Одно уравнение с одним неизвестным

Рассмотрим уравнение с одним неизвестным х: , например .

Для решения таких уравнений MathCAD имеет встроенную функцию root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает несколько по-разному:

– root(, х);

– root(, х, а, b).

Где – скалярная функция, определяющая уравнение; х – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение; а, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск корня. Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения (guess value) переменной х. Для этого нужно просто предварительно присвоить х некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня.
Приведем пример решения очень простого уравнения , корни которого известны заранее.

Листинг 1. Поиск корня нелинейного алгебраического уравнения

Листинг 2. Графическое решение уравнения

График функции и положение найденного корня показаны Листинге 2 Обратите внимание, что хотя уравнение имеет бесконечное количество корней, MathCAD находит (с заданной точностью) только один из них , лежащий наиболее близко к . Если задать другое начальное значение, то решением будет другой корень уравнения.. Таким образом, для поиска корня средствами MathCAD требуется его предварительная локализация. Это связано с особенностями выбранного численного метода, который называется методом секущих и состоит в следующем (рис. 1):

1. Начальное приближение принимается за первое приближение к корню: .
2. Выбирается шаг и определяется первое приближение к корню .

3. Через эти две точки проводится секущая – прямая линия, которая пересекает ось х в некоторой точке х ₂. Эта точка принимается за второе приближение.

4. Новая секущая проводится через первую и вторую точки, тем самым, определяя третье приближение, и т. д.
5. Если на каком-либо шаге оказывается, что условие , то итерационный процесс прерывается, и выдается в качестве решения.

Рис. 1. Иллюстрация метода секущих

Результат, показанный на рис. 1, получен для погрешности вычислений, которой в целях иллюстративности предварительно присвоено значение TOL = 0.5. Поэтому для поиска корня с такой невысокой точностью оказалось достаточно одной итерации. В вычислениях, приведенных в листинге 1, погрешность TOL =0.001 была установлена по умолчанию, и решение, выданное численным методом, лежало намного ближе к истинному положению корня . Иными словами, чем меньше константа TOL, тем ближе к нулю будет значение в найденном корне, но тем больше времени будет затрачено вычислительным процессором MathCAD на его поиск.

Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, а интервал [ а, b ], внутри которого корень заведомо находится. В этом случае следует использовать функцию root с четырьмя аргументами, а присваивать начальное значение х не нужно, как показано в листинге 3. Поиск корня будет осуществлен в промежутке между а и b альтернативным численным методом (Риддера или Брента).

Поиск по сайту: