п.2. Простейшие свойства гомоморфизмов и изоморфизмов групп

1^°. Пусть h ₁ - гомоморфизм группы G = (G; *) в группу G ' = (G '; ⊗) и h ₂ - гомоморфизм группы G' в группу G" = (G "; o). Тогда их композиция h ₂◦ h ₁ является гомоморфизмом группы G в группу G".

Доказательство. По определению композиции отображений, для любых элементов g ₁ и g ₂ из множества G имеем (h ₂ ◦h ₁)(g ₁* g ₂) = h ₂(h ₁ (g ₁* g ₂)). Так как, по условию, h ₁ и h ₂ - гомоморфизмы, то

(h ₂ ◦h ₁)(g ₁* g ₂) = h ₂(h ₁ (g ₁* g ₂)) = h ₂(h ₁ (g ₁)⊗ h ₁ (g ₂)) =

= h ₂ (h ₁ (g ₁))o h ₂ (h ₁ (g ₂)) = (h ₂◦ h ₁)(g ₁)¨ (h ₂◦ h ₁)(g ₂),

т.е. выполняется условие (1). По определению 2 h ₂◦ h ₁ является гомоморфизмом группы Gв группу G".

ч.т.д.

Как говорят, при этом имеет место следующая диаграмма

h ₁

G ---------------® G '

h ₂ ◦ h ₁ h ₂ (8)

.

G"

2^°. Пусть h ₁ - изоморфизм группы G = (G; *) на группу G ' = (G '; ⊗) и h₂ - изоморфизм группы G' на группу G" = (G "; ¨). Тогда их композиция h ₂ ◦h ₁ является изоморфизмом группы G на группу G".

Доказательство. С учетом доказательства свойства 1°, нам достаточно показать, что композиция h ₂◦ h ₁ является биективным отображением. Эта композиция - биективное отображение согласно свойствам отображений, поскольку каждое отображение h ₁ и h ₂ является биективным.

ч.т.д.

Для свойства 2° имеет место также диаграмма (8), в которой все стрелки направлены в обе стороны.

3°. Пусть h - изоморфизм группы G = (G; *) на группу G' = (G '; ⊗). Тогда отображение h ^-1: G' ®G является также изоморфизмом.

Доказательство. По определению 6 h - биективное отображение группы Gна группу G', сохраняющее бинарную операцию * группы G. Поэтому, во-первых, по свойствам отображений h ^-1: G'® Gявляется биективным отображением. Во-вторых, мы покажем, что h ^-1сохраняет бинарную операцию ⊗ группы G', т.е. выполняется условие

(" g ₁ ',g ₂ ' Î G')[ h ^-1(g ₁ ' ⊗ g ₂ ') = h^{- 1}(g ₁ ')* h^{- 1}(g ₂ ') = g ₁* g ₂ ]. (9)

Из условия (9) получаем (свертываем обе части условия (9) с отображением h и переставляем левые и правые части, а также учитываем равенство h o h^{- 1} = id), что условие (9) равносильно следующему условию

h o h ^-1 (g ₁ ' * g ₂ ') = h (h ^-1 (g ₁ ')* h^{- 1} (g ₂ ')) = h (g ₁* g ₂)

или

id (g ₁ ' * g ₂ ') = h (g₁ * g₂).

Отсюда

g ₁ ' * g ₂ ' = h (g ₁) * h (g ₂). (10)

Так как по условию свойства 3°, h - изоморфизм группы Gна группу G', то выполнено условие

h (g ₁ * g ₂) = h (g ₁) * h (g ₂) = g ₁ ' * g ₂ '. (11)

Условие (11) равносильно условию (10). Следовательно, выполняется и условие (9).

ч.т.д.

4°. Отношение изоморфизма между группами является отношением эквивалентности.

Доказательство. На множестве всех групп отношение изоморфизма между группами является: 1) рефлексивным, так как, очевидно, что каждая группа G изоморфна самой себе (G@ G, h = id); 2) симметричным по свойству 3° (G@G ' Þ G'@ G); 3) транзитивным по свойству 2° (G@ G' Ù G' @G"Þ G' @ G").

ч.т.д.

Из свойства 4° следует, что множество всех групп распадается на классы изоморфных между собой групп. Теория групп изучает преимущественно лишь те свойства групп, которые сохраняются при изоморфизме, таким образом, одинаковы у всех групп. Эти свойства часто называют абстрактными свойствами групп. Считается, что абстрактные свойства группы - это свойства бинарной операции, не зависящие от природы элементов, слагающих группу. Примерами наиболее простых абстрактных свойств групп могут служить тип -

r (*) = 2 и мощность - ú G ú, так как они у изоморфных групп заведомо одинаковы.

Таким образом, все группы данного класса изоморфных групп с точки зрения определенных на них бинарных операций ничем не отличаются одна от другой; они могут отличаться лишь природой своих элементов и, возможно, названием заданных на них бинарных операций и символикой, с помощью которой они записываются. Поэтому изоморфные группы считают лишь различными экземплярами одной и той же группы. Группы преимущественно изучаются с точностью до изоморфизма.

Заметим, что понятие изоморфизма не является специфичным для алгебры и теории чисел. Всякая математическая наука умеет по некоторым признакам иденфицировать изучаемые ею объекты (вводить понятие эквивалентности объектов, разбивать множество их на классы эквивалентности), выделяя тем самым, те свойства объектов, которые составляют предмет этой науки.

5°. При гомоморфизмах одной группы в другую образами подгрупп и непустыми полными прообразами подгрупп являются подгруппы.

Доказательство. a) 1). Пусть h - гомоморфизм группы G= (G; *) в группу G'= (G '; *), а G₁ - подгруппа группы G.

Возьмем произвольные элементы g ₁ ' и g ₂ ' в образе h (G ₁) подмножества G ₁ подгруппы G₁. Обозначим через g ₁ и g ₂ прообразы соответственно элементов g ₁ ' и g ₂ '. Далее, обозначим через элемент g - композицию элементов g ₁и g ₂: g = g ₁* g ₂.

Применяя условие (1) п.1, получаем

h (g ₁* g ₂) = h (g),

h (g ₁) * h (g ₂) = h (g).

Так как, g Î G ₁, то h (g) = h (g ₁) * h (g ₂) Î h (G ₁), то есть подмножество h (G ₁) замкнуто относительно бинарной операции * группы G'.

2) Из g Î G ₁ и s (g) Î G ₁ следует, что, если h (g) Î h (G ₁), то

h (s (g)) = s (h (g)) Î h (G ₁).

Следовательно, h (G₁) p G₁ '.

b) Читателю предлагается аналогичным образом доказать вторую часть свойства 5°.

ч.т.д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Множество I m h = { h (g)ú " g Î G } назы-

вается образом гомоморфизма h: G®G',а алгебра Im h = (I m h;*)

- образом группы G.

Следствие 5.1. При любом гомоморфизме h: G® G ' образ группы

G является подгруппой группы G':

Im h = h (G) p G '.

6°. При изоморфизмах одной группы на другую образами подгрупп и непустыми полными прообразами подгрупп являются подгруппы.

Доказательство этого свойства непосредственно следует из доказательства свойства 5°.

Следствие 6.1. При любом изоморфизме h: G® G ' образ группы G

является подгруппой группы G':

Im h = h (G) p G '.

Приведем без доказательства следующее утверждение.

7°. Отображение h группы G в группу G' тогда и только тогда является гомоморфизмом, когда отображение h: G * ®G '* является гомоморфизмом модели G *, представляющей группу G, в модель G '*, представляющей группу G'.

8° (9°). При любом гомоморфизме (изоморфизме) h группы G в (на) группу G' нейтральный элемент е группы G отображается в нейтральный элемент е' группы G'.

Доказательство. 8° (9°). Пусть h - произвольный гомоморфизм (изоморфизм) группы Gв (на) группу G'. Из е * е = е следует h (e * e) = h (e), далее, h (e) ⊗ h (e) = h (e).С другой стороны, е' ⊗ h (e) = h (e). Поэтому h (e) ⊗ h (e) = e' ⊗ h (e). Так как во всякой группе можно выполнить "сокращения" (следствие свойства 4°, §1), то отсюда вытекает, что h (e) = e'.

ч.т.д.

10° (11°). При любом гомоморфизме (изоморфизме) h группы G в (на) группу G' каждая пара взаимно-симметричных элементов g и s (g) группы G отображается в пару взаимно-симметричных элементов h (g) и s [ h (g)] = h [ s (g)] группы G '.

Доказательство. 10° (11°). Пусть h- произвольный гомоморфизм (изоморфизм) группы Gв (на) группу G', а g и s (g) - произвольная пара взаимно-симметричных элементов группы Gи пусть h (g) = g' Î G'. Тогда g * s (g) = e. Отсюда следует, что h [ g * s (g)] = h(e) или учитывая, что h - гомоморфизм (изоморфизм) и свойство 8° (9°) h (g) ⊗ h [ s (g)] = e', т.е. g' ⊗ h [ s (g)] = e'. Рассуждая аналогичным образом, из равенства s (g)* g = e получаем h [ s (g)* g ]= = h (e), h [ s (g)] ⊗ h(g) = e', h [ s (g)] ⊗ g' = e'. Поскольку g' ⊗ h [ s (g)] = e' и h [ s (g)] ⊗ g' = e', то элемент h [ s (g)] Î G' является симметричным элементу g' = h (g): h [ s (g)] = s [ h (g)].

ч.т.д.

12° (13°). Если алгебра G' = (G '; ⊗) гомоморфна (изоморфна) некоторой группе G = (G; *), то она является группой. Если группа G абелева, то группа G' также абелева.

Доказательство. 1) G 1. Докажем сначала ассоциативность бинарной операции ⊗. Пусть g ₁', g ₂ ', g ₃ ' - произвольные элементы из множества G ' алгебры G'. Они являются образами некоторых элементов g ₁, g ₂, g ₂ из группы Gпри некотором гомоморфизме (изоморфизме) h, отображающем группу Gв (на) алгебру G', т.е. g ₁ ' = h (g ₁ ), g ₂ ' = h (g ₂), g ₃ ' = h (g ₃). Так как (g ₁ * g ₂) * g ₃ = g ₁ * (g ₂ * g ₃), то и h [(g ₁ * g ₂) * g ₃ ] = h [ g ₁ * (g ₂ * g ₃)]. Но h [(g ₁ * g ₂) * g ₃ ] = h (g ₁ * g ₂) ⊗ h (g ₃) = [ h (g ₁) ⊗ h (g ₂)] ⊗ h (g ₃) = (g ₁' ⊗ g ₂ ') ⊗ g ₃ ', а h [ g ₁ * (g ₂ * g ₃)] = h (g ₁) ⊗ h (g ₂ * g ₃) = h (g ₁) ⊗ [ h (g ₂) ⊗ h (g ₃)] = g ₁ ' ⊗ (g ₂ ' ⊗ g ₃ '). Следовательно, (g ₁ ' ⊗ g ₂ ') ⊗ g ₃ ' = g ₁ ' ⊗ (g ₂ ' ⊗ g ₃ ').

G 2. Покажем теперь, что h (e) является нейтральным элементом в алгебре G ' относительно бинарной операции Ä. Пусть g' - произвольный элемент множества G '. В группе G есть такой элемент g, что h (g) = g'. Поэтому g' = h (g) = h (g * e) = h (g) Ä h (e) = g' Ä h (e), g' = h (g) = h (e * g) = h (e) Ä h (g) = h (e) Ä g'. Таким образом, g' Ä h (e) = h (e) Ä g' = g' и, следовательно, h (e) - нейтральный элемент в алгебре G '.

G 3. Покажем, наконец, что для каждого элемента g' Î G ' в множестве G ' содержится симметричный элемент s (g'). В самом деле, пусть g' = h (g). Тогда e' = h (e) = h [ g * s (g)] = h (g) ⊗ h [ s (g)] = g' ⊗ h [ s (g)], e' = h (e) = h [ s (g) * g ] = h [ s (g)] ⊗ h (g) = h [ s (g)] ⊗ g'.

Таким образом, g' ⊗ h [ s (g)] = h [ s (g)] ⊗ g' = e' и, следовательно, элемент h [ s(g) ] является симметричным для элемента g', т.е. s(g') = h [ s(g) ]Î G ' (сравни с доказательством 10° (11°)).

Таким образом, мы доказали, что алгебра G' = (G '; ⊗) является группой.

1) Предположим теперь, что группа Gабелева. Пусть g ₁ ', g ₂ ' - два произвольных элемента группы G'. Тогда g ₁ ' = h (g ₁) и g ₂ ' = h (g₂), где g₁ и g₂ - некоторые элементы из группы G. Так как g ₁ * g ₂ = g ₂ * g ₁, то и h (g ₁ * g ₂) = h (g ₂ * g ₁) и поэтому h (g ₁) ⊗ h (g ₂) = h (g ₂) ⊗ h (g ₁), т.е. g ₁ ' ⊗ g ₂ ' = g ₂ ' ⊗ g ₁ '. Следовательно, группа G'абелева.

ч.т.д.

Поиск по сайту: