Ускорение при криволинейном движении. Нормальное и тангенциальное ускорения

Представим себе материальную точку, движущуюся по некоторой криволинейной траектории r(t). Запишем скорость в виде

и заметим, что вектор

- это единичный вектор, касательный к траектории и совпадающий по направлению с вектором скорости. Продифференцируем вектор скорости, записанный в данном представлении, и получим

Мы представили ускорение в виде двух слагаемых. Заметим прежде всего, что слагаемые ортогональны друг другу. Действительно, поскольку вектор t - единичный, то

Дифференцируя это скалярное произведение, получаем

то есть

по свойству скалярного произведения

Таким образом, мы разложили ускорение на сумму двух взаимно ортогональных составляющих

Обсудим физический смысл каждого слагаемого

Вектор

- это тангенциальное ускорение, которое характеризует быстроту изменения модуля скорости. Эта часть полного ускорения, а направлена параллельно скорости. Если скорость меняется лишь по направлению, но не по величине (например, при равномерном движении по окружности), то

Слагаемое

ортогонально траектории. Оно называется нормальным ускорением и связано с так называемым радиусом кривизны траектории. Радиус кривизны является обобщением обычного радиуса окружности на произвольные криволинейные траектории. Идея обобщения состоит в том, чтобы заменить бесконечно малый кусочек траектории в данной точке на окружность, которая почти слилась бы с траекторией. Тогда радиус окружности можно назвать радиусом кривизны траектории, а центр окружности - центром кривизны. Для произвольной траектории (в отличие от окружностей) радиус кривизны и положение центра кривизны могут меняться от точки к точке (рис. 10).

Рис. 10. К определению радиуса кривизны траектории

Что же означает слово "сливается" в контексте задачи о нахождении радиуса кривизны произвольной кривой? Мы хотим найти радиус и центр кривизны в точке 1 (рис. 11).

Рис. 11. Графическое определение радиуса кривизны траектории

Под выражением "сливается" мы будем понимать следующее. Искомая окружность должна:

• проходить через точку 1;

• касаться траектории в этой точке;

• включать в себя точки траектории, бесконечно близкие к 1.

Иначе говоря, функции, описывающие траекторию и окружность, совпадают в точке 1 вместе со своими двумя первыми производными.

Возьмем неподалеку от точки 1 точку 2. Построим в этих точках касательные единичные векторы t1 и t2. Перпендикуляры к этим касательным пересекутся в некоторой точке 0'. Заметим, что для кривой, не являющейся окружностью, расстояния R1 и R2 будут немного отличаться друг от друга. Если теперь точку 2 приближать к точке 1, пересечение перпендикуляров 0' будет перемещаться вдоль прямой 0'1 и в пределе окажется в некоторой точке 0. Расстояния R1 и R2 будут стремиться к общему пределу R, равному радиусу кривизны, а точка 0 и будет центром кривизны для точки 1. Действительно, окружность радиусом R с центром в 0 проходит через точку 1 и касается траектории (так как радиус ортогонален орту t1). Кроме того, по построению бесконечно близкая точка 2 также лежит на этой окружности. Таким образом, построенная окружность действительно "сливается" с траекторией в точке 1.

Поскольку бесконечно близкие точки 1 и 2 лежат на окружности радиусом R, можно написать соотношение

связывающее длину ds дуги 12 и угол dj(фи) между касательными ортами. Длина дуги связана со скоростью материальной точки

А угол dj, как видно из рисунка, можно выразить через длину вектора

Именно,

так как

Отсюда получаем для нормального ускорения формулу

где n - единичный вектор в направлении изменения орта t.

Итак, в общем случае ускорение имеет две составляющие – тангенциальную

направленную вдоль вектора v и изменяющую модуль скорости, и нормальную

направленную перпендикулярно скорости и изменяющую направление скорости (рис. 12).

Рис. 12. Тангенциальное и нормальное ускорения

Полное ускорение

определяется по правилу параллелограмма. Модуль полного ускорения в соответствии с теоремой Пифагора равен

Поиск по сайту: