Задания для контрольной работы по «Линейной алгебре»

Вариант 1

1. Показать, что векторы , , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

3. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .

4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .

5. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид . Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

;

Вариант 2

1. Показать, что векторы , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид

.

Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

;

Вариант 3

1. Показать, что векторы , , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Для откорма животных на ферме в ежедневный рацион каждого животного включается 6 ед. питательного вещества A и 7 ед. питательного вещества B. При этом используются корма K₁, K₂ и K₃. Данные о содержании питательных веществ в одной весовой единице корма и ее стоимости приведены в следующей таблице:

Определить состав еженедельного рациона для откорма животных стоимостью в 7 ден.ед., содержащего норму питательных веществ.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

;

.

.

Вариант 4

1. Показать, что векторы , , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид . Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

;

Вариант 5

1. Показать, что векторы , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Химическое предприятие состоит из трех цехов, выпускающих одинаковую продукцию. Расходные коэффициенты a_ij – количество единиц продукции i-го цеха, используемые как «сырье» для выпуска единицы продукции j-го цеха, заданы матрицей A. Количество единиц продукции i-го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт), задается матрицей Y. Определить: 1) валовой выпуск (план) для каждого цеха; 2) производственную программу цехов. , .

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

;

Вариант 6

1. Показать, что векторы , , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Химическое предприятие состоит из трех цехов, выпускающих одинаковую продукцию. Расходные коэффициенты a_ij – количество единиц продукции i-го цеха, используемые как «сырье» для выпуска единицы продукции j-го цеха, заданы матрицей A. Количество единиц продукции i-го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт), задается матрицей Y. Определить: 1) валовой выпуск (план) для каждого цеха; 2) производственную программу цехов. , .

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

;

Вариант 7

1. Показать, что векторы , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

1. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если
2. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
4. Химическое предприятие состоит из трех цехов, выпускающих одинаковую продукцию. Расходные коэффициенты a_ij – количество единиц продукции i-го цеха, используемые как «сырье» для выпуска единицы продукции j-го цеха, заданы матрицей A. Количество единиц продукции i-го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт), задается матрицей Y. Определить: 1) валовой выпуск (план) для каждого цеха; 2) производственную программу цехов. , .

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

. ;

Вариант 8

1. Показать, что векторы , , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Химическое предприятие состоит из трех цехов, выпускающих одинаковую продукцию. Расходные коэффициенты a_ij – количество единиц продукции i-го цеха, используемые как «сырье» для выпуска единицы продукции j-го цеха, заданы матрицей A. Количество единиц продукции i-го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт), задается матрицей Y. Определить: 1) валовой выпуск (план) для каждого цеха; 2) производственную программу цехов. , .

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

;

Вариант 9

1. Показать, что векторы , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Химическое предприятие состоит из трех цехов, выпускающих одинаковую продукцию. Расходные коэффициенты a_ij – количество единиц продукции i-го цеха, используемые как «сырье» для выпуска единицы продукции j-го цеха, заданы матрицей A. Количество единиц продукции i-го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт), задается матрицей Y. Определить: 1) валовой выпуск (план) для каждого цеха; 2) производственную программу цехов. , .

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

. ;

Вариант 10

1. Показать, что векторы , , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Химическое предприятие состоит из трех цехов, выпускающих одинаковую продукцию. Расходные коэффициенты a_ij – количество единиц продукции i-го цеха, используемые как «сырье» для выпуска единицы продукции j-го цеха, заданы матрицей A. Количество единиц продукции i-го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт), задается матрицей Y. Определить: 1) валовой выпуск (план) для каждого цеха; 2) производственную программу цехов. , .

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

Вариант 11

1. Показать, что векторы , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Из Бишкека в Ош необходимо перевезти оборудование трех типов: I типа – 95 ед., II типа – 100 ед., III типа – 185 ед. Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в следующей таблице:

Установить, сколько единиц транспорта каждого вида потребуется для перевозки оборудования из Бишкека в Ош.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

;

Вариант 12

1. Показать, что векторы , , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Химическое предприятие состоит из трех цехов, выпускающих одинаковую продукцию. Расходные коэффициенты a_ij – количество единиц продукции i-го цеха, используемые как «сырье» для выпуска единицы продукции j-го цеха, заданы матрицей A. Количество единиц продукции i-го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт), задается матрицей Y. Определить: 1) валовой выпуск (план) для каждого цеха; 2) производственную программу цехов , .

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

;

Вариант 13

1. Показать, что векторы , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Химическое предприятие состоит из трех цехов, выпускающих одинаковую продукцию. Расходные коэффициенты a_ij – количество единиц продукции i-го цеха, используемые как «сырье» для выпуска единицы продукции j-го цеха, заданы матрицей A. Количество единиц продукции i-го цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт), задается матрицей Y. Определить: 1) валовой выпуск (план) для каждого цеха; 2) производственную программу цехов , .

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

Вариант 14

1. Показать, что векторы , , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Трикотажная фабрика использует для производства продукции два вида сырья. Все необходимые данные приведены в таблице:

Найти план выпуска изделий, если сырье расходуется полностью, а прибыль должна составлять 6800 ден.ед.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

Вариант 15

1. Показать, что векторы , , образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

3. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .

1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
2. При подкормке посева надо внести на 1 га почвы 69 ед. химического вещества A, 84 ед. вещества B и 39 ед. вещества C. В единице массы удобрения Y₁ содержится 3 ед. химического вещества A, 2 ед. вещества B и 3 ед. вещества C, а в единице массы удобрения Y₂ содержится соответственно 16, 4 и 6 ед. химических веществ A,B и C. Цена удобрения Y₁ за единицу массы составляет 4 ден.ед., удобрения Y₂ – 12 ден.ед. Определить количество удобрений, которое следует приобрести, при условии соблюдения указанных норм содержание в них химических веществ, если на приобретение удобрений отпущено 64 ден.ед.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

Вариант 16

1. Показать, что векторы , , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

3. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .

4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .

5. Для выполнения полевых работ сельскохозяйственное предприятие может купить тракторы марок T₁ и T₂. Все необходимые данные приведены в таблице:

Сколько тракторов той и другой марки следует приобрести предприятию для выполнения запланированных работ, если на их покупку отпущено 53 ден.ед.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

Вариант 17

1. Показать, что векторы , , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

3. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .

1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
2. На предприятии освоено четыре технологических способа изготовления изделий A и B из некоторого сырья. В следующей таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.

Определить, какое количество сырья следует переработать по каждой технологии, чтобы из 94 ед. сырья изготовить 574 изделий A и 328 изделий B.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

Вариант 18

1. Показать, что векторы , , образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. На товарные станции A и B прибыло по 45 комплектов мебели. Перевозка одного комплекта со станции A в магазины M₁, M₂ и M₃ обходится соответственно в 1, 3 и 5 ден. ед., а перевозка комплекта со станции B в те же магазины – в 3, 5 и 4 ден. ед. В каждый магазин надо доставить одинаковое количество мебели. Найти план перевозки мебели со станций в магазины, если транспортные расходы составляют 270 ден. ед.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

Вариант 19

1. Показать, что векторы , , образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

3. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .

4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .

5. На станции A₁ находится 20 т, а на станции A₂ – 30 т некоторого однородного груза. Этот груз следует доставить в пункты B₁, B₂ и B₃ в количествах 10, 30 и 10 т соответственно. Стоимость перевозки 1 т груза из пункта A₁ в пункты B₁, B₂ и B₃ равна соответственно 4,9 и 3 ден. ед., а из A₂ – 4, 8 и 1 ден.ед. Найти объемы поставок груза со станций в указанные пункты при транспортных расходах, равных в 300 ден.ед.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

7.

Вариант 20

1. Показать, что векторы , , и образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

3. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .

4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .

5. Предприятие выпускает продукцию трех типов: A,B,C. Уровень выпуска лимитируется ограниченностью ресурсов, которые надо использовать полностью. Все числовые данные приведены в следующей таблице:

Найти план выпуска продукции.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

Вариант 21

1. Показать, что векторы , , образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

3. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .

4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .

5. На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 20 ден.ед. Оборудование должно быть размещено на площади 42 м² . Предприятие может заказать оборудование трех типов: машины А стоимостью 3 ден.ед. каждая, требующие производственной площади в 6м² (с учетом проходов) и обеспечивающие производство 7 тыс.ед. продукции за смену; машины В стоимостью 2 ден.ед. каждая, занимающие площадь 4 м² и дающие за смену 4 тыс. ед. продукции; машины С стоимостью 1 ден.ед. каждая, требующие 3 м² площади и дающие за смену 2 тыс.ед. продукции. Сколько единиц оборудования каждого типа должно заказать предприятие при полном использовании выделенных средств, производственной площади и гарантирующие выпуск за смену ровно 42 тыс.ед. продукции.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

Вариант 22

1. Показать, что векторы , , образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

3. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .

4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .

5. Для перевозки пассажиров еженедельно формируются дополнительные поезда. Данные о количестве резервных вагонов, составе поезда и вместимости вагонов приведены в таблице:

Установить, сколько дополнительных скорых и пассажирских поездов можно еженедельно отправлять при условии, что еженедельно требуется вывозить 7722 пассажира.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

;

Вариант 23

1. Показать, что векторы , , образуют базис пространства , и найти координаты вектора в этом базисе.

2. Вектор задан в базисе . Найти его координаты в базисе , если

1. Матрица задана в базисе . Найти ее в базисе , , .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей .
3. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид . Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.

6. Записать матрицу квадратичной формы и найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

;

Поиск по сайту: