Условия существования обратной матрицы

1. может существовать только тогда, когда А – квадратная матрица.

2. существует только в том случае, когда определитель .

1.8 Для вычисления определителей порядка n существует метод разложения по строке или столбцу. Другими словами, любой определитель n -го порядка можно представить в виде линейной функции n определителей (n-1) – го порядка. В качестве коэффициентов функции берутся элементы строки (или столбца) основного определителя. Каждое произведение умножается на +1 или –1. Минором элемента обозначается . Здесь первый индекс обозначает номер строки, второй – номер столбца, которые вычеркиваются. Алгебраическим дополнением элемента определителя n -го порядка называется число . Очевидно, если сумма четная, то алгебраическое дополнение имеет тот же знак, что и минор. Если же сумма нечетная, то знак изменится на противоположный.

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Пусть дан определитель d порядка n. Берем целое число k, удовлетворяющее условию , и в определителе d выбираем произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, т.е. принадлежащие к одной из выбранных строк и к одному из выбранных столбцов, составляют, очевидно матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка определителя d. Пусть в определителе d n -го порядка взят минор M k- го порядка. Если мы вычеркнем те строки и столбцы, на пересечении которых стоит этот минор, то останется минор -го порядка, который называется дополнительным минором для минора М. Если мы вычеркнем, наоборот, те строки и столбцы, в которых расположены элементы минора , то останется,очевидно, минор М.

1.10 Свойства обратной матрицы.

Если определитель А не равен нулю, то обратная к ней матрица обладает следующими свойствами:

1. Обратная матрица перестановочна с А. Оба произведения дают единичную матрицу .

2. Обратная к А матрица является единственной. , тогда и только тогда, когда .

3. Определитель обратной к А матрицы равен обратной величине определителя матрицы А: .

4. Обратная матрица является невырожденной. дет не равен 0.

5. Обратной матрицей к будет матрица

6. Матрица, обратная к транспонированной, равна транспонированной обратной матрице:

7. Если матрица симметрическая, то такой же будет обратная матрица.

8. Матрица, обратная к произведению матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке при условии, что обратные матрицы существуют. Если существуют , то

1.11 Вычисляем определитель данной матрицы. определитель не равен нулю, то обратная матрица существует. Если =0, то обратной матрицы не существует.

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А.

1. Составляем присоединенную матрицу

.

2. Вычисляем обратную матрицу .

3. Проверка:

2.1 Системой линейных уравнений называется система вида:

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ +… + a _{1 n} x_n = b ₁

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ +… + a _{2 n} x_n = b ₂

(1)

a_{m 1} x ₁ + a_{m 2} x ₂ +… + a_mnx_n = b_m

В этой системе m уравнений с n неизвестными (x ₁; x ₂; … x_n). А линейными уравнения, называются потому, что неизвестные (x ₁; x ₂; … x_n) этих уравнений входят в них в первой степени (линейно). То есть аналогично тому величины x и y.

если все свободные члены системы { b ₁; b ₂; … b_m } равны нулю, то система (1) принимает вид

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ +… + a _{1 n} x_n = 0

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ +… + a _{2 n}x_n = 0

(3)

a_{m 1} x ₁ + a_{m 2} x ₂ +… + a_mnx_n = 0

и называется линейной однородной системой (а все прочие системы (1) являются линейными неоднородными).

2.3

Сначала убедимся в том, что определитель матриц не равен нулю.

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Далее найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

2.4

коэффициенты которой составляют квадратную матрицу второго порядка . Применяя к системе (12) метод уравнивания коэффициентов, мы получим:

Предположим, что . Тогда

Если посмотреть внимательно на получившиеся формулы, то легко видно, что их можно переписать в следующем виде:

.

Эти формулы называются формулами Крамера. Если определитель из коэффициентов системы уравнений отличен от нуля, то мы получим решение системы, беря в качестве значений для неизвестных дроби, общим знаменателем которых служит определитель из коэффициентов системы уравнений, а числителем для неизвестного является определитель, получающийся заменой в определителе i -го столбца (т.е. столбца коэффициентов при искомом неизвестном) столбцом из свободных членов системы.

2.5 Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам

Значение правила Крамера заключается главным образом в том, что в тех случаях, когда это правило применимо, оно дает явное выражение для решения системы через коэффициенты этой системы. Т.е. система совместна.

В тех случаях, когда правило Крамера непосредственно неприменимо, тем не менее мы можем сделать некоторые выводы о существовании решения системы линейных уравнений. Когда главный определитель системы равен нулю, а хотя бы один из определителей не равен нулю, то система не имеет решений. Если же не только главный определитель системы равен нулю, а и все остальные определители системы равны нулю, то система также может не иметь решений, Если же при этих условиях она имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.

Применим эти выводы к однородной системе уравнений. Поскольку такая система всегда имеет решение (нулевое), то при это решение будет единственным, а при d=0 эта однородная система будет иметь бесконечно много решений.

2.6 Рангом любой матрицы называется число линейно-независимых строк (или столбцов), содержащихся в этой матрице. Другими словами, рангом матрицы А называется максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы обозначается r(A).

Если имеем систему линейных уравнений, то таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы. Если к ней добавить столбец свободных членов - и получим РАСШИРЕННУЮ матрицу системы.

2.7 Теорема Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы A, т.е. когда . Следствие. Если система совместна и ранг матрицы системы равен числу неизвестных n, то система имеет единственное решение.

2.8 Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса придется делать следующие преобразования системы: обе части одного из уравнений системы, умноженные на одно и то же число, вычитать из соответствующих частей некоторого другого уравнения системы (1), переставлять два уравнения системы (1). Эти преобразования системы, как уже было отмечено, являются элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, переводящими эту систему в ей эквивалентную.

метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, если в процессе преобразований мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же мы такого уравнения не встретим, то система будет совместной. Совместная система уравнений будет определенной, если она приводится к треугольному виду (9), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (10).

Применим все вышеизложенное к системам линейных однородных уравнений. Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо нулевого решения, также и ненулевыми решениями, т.е. решениями, в которых значения некоторых (или даже всех) неизвестных отличны от нуля. Таких решений будет бесконечно много.

3.1 Пусть дано множество ; его элементы будут обозначаться малыми латинскими буквами: Пусть во множестве определены операция сложения, ставящая в соответствие всякой паре элементов из однозначно определенный элемент из , называемый их суммой, и операция умножения на действительное число, причем произведение элемента на число однозначно определено и принадлежит к . Элементы множества будут называться векторами, а само – действительным линейным пространством, если указанные операции обладают следующими свойствами:

1. Сложение коммутативно, .

2. Сложение ассоциативно,

3. В V существует нулевой элемент 0, удовлетворяющий условию: для всех из .

4. Для всякого элемента в существует противоположный элемент - , удовлетворяющий условию: .

5.

Преобразование называется линейным, если сумму любых двух векторов оно переводит в сумму образов этих векторов

,

а произведение любого вектора на любое число переводит в произведение образа вектора на это же число .

Из этого определения немедленно вытекает, что линейное преобразование линейного пространства переводит любую линейную комбинацию данных векторов в линейную комбинацию (с теми же коэффициентами) образов этих векторов.

3.2 Линейно независимая система векторов, через которые линейно выражается каждый вектор пространства, называется базисом пространства.

3.3 Пусть - квадратная матрица порядка n c действительными элементами, Х – вектор-столбец, - некоторое неизвестное. Умножим матрицу А на вектор Х. Произведение будет вектором-столбцом, элементы которого обозначим через .Если окажется, что элементы (i =1,2 … n), т.е. пропорциональны соответствующим элементам вектора-столбца х с коэффициентом пропорциональности , то вектор-столбец х называется собственным вектором матрицы А, а коэффициент пропорциональности - характеристическим числом матрицы А, или её собственным значением. Другими словами, вектор х называется собственным вектором матрицы А, а число - её характеристическим числом, или её собственным значением, если выполняется равенство . Перепишем это уравнение в виде или

(2)

где Е - единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы А, а 0 – нулевой вектор-столбец, т.е. столбец все элементы которого равны нулю. Матрица называется характеристической матрицей матрицы А.

3.4

Каждому собственному значению матрицы А на основании уравнения , или, что то же самое: , соответствует собственный вектор. Любой собственный вектор можно определить с точностью до постоянного множителя. Подставляя в (2) поочередно все собственные значения , получим n собственных векторов.

Собственные числа и собственные вектора матрицы А имеют большое значение в описании линейного преобразования, задаваемого этой матрицей. Собственные вектора определяют направление (прямую), которая остается неизменной при данном линейном преобразовании. Собственные значения определяют коэффициент пропорциональности векторов и их образов на этом неизменном направлении.

3.5 Составляем характеристическую матрицу :

Находим характеристический многочлен

Решим характеристическое уравнение

Подбором находим, что один корень уравнения равен .

Выделим в характеристическом многочлене этот множитель :

Находим корни трехчлена. Они равны и 3.

Итак, собственные числа матрицы равны , . Найдем соответствующие им собственные векторы.

Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение

что соответствует системе уравнений

4.1 Имеется n технологических процессов (или отраслей), при помощи каждого из которых производится некоторый продукт. Пусть означает суммарный выпуск отрасли i, представляет общее количество продукта отрасли i, потребляемое отраслью j.

В замкнутой модели Леонтьева для всех i. Иными словами, никаких избытков нет.

В открытой модели Леонтьева по крайней мере для одного i. С экономической точки зрения открытая модель предполагает наличие внешнего фактора – некоторого количества капитала, труда, сырья

Существенной характеристикой открытой модели является существование внешнего спроса или внешнего предложения или того и другого вместе.

Введем коэффициенты прямых затрат . Введенные таким образом величины можно интерпретировать как количества продукта отрасли i, необходимые для производства единицы продукта j. Отсюда следует, что или в матричном виде:

(2)

Такое уравнение еще носит название балансового уравнения. Его решение можно найти с помощью обратной матрицы.

=В

которая называется матрицей полных производственных затрат.

. Элементы этой матрицы имеют вполне определенный экономический смысл: равен величине продукции i-го вида, необходимой для производства единицы товарной продукции j-го вида.

4.2 В соответствии с экономическим смыслом задачи искомые элементы столбца X должны быть неотрицательны при любых неотрицательных значениях y_i и a_ij (i = 1, 2,… n). В таком случае модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько различных по форме критериев продуктивности модели Леонтьева. Один из них формулируется так (доказательство опускаем): если максимум сумм элементов столбцов матрицы A прямых затрат не превосходит единицы, то есть если (2)

и существует номер j такой, что эта сумма строго меньше единицы

, (3)

то модель Леонтьева является продуктивной.

4.3 , которая называется матрицей полных производственных затрат. Элементы этой матрицы имеют вполне определенный экономический смысл: равен величине продукции i -го вида, необходимой для производства единицы товарной продукции j -го вида. Затем, зная величину конечного спроса на продукцию Y, на новый, производственный период, определим новый производственный вектор X.

4.4 Вычислим технологические коэффициенты и составим технологическую матрицу А.

Вычислим матрицу полных производственных затрат .

1) по формуле обратной матрицы: .

2) Если провести аналогию между суммой бесконечной геометрической прогрессии и , то легко можно увидеть приближенную формулу: для вычисления , как суммы бесконечной геометрической прогрессии с первым членом Е и знаменателем А.

Определим новый производственный план, учитывая, что

Использование приближенной матрицы В дает очень близкий результат.

.

Поиск по сайту: