi алуға болады. Осы жүйеде жазылған ХХХ санында Х цифры кез келген позицияда 10-ды бiлдiредi. Позициялық емес санау жүйесiнде арифметикалық әрекеттердi орындау қиын болғандықтан, позициялық санау жүйесi қолданылады.

Тарих бойынша ондық сандық жүйе ең көп тараған жүйе болса да,онымен қатар көптеген сандық жүйе осы күнге дейін адам өмірінде қолданып келеді.
Мысалға Майя халқы – жиырмалық, индейцтер –бестікғң және ондық, Европа революцияға дейін - онекілік(дюжина), ал Қытайда – бестік санау жүйесін қолданған.
Негізінде кез – келген сандық жүйе құруға болады. Сандық жүйенің негізін ретінде кез – келген бүтін санды алуға болады. Мысалы, 2 бүтін санды – екілік санау жүйесі деп, 3 бүтін санды – үштік санау жүйесі деп және т.б. сандарды алуға болады.
Екілік санау жүйесін 1850 жылы ағылшын математигі Дж Буль ойлап тапқан. Бұл жүйе екі санмен: 0 және 1 өрнектеледі.

16.Позициялық санау жүйелерінде көп таңбалы сандарды қосу және азайту.

Қосу. Екілік жүйеде сандарды қосу екілік жүйедегі сандарды қосу кестесіне негізделген.Екілік жүйеде қосу кестесі өте қарапайым.Тек 1+1 қосу амалын орындағанда ғана жоғары разрядқа көшіру орындалады.

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Екілік жүйедегі сандарды қосуға бірнеше мысардар қарастырайық;

1001 1101 11111 1010011,111

1010 1011 1 11001,110

10011 11000 100000 1101101,101

Ондық санау жүйесін есептеуге тексеру жүргіземіз.Ол үшін екілік санау жүйесіндегі санды ондық санау жүйесіне көшіріп,оларды қосамыз;

1001₂=1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰=9₁₀

1010²=1*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰=10₁₀

9₁₀+10₁₀=19₁₀

Енді алынған нәтижені ондыққа көшіреміз;

10011₂=1*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=19₁₀

Нәтижелерді салыстыра отырып,қосудың дұрыс орындалғанына көз жеткіземіз.

Азайту. Екілік жүйеде азайту амалын орындау екілік жүйедегі сандарды азайту кестесіне негізделген.Азайту амалын орындау барысында әрдайым абсалют шамасы бойынша үлкенінен кішісі алынып,үлкен санның таңбасы қойылады.

0-0=0

0-1=1

1-0=1

Екілік сандарды азайтудың бірнешеи мысалдарын қарастырайық;

10111001,1 110101101

- -

10001101,1 101011111

00101100,0 001001110

17.Позициялық санау жүйелерінде сандарды көбейту және бөлу.

Ежелгі Мысыр тәсілімен сандарды көбейту ережесін қарастырайық:

1) Екі қатар бағаннан тұратын кесте құрамыз;

2) Сол жақ бағанға 1-ден бастап екі еселенген сандарды, оң жақ бағанға екінші көбейткіштен бастап екі еселенген сандарды жазамыз;

3) Әрбір келесі сан алдындағы санның екі есесіне (өзіне-өзі қосқанға) тең;

4) Сол жақ бағандағы соңғы сан бірінші көбейткіштен артпауы тиіс;

5) Сол жақ бағандағы сандардың ішінен қосындысы бірінші көбейткішке тең болатын сандарды төменнен жоғары қарай сайлап алып, солардың тұстарына көлбеу сызықтар қою керек;

6) Көлбеу сызықтар жүргізілген сандарға қарсы тұрған екінші қатардағы сандарды қосу керек.

Ежелгі Мысыр тәсілімен сандарды бөлу амалы көбейтуге кері бағытта келтіріледі:

1) Екі қатар бағаннан тұратын кесте құрамыз;

2) Сол жақ бағанға 1-ден бастап екі еселенген сандарды, оң жақ бағанға бөлгіштен бастап екі еселенген сандарды жазамыз;

3) Әрбір келесі сан алдындағы санның екі есесіне (өзіне-өзі қосқанға) тең;

4) Оң жақ бағандағы соңғы сан бөлінгіштен артпауы тиіс;

5) Оң жақ бағандағы сандардың ішінен қосындысы бөлінгішке тең болатын сандарды төменнен жоғары қарай сайлап алып, солардың тұстарына көлбеу сызықтар қою керек;

6) Көлбеу сызықтар жүргізілген сандарға қарсы тұрған сол жақ қатардағы сандарды қосу керек.

18.Ондық санау жүйесіндегі сандарды ондық емес санау жүйесіне және керісінше айналдыру ережелері.

Ондық санау жүйесiнегi сандарды өрнектеу үшiн 0-9 дейiнгi араб цифрлары қолданылады:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Мыс: 234=200+30+4

2 жүздiктер разрядынан, 3 ондықтар разрядынан, 4-бiрлiктер разрядынан тұрады.

Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткенi ондық санды жазуда цифрдың мәнi оның позициясына немесе санда орналасқан орнына байланысты. Санның цифрына бөлiнетiн позицияны разряд деп атайды.

Егер 234 санын қосынды түрiнде былай жазамыз: 2*10²+3*10¹+4*10⁰ Бұл жазбадағы 10-саны санау жүйесiн негiздеушi. Санның әрбiр цифры үшiн 10 негiздеушi цифрлың орнына байланысты дәрежеленедi және осы цифрға көбейтiледi.

Бiрлiктер үшiн – 0; ондықтар үшiн – 1, жүздiктер үшiн – 2-ге тең негiздеушi дәреже және т.с.с

Егер сан ондық бөлшек болса, ол терiс дәрежеде жазылады. Мыс: 38,956=3*10¹+8*10⁰+9*10^-1+5*10^-2+6*10^-3

Компьютерде ондық емес екiлiк санау жүйесi, яғни екi негiздеушiсi бар санау жүйесi қолданылады.

Ондық санау жүйесiндегi санды екiлiк санау жүйесiне ауыстыру үшiн санды 2-ге бөлу керек. Алынған бөлiндi екiден кiшi болғанша бөлiнедi де, қалған қалдықты керi бағытта жазады. Мыс:

129:2=64 (1) 129₁₀=10000001₂

64:2=32 (0)

32:2=16 (0)

16:2=8 (0)

8:2=4 (0)

4:2=2 (0)

2:2=1 (0)

1:2=0 (1)

Ондық санау жүйесiндегi санды сегiздiк санау жүйесiне ауыстыру үшiн екiлiк жүйесiне ауыстырған әдiстi қолданады. Бiрақ бұл кезеде санды сегiзге бөледi. Мыс:

129:8=16 (1) 129₁₀=201₈

16:8=2 (0)

2:8=0 (2)

Ондық санау жүйесiндегi санды оналтылық санау жүйесiне ауыстыру үшiн тек санды сегiздiң орнына он алтыға бөлу керек. Мыс:

129:16=8 (1) 129₁₀=81₁₆

8:16=0 (8)

Басқа санау жүйесiндегi сандарды ондық санау жүйесiне ауыстыру

Екiлiк санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:

10000001₂=1*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+0*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰=128+1=129₁₀

Сегiздiк санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:

201₈=2*8²+0*8¹+1*8⁰=128+1=129₁₀

Оналтылық санау жүйесiндегi санды ондық санау жүйесiне аудару:

81₁₆=8*16¹+1*16⁰=128+1=129₁₀

19.Геометриялық фигуралар туралы түсінік қалыптастыру.

Геометриялық фигуралар жайындағы мәліметті балалар алғаш рет ойынан алады. Оқу жылының басында топқа шар, құрылыс материалдарын, мозайкалар т.б. енгізеді. Балалармен ойнай бастаған педагог геометриялық фигуралардың дұрыс атын атайды.

Бұл уақытта баланың қабылдауын дамыта түсу керек, әр түрлі формалар туралы түсінік жинақтау керек. Алғашқы жастағы топта баланың шар және төртбұрышты ажырата білуді үйретеді. Бірақ кейбір балалар екінші кіші топқа алғаш рет келуі болады, сондықтан сабақты фигуралармен таныстырудан бастау керек. Кішкентайлар тобымен жұмыс істеген тәрбиеші шарды атап, оны атап көрсетеді, әр түрлі қимылдар жасап қолдан-қолға домалатады. Екі алақанымен дөңгелетеді, үстел үстінде дөңгелетеді, қимыл барысында тәрбиеші сөйлеп айтады: шар домалап жатыр. Мен шарты қолдан-қолға домалаттым. Балалар қолдарына шар алып дәл осы әрекетті қайталайды, кейін кімнің шары қандай түсте екенін анықтайды. Қорта келе, қолда қызыл шар ол домалап жатыр. Балаусада көк шар домалап жатыр. Мұхаметжанда жасыл шар ол да домалап жатыр барлық шарлар домалап жатыр.

Кейін балаларды кубпен таныстырады. Оларда заттың көлемін зерттеу тәжірибесі болғандықтан әр түрлі өлшемдегі кубтар ұсынылады. Алдымен тәрбиеші кубты көрсетіп атайды. Кейін екі түсі өзгеше куб көрсетеді және бұл не? Оның түсі қандай? Қай куб көп немесе аз деген сұраулар қояды. Балалар кубты әбден ұстап, зерттеп болғаннан кейін оның тұрақты екенін анықтайды. Олар үлкен кубтың үстіне кішісін қойып, бірдеңелерді құра бастайды.

Кейін бұл фигураларды салыстыру, топтастыру жаттығуын жүргізді. Балаларға үлгі бойынша бірнеше шар немесе куб алуды ұсынады.

Шар немесе кубты көрсет (3-4 фигураның арасынан). Дәл сол түстегі немесе көлемі де сондай шарты тауып көрсет.

Куб және шарты айыра білу жаттығуы берілген белгілер бойынша заттарды теңестіруге кіреді.

Балалардың білім жиынтығын тексеру үшін тағы ойын ұйымдастырылады. Оларға тақтамен жұмыс құрады әр тесікке қажетті өз фигурасын (үшбұрыш, төртбұрыш, шар) орын орнына қою керектігін бір фигура екінші фигураның орнына шақ келмейтінін түсіндіреді. (Шар дөңгелек және оның тесігі де дәл солай, қолымен шеттерін ұстап шыққан педагог баланы заттың формасын сезімталдық қабылдауға үйретеді. Егер бала өзі істеуге қиналса оған қолмен батыл жүргізуді көмектесу керек.

Геометриялық фигураларды оқытуда балаларға қолмен айналдырып көрсету, көзбен қадағалау маңызды болып саналады. Тәрбиеші фигураны көрсетіп оны атайды, кейін балалардан соны қайталауын сұрайды, кейін балалармен бірігіп дәл сондай қимыл жасауға шақырады. Балалар тәрбиешінің қолына қарап дәл соны қайталайды. Форманың қасиетін шығару үшін баладан қандай да бір қимыл жасауын сұрайды, фигураларды дөңгелеткен бала дөңгелекті домалап, ал тік төртбұрыштың домаламайтындығына көз жеткізеді. Не үшін тік төртбұрыш домаламайды? өйткені бұрыштары кедергі жасайды. Тік төрт бұрыштың дөңгелек бұрышы жоқ, сондықтан домаламайды.

Фигура туралы түсінік құру үшін оның моделін қолданады (дөңгелек, төртбұрыш, үшбұрыш т.б.) картоннан, қағаздан істелгенін пайдаланады.

Қорыта келе сабақ соңына таман балалар әр түрлі фигуралардың ішінде төртұрышты, үшбұрышты дөңгелекті таба алады.

Мектепке келген балалар келесі геометриялық фигураларды ажыратып, дұрыс атай білуі керек: үшбұрыш, төртбұрыш, шар, цилиндр.

Ол заттан өздері білген көлемді табуды үйренеді. Бұл жұмысқа ереже бойынша 30минут бөлінеді. Оқу жылының басында тәрбиеші баланың көлем туралы білімінің деңгейін анықтайды. Еге балалар үшбұрыш пен дөңгелекті, төртбұрыш пен цилиндрды ажырата алмаса онда ұзын фигуралардың моделі салыстыру қажет болады.

Балалардың алты-жеті жасында ойлау қабілеті арта түседі. Сондықтан балаларға берілген тапсырма да күрделене түседі. Мысалы геометриялық фигураларды айыра білу керек. Екі-үш фигураны құрастыру арқылы қандай жақсы форма құрастыруға болады. Тапсырманы орындаған бала қандай фигураларды құрастыру арқылы, қандай фигура жасап шыққанын айтып бере алады. Балалармен бұлай жұмыс жасау арқылы баланың математикаға деген қызығушылығы артады, білімі жетіледі. Мектеп жасына дейінгі балалар мұндай қызықты тапсырмаларды ынталана отырып, шын ықыласымен орындайды. Мысалы, түрлі үйшік формалы фигурадан жалауша шығарады, жеті таяқшадан екі квадрат шығарады., конструкторлармен ойнай отырып одан қоян немесе тырнаның мүсінін шығарады. Өз беттерінше тапсырманы орындаған балаларды мақтап өзгелерге үлгі етеді. Тапсырманы өзің орындағанда ғана қызықты болатынын түсіндіре отырып, тәрбиеші баланың өзінен талап етеді.

20.Натурал сан ұғымының пайда болуы.

Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, сонымен қатар оларды белгілеуді де, сондай-ақ олармен амалдар қолдануды да үйренді. «Натурал сан» терминін тұнғыш рет римдік ғалым А. Боэций (шамамен 480-514 жылдар) қолданған. Натурал сан ұғымы қалыптасқаннан кейін сандар дербес объектлерге айналды.

ХІХ ғасырда ғалымдардың назары натурал сандармен есептеулер жұргізуге негіз болған теорияларды құруға және логикалық тұрғыдан негіздеуге аударылды. Натурал сандар ұғымының өте қарапайым және табиғи көрінетіні сондай, ғылымда ұзақ уақыт бойы оны қандай да болсын қарапайым ұғымның терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.Бөлшектердің пайда болуы шамаларды өлшеумен пайда болды. Ерте кезде адамдарға сауда – саттық және түрлі есептеу жұмыстарында бөлшектер мен үлестерді есептеу қажет болған. Алғашында математикада бөлшектерді «сынық сандар» деп атаған. Бөлшектер туралы түсініктің дамуында үш түрлі бөлшектер ұғымы қалыптасқан.

1) Бірлік бөлшектер – алымдары 1 болатын бөлшектер.

2) Жүйеленген бөлшектер. Жүйеленген бөлшектің алымы кез келген бүтін сан, бөлімі тек 10 санының немесе 60 санының дәрежелері ғана болған.

3) Жалпы түрдегі бөлшек. Жалпы түрдегі бөлшектің алымы да, бөлімі де кез келген натурал сан болды.

Бөлшектердің мұндай әртүрлілігі есептеу және өлшеу жұмыстарында көптеген қиындықтар туғызды.Бөлшек ұғымының дамуы ғылым мен сауда-саттық жұмыстарында өркендеген елдерде: Мысырда, Вавилонда, Үндістанда және Римде қалыптасты. Ертеде әртүрлі елдер бөлшек сандарды белгілеуде өздерінің түрліше символдарын енгізді. Мысалы, мысырлықтар 1\10-ді -белгісімен, 1\2-ні- - белгісімен және 1\3 –ді L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAqsmgUsMA AADbAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPQWvCQBCF74X+h2UKvdWNBkVSVxGlYA89NNr7kB2T YHY2ZKcx/fedQ6G3Gd6b977Z7KbQmZGG1EZ2MJ9lYIir6FuuHVzOby9rMEmQPXaRycEPJdhtHx82 WPh4508aS6mNhnAq0EEj0hfWpqqhgGkWe2LVrnEIKLoOtfUD3jU8dHaRZSsbsGVtaLCnQ0PVrfwO Do71vlyNNpdlfj2eZHn7+njP5849P037VzBCk/yb/65PXvEVVn/RAez2FwAA//8DAFBLAQItABQA BgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5yZWxz UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFwZXht bC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAqsmgUsMAAADbAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJzL2Rv d25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIgDAAAAAA== "/> -белгісімен көрсеткен. Ежелгі Үндістанда жай бөлшектерді жазуда оның бөлшек сызығын сызбай, алымын үстіне, бөлімін астына жазған.

Поиск по сайту: