Приложения определённого интеграла

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12-2

Определённые интегралы широко используются в геометрии, физике и механике. С их помощью легко вычисляются длины плоских кривых и площади криволинейных областей, пройденный точкой путь, произведенная работа и многие другие механические и физические величины.

Задача 1. Вычислить длину дуги цепной линии, заданной уравнением y = a ch (x / a), от точки x =0 до текущей координаты x.

Решение. Известно, что дифференциал длины дуги кривой, заданной явным уравнением y = f (x), выражается через производную следующим образом:

Тогда длина дуги кривой, ограниченной точками x = x ₀ и x = x ₁, определяется через интеграл в виде:

Вычислим для цепной функции производную от длины переменной дуги:

> f:=x->a*cosh(t/a);

> `s'`:=simplify(sqrt(1+diff(f(t),t)^2));

В результате Maple использовал функцию вычисления знака csgn() для выражения cosh(t/a) (мы помним, что гиперболический синус в англоязычной математической литературе обозначается sinh(x), гиперболический косинус cosh(x)). Дело в том, что параметром в команде упрощения simplify() является выражение, содержащее квадратный корень:

> sqrt(1+diff(f(t),t)^2);

Под корнем стоит выражение, которое упрощается до квадрата функции cosh(t / a), а так как результат извлечения квадратного корня из квадрата действительного числа зависит от знака числа, то Maple как раз и использует функцию csgn() для отражения этого факта. Однако мы знаем, что функция гиперболического косинуса всегда положительна, а поэтому можем немного упростить полученное выражение, убрав из него функцию вычисления знака:

> `s'`:=op(2,`s'`);

Теперь, имея выражение для дифференциала дуги цепной линии, можно вычислить и ее длину:

> Int(`s'`,t=0..x)=int(`s'`,t=0..x);

Используя аналогичный подход, можно вычислять длины дуг параметрически заданных кривых. Единственное, что надо помнить, это формулу дифференциала длины дуги параметрически заданной кривой (x = x (t), y = y (t)):

Задача 2. Вычислить длину дуги четверти астроиды x = a cos³ t, y = a sin³ t (0£ t £p/2).

Решение. Начертим сначала график астроиды и выделим дугу, длину которой необходимо вычислить:

> x:=a*cos(t)^3; y:=a*sin(t)^3;

> f:=plot([eval(x,a=1),eval(y,a=1),t=0..2*Pi],color=black,

linestyle=7,thickness=2):

g:=plot([eval(x,a=1),eval(y,a=1),t=0..Pi/2],color=black,

linestyle=1,thickness=2):

with(plots):

display({f,g},scaling=CONSTRAINED);

На рисунке астроида отображается точечной линией, а ее четверть сплошной линией.

Теперь вычислим производную длины дуги астроиды и определённый интеграл от неё на заданном интервале изменения параметра t, величина которого и будет равна длине четверти астроиды:

> `s'`:=simplify(sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2));

> Int(`s'`,t=0..Pi/2)=int(`s'`,t=0..Pi/2);

Из определения определённого интеграла нам известно, что если подынтегральная функция f (x) на некотором промежутке [ a, b ] изменения независимой переменной x положительна, то интеграл равен площади криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной сверху кривой y = f (x), слева и справа двумя ординатами x = a и x = b и снизу отрезком [ a, b ] оси x. Если фигура ограничена снизу не отрезком оси x, а также некоторой кривой y = g (x) (причем эта кривая не обязательно должна быть положительна), то площадь подобной фигуры определяется по формуле:

Рисунок примера 1 иллюстрирует сказанное выше относительно вычисления площади криволинейной трапеции.

Поиск по сайту: