Примеры 1 - 8

1. Показать, что мультипликативная группа R₊ = (R ₊; ×) изоморфна аддитивной группе R = (R; +).

Доказательство. Определим отображение h: R ₊ ® R правилом:

("aÎ R ₊)[ h (a) = log _a a], 0 < a ¹ 1, a Î R. (2)

Следовательно, отображение h -это процесс логарифмирования (нахождения логарифма) по некоторому основанию а. Так как на множестве R ₊ задано умножение, а на R - сложение, то необходимо проверить выполнение условия

("a₁, a₂Î R ₊)[ h (a₁×a₂) = h (a₁) + h (a₂)]. (3)

Применяя правило (2) и свойство логарифмов, получаем ("a₁, a₂Î R ₊)[ h (a₁×a₂) = log _a (a₁×a₂) = log _a a₁ + log _a a₂ = h (a₁) + h (a₂)], то есть h - гомоморфизм группы R ₊ в группу R.

Кроме того, отображение h является биективным, так как выполняются условия:

("a₁, a₂Î R ₊)[a₁ ¹ a₂ Þ h (a₁) = log _a a₁ ¹ log _a a₂ = h (a₂)] (инъективность отображения h); h (R ₊) = R (сюръективность отображения h). Итак, R ₊ @ R.

2. Показать, что группы G= ({1,-1, i, -i }; ×) и G' = ({ g ₁', g ₂', g ₃', g ₄'}; ×), где умножение × в группе G' задается таблицей 4.3, являются изоморфными.

Решение. Составим таблицу умножения (таблицу Кэли) для первой группы G (см. таблицу 4.2) и сравним с таблицей 4.3 группы G'.

Таблица 4.2 Таблица 4.3

Обе группы содержат одно и то же число элементов. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Но это соответствие можно установить 4! = 24 способами. Нам нужно установить такое соответствие, которое не нарушалось бы при умножении. Здесь нам помогут некоторые дополнительные соображения. В следующем пункте этого параграфа мы докажем, что при гомоморфизме (изоморфизме) групп нейтральный элемент одной группы соответствует нейтральному элементу другой. Поэтому числу 1группы G поставим в соответствие элемент g ₁' группы G ^¢: 1«g ₁'.

Далее, так как соответствие должно сохраняться при умножении и (- 1)² = 1, а (g ₂')² = g ₃' ¹ g ₁' и (g ₄')² = g ₃' ¹ g ₁', то числу -1 не могут соответствовать элементы g ₂' и g ₄'. Значит, остается числу -1 поставить в соответствие элемент g ₃' (действительно, по таблице 4.3 (g ₃')² = g ₁'): - 1«g ₃'.

Аналогично рассуждая, получаем, что оставшиеся две пары элементов должны сопоставляться следующим образом: i «g ₂', - i «g ₄'.

Таким образом, имеем взаимно однозначное соответствие:

1«g ₁', -1 «g ₃', i «g ₂', -i «g ₄'. (4)

Теперь покажем, что это соответствие сохраняется при умножении. Для этого, вообще говоря, нужно найти все произведения g_i g_j (i, j = 1, 2, 3, 4) в группе Gи произведения соответственных элементов в группе G ^¢и каждый раз выяснять, являются ли произведения соответственными элементами. Например, согласно (4), таблицам 4.2 и 4.3, получаем

i× (-1) = - i «g ₂' × g ₃' = g ₄'.

Полученные элементы - i и g ₄' соответствуют друг другу.

Аналогично нужно просмотреть все произведения (их всего 16). Все это можно сделать несколько короче. Составим таблицу умножения для группы G, записав во входные строку и столбец элементы 1, -1, i, -i в том порядке, в каком записаны в таблице 4.3 группы G' соответствующие им элементы g_i '. Тогда таблица умножения группы G примет вид:

Таблица 4.4

Теперь осталось просмотреть: находятся ли в одинаковых клетках полученной таблицы 4.4 группы Gи таблицы 4.3 группы G' соответственные элементы. Так, например, в обведенных жирными линиями клетках находятся соответственные элементы i и g ₂'. Аналогичную картину наблюдаем и для других соответствующих клеток.

Следовательно, группы Gи G ^¢ изоморфны.

3. Пусть Q * = (Q *; ×), Q * = Q \ {0} и Q₊ = (Q ₊; ×) - две мультипликативные группы. Показать, что отображение h: Q *® Q ₊, заданное правилом

(" q Î Q *)[ h (q) = ÷ q ÷ ], (5)

является эпиморфизмом.

Решение. Отображение h сохраняет главную операцию * группы Q, так как согласно правилу (5), выполняется условие

(" q ₁ ,q ₂Î Q *)[ h (q ₁ × q ₂) = ï q ₁ × q ₂ ÷ = ÷ q ₁ ÷×ô q ₂ ô= h (q ₁)× h (q ₂)].

h является сюръективным, так как для любого элемента ô q ôÎ Q ₊ найдется такой элемент q Î Q *, что h (q) = ï q ï. Следовательно, h - эпиморфизм.

Отображение h – не инъективное, поскольку

(" q, -q ÎQ*)[ h (q) = ï q ï = h (-q)].

4. Докажите изоморфизм групп Ñ = (С; +) и Ì _2х2 = (М _2х2; +), где С = { c = a + bi ô a, b Î R, i ² = -1}, a М _2x2 - множество действительных матриц вида

.

Доказательство. Отображение h: C ® M _2x2 зададим следующим образом:

a b

(" с Î С)[ h (c) = h (a + bi) = ]. (6)

- b a

Отображение h является гомоморфизмом группы C в группу Ì _2х2. В самом деле, используя правило (6), получаем

Кроме того, h - биективное отображение, так как выполняются условия:

- инъективность отображения h; для любой матрицы

из множества М _2х2 существует число с = а + bi из множества С, которое при отображении h переходит в эту матрицу - сюръективность отображения h.

Итак, Ñ @ Ì _2х2.

5. Доказать, что мультипликативную группу невырожденных квадратных матриц порядка n (n ³ 1) можно гомоморфно отобразить на мультипликативную группу действительных чисел, отличных от нуля.

Доказательство. Отобразим группу M _nxn = (M _nxn; ×) в группу R * = (R *= R \ {0}; ×) по правилу h, которое каждой квадратной матрице А Î M _nxn ставит в соответствие её определитель ï А ïÎ R *. Так как при этом отображении для любого заданного элемента из R * полный прообраз есть непустое множество (так как существует бесконечно много матриц из М _nxn, определители которых равны заданному действительному числу), то h является отображением множества М _nxn на множество R *. Более того, такое отображение сохраняет бинарную операцию группы Ì _nxn. Действительно, если А и В -любые матрицы из М _nxn , то и А × В из М _nxn, и по теореме об определителе произведения матриц получим:

h (A × B) = ï A × B ï = ï A ï×ï B ï = h (A)× h (B).

Следовательно, h есть гомоморфное отображение группы M _nxn на группу R *, то есть эпиморфизм.

6. Пусть Å₃ = (Е₃; +) аддитивная группа трехмерного евклидова пространства всех геометрических векторов пространства, а Å ₂ =(Е ₂; +)- аддитивная группа всех геометрических векторов плоскости XOY. Показать, что ортогональное проектирование векторов из Е ₃ на Е ₂ является гомоморфизмом группы Å₃ на Å₂. Выяснить будет ли это отображение изоморфизмом?

Решение. Так как отображение h: E₃ ® E₂является ортогональным проектированием векторов пространства на плоскость XOY, то по свойствам проекций, известных из курса геометрии, получаем

(" Î E₃)[ h () = pr _XOY () = pr _XOY + pr _XOY = = h () + h () ],

то есть h - гомоморфизм. При этом, очевидно, выполняется сюръективность. Однако, отображение проектирования не является инъективным, так как два различных вектора, например, находящиеся с разных сторон от плоскости ХОY, могут проектироваться в один и тот же вектор этой плоскости. Следовательно, это отображение не является изоморфизмом, а только эпиморфизмом.

7. Показать, что ортогональная группа

O (2) = (O (2) = A = ô a, b Î R, ô A ô=1; ×)

изоморфна группе вращений плоскости R ² вокруг начала O прямоугольной декартовой системы координат на углы j (0 £ j £ 2p).

Решение. Из аналитической геометрии известно, что если координатную плоскость XOY повернуть вокруг ее начала О на угол j, то координаты каждой точки М (х, у) преобразуются по формулам:

x ^¢ = x cos j + y sin j,

(7)

y ^¢ = - x sin j + y cos j.

Таким образом, поворот плоскости на угол j определяется линейным преобразованием (7). Множество всех вращений плоскости XOY вокруг ее начала координат обозначим через G ' = { R _o^j}.

Преобразованию (7) поставим в соответствие матрицу

A _j = ,

где a = cosj, b = sinj. Так как числа a и b действительные и

ô A _j ô= a ² + b ² = cos²j + sin²j = 1, то матрица А _j принадлежит множеству О (2). Таким образом, каждому элементу множества G' (вращению) мы поставили в соответствие вполне определенную матрицу из О (2). При этом легко проверить, что разным вращениям (то есть вращениям на разные углы j₁ и j₂) будут соответствовать разные матрицы (А j₁ и А j₂). Обратно, пусть есть некоторая матрица из О (2). Представим эту матрицу в виде

A = .

Приравнивая соответствующие элементы матриц, получаем систему уравнений

a = r cosa, b = r sina

относительно неизвестных r и a. Решая эту систему, найдем однозначно

r = и 0 £ a £ 2p.

Так как А Î О (2), то a ² + b ² = 1, то есть r = 1и

A = .

Этой матрице соответствует линейное преобразование

x ^¢ = x cos a + y sin a,

y ^¢ = - x sin a + y cos a,

то есть поворот на угол a. Итак, между элементами множеств О (2) и G ' установлено взаимно однозначное соответствие. Осталось показать, что это соответствие сохраняется при операции умножения.

Пусть мы имеем два вращения: вращение на угол j₁ и вращение на угол j₂. Им соответствуют матрицы из О (2):

A j₁ = , A j₂ = .

Произведение вращений, как и движений вообще, определяется как результат их последовательного применения. Значит, произведением данных нам вращений будет вращение на угол j₁ + j₂ (если угол j₁ + j₂ окажется больше 2p, то вычитанием угла, кратного 2p, приведем его к углу 0 £ j £ 2p). Теперь найдем произведение матриц А j₁ и А j₂:

Отсюда видно, что произведению двух вращений соответствует произведение соответствующих им матриц, т.е. установленное нами взаимно однозначное соответствие между элементами множеств О (2) и G' сохраняется при умножении. Это и значит, что группы Î(2)и G ^¢ изоморфны.

8. Доказать, что все группы третьего порядка изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть имеется группа G = (G; *), основное множество которой содержит три элемента g ₁ = e, g ₂ , g ₃ . Очевидно, что число неизоморфных групп третьего порядка равно числу различных таблиц Кэли, которые можно задать для элементов e, g ₂, g ₃. При этом, конечно, следует помнить, что каждая таблица должна быть такой, чтобы G относительно бинарной операции, заданной этой таблицей, образовало группу.

Заготовим входную строку и входной столбец таблицы (см. таблицу 4.5).

Таблица 4.5 Таблица 4.6 Таблица 4.7

и будем её заполнять постепенно. В группе должен быть нейтральный элемент. Пусть таковым будет g ₁ = e. Тогда первая строка и первый столбец должны будут совпадать со входными строкой и столбцом (таблица 4.6). Осталось заполнить 4 клетки. Если учесть, что в каждой строке и каждом столбце каждый элемент должен встретиться лишь один раз, то оставшиеся 4 клетки заполнятся однозначно (см. таблицу 4.7). Таким образом, на множестве из трех элементов можно лишь одним способом определить бинарную операцию так, чтобы оно относительно неё образовало группу. Это и значит, что существует лишь одна группа из трех элементов (с точностью до изоморфизма). Иначе говоря, все группы третьего порядка изоморфны.

Например, мультипликативная группа четных подстановок 3-й степени À ₃, основное множество которой состоит из подстановок

и мультипликативная группа корней третьей степени из 1, основное множество которой составляют три комплексных числа

e _о= 1, e₁ = - + i , e₂ = - - i ,

изоморфны между собой.

Поиск по сайту: