Замечание

Обратите внимание, что задание пустого списка засечек горизонтальной оси в опции xtickmarks, а также одного значения 0 для засечек по вертикальной оси приводит к вычерчиванию осей координат вообще без засечек с единственной маркированной точкой – началом координат.

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат и параболой

, (a > 0).

Решение. Прежде всего, выразим уравнение параболы в явном виде и начертим ее график. Из задания параболы ясно, что независимая переменная x должна быть неотрицательной:

> f:=sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(a);

> f:=rhs(isolate(f,y));

> with(plots):

a1:=a:

n:=40:

f0:=plot(eval(f,a=5),x=0..11,0..7,color=black,thickness=2):

f1:=seq(plot([[eval(a1,a=5)/(n-1)*(i-1),0],

[eval(a1,a=5)/(n-1)*(i-1),

eval(f,[x=eval(a1,a=5)/(n-1)*(i-1),a=5])]]),i=1..n):

f2:=plot([[eval(a1,a=5),0]],style=POINT, symbol=DIAMOND, symbolsize=16,

color=black):

f3:=textplot([0.1,5,"a"],align=RIGHT):

f4:=textplot([5,0,"a"],align=BELOW):

f5:=textplot([0,7,"y"],align=LEFT):

f6:=textplot([11,0,"x"],align=BELOW):

display({f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6},xtickmarks=[],ytickmarks=[0]);

Точку пересечения графика параболы с осью абсцисс найдем из решения уравнения:

> p:=solve(f,x);

Теперь можно вычислить искомую площадь как интеграл:

> Int(f,x=0..p)=int(f,x=0..p);

Задача 4. Определить площадь фигуры, заключенной между двумя параболами y ²=2 px и x ²=2 py.

Решение. Как и в предыдущей задаче, сначала мы построим графики парабол, чтобы выяснить их взаимное расположение:

> ff:=y^2=2*p*x;

> f:=sqrt(2*p*x);

> g:=x^2/2/p;

> with(plots):

n:=20:

f0:=implicitplot(eval(ff,p=1),x=-3..3,y=-3..3,color=black,thickness=2):

f1:=plot(eval(g,p=1),x=-3..3,color=black,thickness=2):

f2:=seq(plot([[2./(n-1)*(i-1),eval(f,[p=1,x=2/(n-1)*(i-1)])],

[2/(n-1)*(i-1),eval(g,[p=1,x=2/(n-1)*(i-1)])]],color=gray),i=1..n):

f3:=plot([[2,0],[2,2]],color=black,linestyle=7):

f4:=plot([[0,2],[2,2]],color=black,linestyle=7):

f5:=textplot([2,0,"2p"],align=BELOW):

f6:=textplot([0,2,"2p"],align=LEFT):

f7:=textplot([0,5,"y"],align=LEFT):

f8:=textplot([3,0,"x"],align=BELOW):

f9:=textplot([0,1,"y^2=2px"],align=ABOVE):

f10:=textplot([2,0.1,"x^2=2py"],align={ABOVE,LEFT}):

display({seq(f||i,i=0..10)},xtickmarks=[],ytickmarks=[0]);

Из рисунка видно, что две параболы пересекаются в двух точках, координаты которых можно определить из решения системы уравнений:

> eq1:=y=f;eq2:=y=g;

> c:=solve({eq1,eq2},{x,y});

Из полученного множества решений нас, естественно, интересуют только действительные { x =0, y =0} и { x =2 p, y =2 p }, из которых определяется интервал интегрирования для определёния площади фигуры, образованной пересечением конгруэнтных парабол, – [0, 2 p ]. Определённый интеграл от разности функций f и g по этому промежутку и будет равен площади искомой фигуры:

> S:=int(f-g,x=0..2*p);

> subs(sqrt(p^2)=p,S);

Если параметр p > 0, то можно упростить выражение для площади, заменив в нем на p.

Кроме вычисления длин дуг кривых и площадей определённый интеграл применяется при вычислении объемов тел вращения, образуемых вращением криволинейной трапеции, ограниченной сверху неотрицательной функцией y = f (x), слева и справа прямыми x = a и x = b (a £ b), а снизу отрезком [ a, b ] оси x, вокруг этой оси. В этом случае объем полученного тела можно вычислить по формуле

.

Если фигура ограничена и сверху и снизу кривыми y = f (x) и y = g (x), то, очевидно,

.

Задача 4. Вычислить объем эллипсоидов вращения, образованных вращением эллипса вокруг оси x и оси y.

Решение. Нарисуем на плоскости xy заданный в задаче эллипс:

> with(plots):

f0:=implicitplot(x^2/2^2+y^2/4^2=1,x=-2..2,y=-4..4,

color=black,thickness=2,scaling=CONSTRAINED):

f1:=textplot([2.1,0,"a"],align={RIGHT,BELOW}):

f2:=textplot([-2.1,0,"-a"],align={LEFT,BELOW}):

f3:=textplot([0,5,"y"],align=LEFT):

f4:=textplot([3,0,"x"],align=BELOW):

f5:=textplot([0.1,4.1,"b"],align={ABOVE,RIGHT}):

f6:=textplot([0,-4,"-b"],align={BELOW,LEFT}):

display({seq(f||i,i=0..6)},xtickmarks=[],ytickmarks=[]);

Для вычисления объема эллипсоида вращения, образованного вращением вокруг оси x, следует найти квадрат координаты y, а потом вычислить в соответствии с приведённой выше формулой определённый интеграл на промежутке [- a, a ]:

> ellips:=x^2/a^2+y^2/b^2=1;

> isolate(ellips,y^2);

> f:=rhs(%);

> V[x]=Pi*Int(f,x=-a..a);

> V[x]=Pi*int(f,x=-a..a);

При вращении эллипса вокруг оси y нам необходимо вычислить определённый интеграл от квадрата координаты x на промежутке [- b, b ]:

> isolate(ellips,x^2);

> f:=rhs(%);

> V[y]=Pi*Int(f,y=-b..b);

> V[y]=Pi*int(f,y=-b..b);

Задание. Назначить переменным а и b числовые значения, вычислить объёмы эллипсоидов вращения и сравнить их между собой.

Задача 5. Найти объём общей части параболоида вращения 2 az = x ²+ y ² и сферы x ²+ y ²+ z ²=3 a ².

Решение. Оба тела являются телами вращения относительно оси z, а поэтому и общая их часть также будет телом вращения относительно этой же оси:

> g:=plot3d((x^2+y^2)/2/2,x=-4..4,y=-sqrt(16-x^2)..sqrt(16-x^2)):

g1:=implicitplot3d(x^2+y^2+z^2=12,x=-4..4,y=-4..4,z=-4..4):

display({g,g1},scaling=CONSTRAINED,axes=FRAME,

shading=ZHUE,style=WIREFRAME,orientation=[45,70]);

Замечание. Для иллюстрации пересечения параболоида вращения и сферы мы задали значение параметра a равным 2.

Для вычисления объема тела, получаемого пересечением параболоида вращения и сферы, необходимо определить уравнение кривой, вращение которой образует их общую часть. Для этого следует построить сечения заданных тел плоскостью, проходящей через ось z, например, xz:

> p:=2*a*z=x^2+y^2;

> s:=x^2+y^2+z^2=3*a^2;

> p[z]:=subs(y=0,p);

> s[z]:=subs(y=0,s);

> f0:=implicitplot({eval(p[z],a=2),eval(s[z],a=2)},x=-4..4,z=0..12,

color=black,thickness=2,scaling=CONSTRAINED):

f1:=plot([[0,2],[sqrt(8),2]],color=black):

f2:=textplot([0,2,"a"],align={LEFT}):

f3:=textplot([0,sqrt(12)+0.2,"sqrt(3)*a"],align={LEFT,ABOVE}):

f4:=textplot([0,5,"z"],align=LEFT):

f5:=textplot([5,0,"x"],align=BELOW):

f6:=plot([[sqrt(8),0],[sqrt(8),2]],color=black):

f7:=textplot([sqrt(8),-0.2,"sqrt(2)*a"],align=BELOW):

display({seq(f||i,i=0..7)},xtickmarks=[],ytickmarks=[]);

Точки пересечения сечений заданных в задаче тел вращения можно вычислить следующими командами:

> subs(x^2=lhs(p[z]),s[z]);

> solve(%,z);

> z[1]:=%[1];

> x[1]:=simplify(subs(z=z[1],sqrt(lhs(p[z]))),symbolic);

Так как параболоид вращения задан только при z ³ 0, то из двух значений z выбирается первое, которое больше нуля.

Теперь ясно, что сечение тела вращения, являющегося пересечением параболоида и сферы, представляется параболой 2 az = x ², пока z принадлежит промежутку [0, a ], и дугой окружности x ²+ z ²=3 a ², когда z изменяется в интервале [ a, ]. Поэтому объём тела, полученного вращением составной кривой вокруг оси z, представляется суммой двух интегралов:

> V=Pi*Int(lhs(p[z]),z=0..a)+

Pi*Int(rhs(isolate(s[z],x^2)),z=a..sqrt(3)*a);

> V=simplify(Pi*int(lhs(p[z]),z=0..a)+

Pi*int(rhs(isolate(s[z],x^2)),z=a..sqrt(3)*a));

Поиск по сайту: