Общие сведения. Явление отклонения света от направления прямолинейного распространения называется дифракцией

Явление отклонения света от направления прямолинейного распространения называется дифракцией. Наибольший практический интерес представляет исследование явления дифракции плоских волн или дифракции Фраунгофера. Этот случай реализуется, когда на препятствие падает параллельный пучок света.

Одним из решений волнового уравнения, описывающим распространение электромагнитных волн в свободном пространстве, является монохроматическая плоская гармоническая волна, которая для напряженности электрического поля может быть записана, как:

, (1.1)

где – круговая частота; – волновой вектор, ; – радиус-вектор точки наблюдения. Эта волна является плоской, так как колебания происходят синфазно во всех точках плоскости волнового фронта .

Если ограничиться рассмотрением достаточно слабых световых полей, когда справедливо использование лишь линейных операций, можно применить комплексное представление и записать плоскую монохроматическую волну в виде

. (1.2)

Выражение называется комплексной амплитудой, которая определяет как амплитуду, так и фазу волны. Временной множитель при линейных операциях над полями сохраняет свой вид, поэтому в последующих уравнениях зависимость от времени будет исключаться, а использоваться только комплексная амплитуда.

Плоской волной, представленной формулами вида (1.1) и (1.2), может быть лишь неограниченная во времени и пространстве волна. Ограничение волны во времени (в направлении ее распространения, задаваемом вектором приводит к немонохроматичности излучения, которое характеризуется шириной спектра частот . Ограничение плоской волны в направлениях, перпендикулярных направлению ее распространения (например, при прохождении через диафрагмы различной формы), приводит к возникновению после диафрагмы волн в других направлениях. Таким образом, плоская волна (параллельный пучок) неограниченных размеров, которая до преграды распространялась строго в одном направлении, характеризуемом вектором , после преграды ограничивается в размерах, при этом возникает некоторый разброс направлений волновых векторов от исходного направления, т. е. параллельный пучок начинает расширяться. Это явление и называется дифракцией.

Как следует из формулы (1.2), плоская волна до преграды описывается двумя частотами: временной и спектральной . После пространственного ограничения в частотном спектре должны появиться новые спектральные пространственные составляющие.

Если линейные размеры преграды много больше длины волы, то волновое поле в дальней зоне после диафрагмы можно рассматривать как суперпозицию плоских волн, амплитудно- и фазово-частотные спектры которых математически описываются пространственным преобразованием Фурье. Из геометрической оптики известно, что если линза формирует изображение предмета в задней фокальной плоскости, то сопряженная ей плоскость в пространстве предметов находится в бесконечности. Таким образом, для реализации дальней зоны и наблюдения дифракции Фраунгофера необходимо после диафрагмы на пути пучка установить собирающую линзу и расположить экран в ее задней фокальной плоскости (рис. 1.1).

Рассмотрим процесс образования изображения в задней фокальной плоскости линзы плоских волн, распространяющихся в направлении угла φ при дифракции на диафрагме в виде узкой длинной щели с параллельными краями, ограничивающей пучок в направлении .

Пусть слева на щель в направлении оси падает плоская монохроматическая волна. Такая волна формируется в дальней зоне точечного монохроматического источника, а освещение называется когерентным. С большой точностью условиям когерентного освещения соответствует излучение лазера. В системе координат волновой вектор падающей плоской волны имеет отличную от нуля только одну составляющую, , а комплексная амплитуда волны описывается выражением .

Рис. 1.1. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера на щели

После щели вторичные волны дифрагируют в направлениях, перпендикулярных щели, поэтому волновой вектор вторичных волн будет иметь составляющие по направлению . Отметим, что вторичные волны, распространяющиеся после щели, испытывают дополнительную дифракцию из-за ограничения размера пучка собирающей линзой. Если ширина щели много меньше линейных размеров линзы, дополнительную дифракцию можно не учитывать. В этом случае элементарные участки волнового фронта после щели имеют вид тонких узких цилиндрических полосок. Амплитуды волн от разных полосок, собирающихся в точке P, одинаковы, так как они имеют одинаковые площадь и наклон. Если , фазы всех участков вторичных волн одинаковы, после линзы они фокусируются в точке 0 фокальной плоскости. Если , фаза каждого участка вторичной волны зависит от расстояния от центра щели. Так, фаза волны в направлении от участка, находящегося на расстоянии от центра щели, опережает по фазе волну того же направления от середины щели на . Соотношение фаз участков вторичной волны, которые фокусируются в точке Р, будет таким же, как в плоскости АВ. Амплитуда результирующего колебания в точке P, обусловленного вторичной волной в направлении φ от всей щели, шириной b, пропорциональна выражению

, (1.3)

где – коэффициент, учитывающий зависимость амплитуды вторичных волн от направления; – амплитуда на единицу ширины волнового фронта; – размер щели; .

Необходимо заметить, что с физической точки зрения операция интегрирования по щели является решением задачи интерференции вторичных волн, т. е. сложения вкладов всех элементов с учетом их амплитуды и фазы.

При малых углах дифракции коэффициент наклона в (1.3) практически не зависит от φ и его можно заменить значением при . Тогда интенсивность излучения, распространяющегося после щели под углом φ, определяется выражением

, (1.4)

где – интенсивность излучения при .

Относительное угловое распределение интенсивности при дифракции на щели приведено на рис. 1.2. Центральный максимум распределения соответствует условию ; условие минимумов , где . Угловой размер центральной зоны в картине дифракции от одной щели

.

Рис. 1.2. Относительное распределение интенсивности в фокальной плоскости собирающей линзы при дифракции от щели

При малых углах дифракции

,

поэтому линейный размер центральной зоны дифракционного распределения определяется выражением

.

Таким образом, дифракционное изображение щели в фокальной плоскости линзы при когерентном освещении имеет вид светящейся полоски, разделенной темными точками, когда интенсивность равна нулю. Цвет свечения определяется длиной волны монохроматического света. Сужение щели приводит к расширению как центральной зоны, так и всей полоски. При перемещении щели вдоль оси положение и размеры дифракционного распределения не изменятся. При повороте щели вся картина также поворачивается.

При некогерентном освещении щели от точечного немонохроматического источника условие центрального максимума выполняется для всех длин волн, а условие минимумов и побочных максимумов дифракционного распределения зависит от длины волны, поэтому в центре дифракционной картины при использовании лампы накаливания наблюдается точка белого цвета, переходящая в цветные полоски. Если источник имеет конечные размеры (например, параллельная щели нить накала), наблюдаемое в фокальной плоскости объектива изображение нити оказывается растянутым в направлении, перпендикулярном щели.

Если на пути плоской монохроматической волны поставить преграду в виде непрозрачной полоски, шириной (например, тонкую проволоку), то, следуя вышеприведенным рассуждениям, волна после преграды будет суперпозицией исходной плоской волны и плоских волн, сформированных в дальней зоне цилиндрическими вторичными волнами от краев преграды. Распределение интенсивности в фокальной плоскости линзы и в этом случае описывается выражением (1.4) , в котором интенсивность (т. е. поток при ) соответствует той части падающего потока, который миновал преграду. Угловой размер центрального максимума дифракционной картины равен , где – диаметр проволоки.

Изучение дифракции в математическом смысле сводится к применению теории преобразований Фурье.

Любую периодическую функцию с периодом Т, удовлетворяющую условиям Дирихле, можно представить в виде экспоненциального ряда Фурье

,

где – комплексные весовые коэффициенты разложения ; – порядковый номер гармонической составляющей ряда; – циклическая частота основной гармонической составляющей.

Набор величин определяет дискретный частотный спектр сигнала , а именно амплитудно-частотный спектр и фазово-частотный спектр ( обозначает угол, который составляет вектор, изображающий комплексное число , с действительной осью комплексной плоскости).

Оптические сигналы, как правило, являются функцией нескольких переменных, которые могут быть представлены в виде многомерного ряда Фурье. Следует отметить, что как в одномерном, так и в многомерном случае требуется выполнение условий Дирихле. Сигналы, реализуемые в практических устройствах, как правило, удовлетворяют этим условиям.

Если функция не является периодической, то ее можно представить с помощью интегрального преобразования Фурье:

, (1.5)

где

. (1.6)

Весовая функция в интегральном представлении (1.5) называется спектральной плотностью функции или ее преобразованием Фурье (Фурье-образ). Переменная – координата в частотном пространстве, называемая частотой (временной, пространственной, спектральной) в зависимости от типа основной переменной x в пространстве сигналов. Размерность является обратной величиной размерности x.

Для сокращения записи вместо (1.5) и (1.6) вводят обозначения ; , где – операторы прямого и обратного преобразований Фурье. Эти операторы линейны, взаимно обратимы, для функции нескольких переменных интегральное преобразование Фурье определяется аналогично (1.5) и (1.6).

Прямое и обратное Фурье-преобразования функции двух переменных выражаются соотношениями

, (1.7)

. (1.8)

Здесь – координаты в плоскости объекта; – пространственные частоты – координаты в спектральной плоскости, а соответствующие им круговые пространственные частоты равны . Соотношения (1.7) и (1.8) эквивалентны соотношениям (1.5) и (1.6) для одномерного случая.

Подробно свойства операторов и – теоремы запаздывания, смещения спектров, равенство Парсеваля, теоремы спектра произведения функций – рассматриваются в соответствующих разделах математики.

Фурье-преобразования наиболее часто встречаемых функций приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Функция	Фурье-образ функции

Отметим, что многомерное преобразование Фурье функций с разделяющимися переменными сводится к перемножению спектров от отдельных сомножителей функции.

В общем случае монохроматическая волна записывается, как . Эта функция содержит информацию как об амплитуде , так и о фазе волны в любой точке пространства.

Разложению функции в ряд или интеграл Фурье соответствует разложение волнового поля при по плоским волнам: разложению в ряд Фурье соответствует дискретный набор плоских волн, а в случае интеграла Фурье – непрерывный набор плоских волн (например, при дифракции на щели).

Относительное распределение светового поля в дальней волновой зоне (дифракция Фраунгофера) имеет вид двумерного преобразования Фурье граничного поля .

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера при падении плоской волны на прямоугольное отверстие, считая, что начало координат расположено в центре прямоугольника со сторонами a и b.

Напряженность в плоскости cчитается равной напряженности поля падающей волны в пределах отверстия в экране и равной нулю за его пределами. Тогда можно распространить пределы интегрирования на всю плоскость :

.

Если стороны прямоугольника параллельны осям X и Y, то

где .

Таким образом, в фокальной плоскости линзы формируется непрерывный набор спектрального распределения амплитуд плоских волн и в направлениях угла φ (ось ) и угла (ось ) соответственно.

Аналогичным образом можно решить задачу дифракции на круглом отверстии. При вычислении интеграла (1.7) в этих случаях целесообразно перейти к полярным координатам и в плоскости отверстия, направление распространения вторичных волн характеризовать углом с осью . Распределение интенсивности в дифракционной картине от круглого отверстия имеет вид светлых и темных концентрических колец со следующим радиальным распределением интенсивности:

,

где – функция Бесселя первого порядка; – радиус отверстия. Угловой размер первого темного кольца – . Качественно вид дифракционной картины при круглом и прямоугольном отверстиях представлен на рис. 1.3, а и б соответственно.

В данной лабораторной работе исследуется явление дифракции при использовании монохроматического (гелий-неоновый лазер) и немонохроматического (лампа накаливания) источников света.

а	б

Рис. 1.3. Дифракционная картина при круглом и прямоугольном отверстиях

В последнем случае должно наблюдаться смещение друг относительно друга максимумов и минимумов, и если падающий свет белый, то в центре наблюдается белая полоса, переходящая в цветную.

Поиск по сайту: