Согласованность локальных приоритетов

Любая матрица суждений в общем случае не согласована, так как суждения отражают субъективные мнения ЛПР, а сравнение элементов, которые имеют количественные эквиваленты, может быть несогласованным из-за присутствия погрешности проведении при проведении измерений. Совершенной согласованности парных сравнений даже в идеальном случае на практике достичь трудно. Нужен способ оценки степени согласованности при решении конкретной задачи.

Метод анализа иерархий дает возможность провести такую оценку.

Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Когда такие отклонения превышают установленные пределы тем, кто проводит решение задачи, необходимо их пересмотреть.

В таблице приведены средние значения индекса случайной согласованности (СИ) для случайных матриц суждений разного порядка.

В нашей задаче размерность матрицы n=5, тогда среднее значение индекса случайной согласованности СИ = 1,12.

Теперь определяем индекс согласованности и отношение согласованности.

Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы «цель».

Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.

S₁ = 1 + 1/3 + 1/3 + 1/5 + 1/5 = 31/15;

S₂ = 3 + 1 + 1/3 + 1/3 + 1/3 = 5;

S₃ = 3 + 3 + 1 + 1/3 + 1/5 = 113/5;

S₄ = 5 + 3 + 3 + 1 + 1/7 = 85/7;

S₅ = 5 + 3 + 5 + 7 + 1 = 21.

Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов, т.е. сумму суждений первого столбца на первую компоненту, сумму суждений второго столбца - на вторую и т.д.

Р₁ = S₁ х W₂₁ = 31/15 х 0,45 = 0,93;

Р₂ = S₂ х W₂₂ = 5 х 0,235 = 1,17;

Р₃ = S₃ х W₂₃ = 113/5 х 0,17 = 1,28;

Р₄ = S₁ х W₂₄ = 85/7 х 0,1 = 1,21;

Р₅ = S₁ х W₂₅ = 21 х 0,04 = 0,84.

Сумма чисел Рj отражает пропорциональность предпочтений, чем ближе эта величина к n (числу объектов и видов действия в матрице парных сравнений), тем более согласованны суждения

λ_max = Р₁+ Р₂+ Р₃+ Р₄+ Р₅ = 0,93 + 1,17 + 1,28 + 1,21 + 0,84 = 5,43.

Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.

ИС = (λ_max - n)/(n - 1) = (5,43 - 5)/(5 -1) = 0,1075.

Отношение индекса согласованности ИС к среднему значению случайного индекса согласованности СИ называется отношением согласованности ОС.

ОС = ИС/СИ = 0,1075/1,12 = 0,096.

Значение ОС меньше или равное 0.10 считается приемлемым, значит матрица «цель» согласована.

Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы К 1 (интегрирование в систему «умный дом»);.

Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.

S_1К1 = 1 + 2 + 3 + 9 + 9 = 24;

S_{2 К1} = 1/2 + 1 + 3 + 9 + 9 = 22,5;

S_{3 К1} = 1/3 + 1/3 + 1 + 7 + 7 = 47/3;

S_{4 К1} = 1/9 + 1/9 + 1/7 + 1 + 1 = 2,37;

S_{5 К1} = 1/9 + 1/9 + 1/7 + 1 + 1 = 2,37.

Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов.

Р_{1 К1} = S₁ х W_3К11 = 24 х 0,034 = 0,816;

Р_{2 К1} = S₂ х W_3К12 = 22,5 х 0,045 = 1,01;

Р_{3 К1} = S₃ х W_3К13 = 47/3 х 0,082 = 1,28;

Р_{4 К1} = S₁ х W_3К14 = 2,37 х 0,42 = 0,99;

Р_{5 К1} = S₁ х W_3К15 = 2,37 х 0,42 = 0,99.

Находим пропорциональность предпочтений.

λ_{max К1} = Р_{1 К1}+ Р_{2 К1}+ Р_{3 К1}+ Р_{4 К1}+ Р_{5 К1} = 0,816 + 1,01 + 1,28 + 0,99 + 0,99 = 5,086.

Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.

ИС _К1 = (λ_{max К1} - n)/(n - 1) = (5,086 - 5)/(5 -1) = 0,0215.

Найдем отношением согласованности ОС.

ОС _К1 = ИС/СИ = 0,0215/1,12 = 0,02.

Значение ОС меньше или равное 0.10 считается приемлемым, значит матрица К 1 (интегрирование в систему «умный дом») согласована.

Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы К 2 (экономия воды).

Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.

S_1К2 = 1 + 5 + 9 + 9 + 9 = 33;

S_{2 К2} = 1/5 + 1 + 9 + 9 + 9 = 28,2;

S_{3 К2} = 1/9 + 1/9 + 1 + 2 + 2 = 5,2;

S_{4 К2} = 1/9 + 1/9 + 1/2 + 1 + 1 = 2,7;

S_{5 К2} = 1/9 + 1/9 + 1/2 + 1 + 1 = 2,7.

Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов.

Р_{1 К2} = S₁ х W_{3 К21} = 33 х 0,024 = 0,79;

Р_{2 К2} = S₂ х W_{3 К22} = 28,2 х 0,047 = 1,32;

Р_{3 К2} = S₃ х W_{3 К23} = 5,2 х 0,23 = 1,2;

Р_{4 К2} = S₁ х W_{3 К24} = 2,7 х 0,35 = 0,95;

Р_{5 К2} = S₁ х W_{3 К25} = 2,7 х 0,35 = 0,95.

Находим пропорциональность предпочтений.

λ_{max К2} = Р_{1 К2}+ Р_{2 К2}+ Р_{3 К2}+ Р_{4 К2}+ Р_{5 К2} = 0,79 + 1,32 + 1,2 + 0,95 + 0,95 = 5,21.

Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.

ИС _К2 = (λ_{max К2} - n)/(n - 1) = (5,21 - 5)/(5 -1) = 0,053.

Найдем отношением согласованности ОС.

ОС _К2 = ИС/СИ = 0,053/1,12 = 0,05.

Значение ОС меньше или равное 0.10 считается приемлемым, значит матрица К 2 (экономия воды).согласована.

Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы К 3 (бесконтактность).

Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.

S_1К3 = 1 + 5 + 8 + 9 + 8 = 31;

S_{2 К3} = 1/5 + 1 + 8 + 9 + 8 = 26,2;

S_{3 К3} = 1/8 + 1/8 + 1 + 9 + 2 = 12,25;

S_{4 К3} = 1/9 + 1/9 + 1/2 + 1 + 1/7 = 1,86;

S_{5 К3} = 1/8 + 1/8 + 1/2 + 7 + 1 = 8,75.

Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов.

Р_{1 К3} = S₁ х W_{3 К31} = 31 х 0,02 = 0,59;

Р_{2 К3} = S₂ х W_{3 К32} = 26,2 х 0,04 = 1;

Р_{3 К3} = S₃ х W_{3 К33} = 12,25 х 0,12 = 1,2;

Р_{4 К3} = S₁ х W_{3 К34} = 1,86 х 0,61 = 1,1;

Р_{5 К3} = S₁ х W_{3 К35} = 8,75 х 0,2 = 1,55.

Находим пропорциональность предпочтений.

λ_{max К3} = Р_{1 К3}+ Р_{2 К3}+ Р_{3 К3}+ Р_{4 К3}+ Р_{5 К3} = 0,59 + 1 + 1,2 + 1,1 + 1,55 = 5,44.

Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.

ИС _К3 = (λ_{max К3} - n)/(n - 1) = (5,44 - 5)/(5 -1) = 0,11.

Найдем отношением согласованности ОС.

ОС _К3 = ИС/СИ = 0,11/1,12 = 0,098.

Значение ОС меньше или равное 0.10 считается приемлемым, значит матрица К 3 (экономия воды) согласована.

Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы К 4 (вандалоустойчивость)

Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.

S_1К4 = 1 + 2 + 7 + 9 + 7 = 26;

S_{2 К4} = 1/2 + 1 + 7 + 9 + 7 = 24,5;

S_{3 К4} = 1/7 + 1/7 + 1 + 7 + 2 = 10,3;

S_{4 К4} = 1/9 + 1/9 + 1/7 + 1 + 1/7 = 1,3;

S_{5 К4} = 1/7 + 1/7 + 1/2 + 7 + 1 = 8,7.

Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов.

Р_{1 К4} = S₁ х W_{3 К41} = 26 х 0,02 = 0,78;

Р_{2 К4} = S₂ х W_{3 К42} = 24,5 х 0,04 = 0,8;

Р_{3 К4} = S₃ х W_{3 К43} = 10,3 х 0,15 = 1,24;

Р_{4 К4} = S₁ х W_{3 К44} = 1,3 х 0,6 = 0,9;

Р_{5 К4} = S₁ х W_{3 К45} = 8,7 х 0,19 = 1,6.

Находим пропорциональность предпочтений.

λ_{max К4} = Р_{1 К4}+ Р_{2 К4}+ Р_{3 К4}+ Р_{4 К4}+ Р_{5 К4} = 0,78 + 0,8 + 1,24 + 0,9 + 1,6 = 5,32.

Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.

ИС _К4 = (λ_{max К4} - n)/(n - 1) = (5,32 - 5)/(5 -1) = 0,08.

Найдем отношением согласованности ОС.

ОС _К4 = ИС/СИ = 0,08/1,12 = 0,07.

Значение ОС меньше или равное 0,10 считается приемлемым, значит матрица К 4 (вандалоустойчивость) согласована.

Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы К 5 (стоимость смесителя)

Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.

S_1К5 = 1 + 1/5 + 1/7 + 1/8+ 1/9 = 1,53;

S_{2 К5} = 5 + 1 + 1/7 + 1/8 + 1/9 = 6,2;

S_{3 К5} = 7 + 7 + 1 + 1/5 + 1/7 = 15,3;

S_{4 К5} = 8 + 8 + 5 + 1 + 1/7 = 21,3;

S_{5 К5} = 9 + 9 + 7 + 7 + 1 = 33.

Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов.

Р_{1 К5} = S₁ х W_{3 К41} = 1,53 х 0,54 = 0,76;

Р_{2 К5} = S₂ х W_{3 К42} = 6,2 х 0,28 = 1,6;

Р_{3 К5} = S₃ х W_{3 К43} = 15,3 х 0,1 = 1,4;

Р_{4 К5} = S₁ х W_{3 К44} = 21,3 х 0,05 = 1;

Р_{5 К5} = S₁ х W_{3 К45} = 33 х 0,02 = 0,66.

Находим пропорциональность предпочтений.

λ_{max К5} = Р_{1 К5}+ Р_{2 К5}+ Р_{3 К5}+ Р_{4 К5}+ Р_{5 К5} = 0,76 + 1,6 + 1,4 + 1 + 0,66 = 5,42.

Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.

ИС _К5 = (λ_{max К5} - n)/(n - 1) = (5,42 - 5)/(5 -1) = 0,105.

Найдем отношением согласованности ОС.

ОС _К5 = ИС/СИ = 0,105/1,12 = 0,094.

Значение ОС меньше или равное 0,10 считается приемлемым, значит матрица К 5 (стоимость смесителя) согласована.

Поиск по сайту: