|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ЗамечаниеОбратите внимание, что задание пустого списка засечек горизонтальной оси в опции xtickmarks, а также одного значения 0 для засечек по вертикальной оси приводит к вычерчиванию осей координат вообще без засечек с единственной маркированной точкой – началом координат. Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат и параболой , (a > 0). Решение. Прежде всего, выразим уравнение параболы в явном виде и начертим ее график. Из задания параболы ясно, что независимая переменная x должна быть неотрицательной: > f:=sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(a); > f:=rhs(isolate(f,y)); > with(plots): a1:=a: n:=40: f0:=plot(eval(f,a=5),x=0..11,0..7,color=black,thickness=2): f1:=seq(plot([[eval(a1,a=5)/(n-1)*(i-1),0], [eval(a1,a=5)/(n-1)*(i-1), eval(f,[x=eval(a1,a=5)/(n-1)*(i-1),a=5])]]),i=1..n): f2:=plot([[eval(a1,a=5),0]],style=POINT, symbol=DIAMOND, symbolsize=16, color=black): f3:=textplot([0.1,5,"a"],align=RIGHT): f4:=textplot([5,0,"a"],align=BELOW): f5:=textplot([0,7,"y"],align=LEFT): f6:=textplot([11,0,"x"],align=BELOW): display({f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6},xtickmarks=[],ytickmarks=[0]);
Точку пересечения графика параболы с осью абсцисс найдем из решения уравнения: > p:=solve(f,x); Теперь можно вычислить искомую площадь как интеграл: > Int(f,x=0..p)=int(f,x=0..p); Задача 4. Определить площадь фигуры, заключенной между двумя параболами y 2=2 px и x 2=2 py. Решение. Как и в предыдущей задаче, сначала мы построим графики парабол, чтобы выяснить их взаимное расположение: > ff:=y^2=2*p*x; > f:=sqrt(2*p*x); > g:=x^2/2/p; > with(plots): n:=20: f0:=implicitplot(eval(ff,p=1),x=-3..3,y=-3..3,color=black,thickness=2): f1:=plot(eval(g,p=1),x=-3..3,color=black,thickness=2): f2:=seq(plot([[2./(n-1)*(i-1),eval(f,[p=1,x=2/(n-1)*(i-1)])], [2/(n-1)*(i-1),eval(g,[p=1,x=2/(n-1)*(i-1)])]],color=gray),i=1..n): f3:=plot([[2,0],[2,2]],color=black,linestyle=7): f4:=plot([[0,2],[2,2]],color=black,linestyle=7): f5:=textplot([2,0,"2p"],align=BELOW): f6:=textplot([0,2,"2p"],align=LEFT): f7:=textplot([0,5,"y"],align=LEFT): f8:=textplot([3,0,"x"],align=BELOW): f9:=textplot([0,1,"y^2=2px"],align=ABOVE): f10:=textplot([2,0.1,"x^2=2py"],align={ABOVE,LEFT}): display({seq(f||i,i=0..10)},xtickmarks=[],ytickmarks=[0]);
Из рисунка видно, что две параболы пересекаются в двух точках, координаты которых можно определить из решения системы уравнений: > eq1:=y=f;eq2:=y=g; > c:=solve({eq1,eq2},{x,y});
Из полученного множества решений нас, естественно, интересуют только действительные { x =0, y =0} и { x =2 p, y =2 p }, из которых определяется интервал интегрирования для определёния площади фигуры, образованной пересечением конгруэнтных парабол, – [0, 2 p ]. Определённый интеграл от разности функций f и g по этому промежутку и будет равен площади искомой фигуры: > S:=int(f-g,x=0..2*p); > subs(sqrt(p^2)=p,S); Если параметр p > 0, то можно упростить выражение для площади, заменив в нем на p. Кроме вычисления длин дуг кривых и площадей определённый интеграл применяется при вычислении объемов тел вращения, образуемых вращением криволинейной трапеции, ограниченной сверху неотрицательной функцией y = f (x), слева и справа прямыми x = a и x = b (a £ b), а снизу отрезком [ a, b ] оси x, вокруг этой оси. В этом случае объем полученного тела можно вычислить по формуле . Если фигура ограничена и сверху и снизу кривыми y = f (x) и y = g (x), то, очевидно, . Задача 4. Вычислить объем эллипсоидов вращения, образованных вращением эллипса вокруг оси x и оси y. Решение. Нарисуем на плоскости xy заданный в задаче эллипс: > with(plots): f0:=implicitplot(x^2/2^2+y^2/4^2=1,x=-2..2,y=-4..4, color=black,thickness=2,scaling=CONSTRAINED): f1:=textplot([2.1,0,"a"],align={RIGHT,BELOW}): f2:=textplot([-2.1,0,"-a"],align={LEFT,BELOW}): f3:=textplot([0,5,"y"],align=LEFT): f4:=textplot([3,0,"x"],align=BELOW): f5:=textplot([0.1,4.1,"b"],align={ABOVE,RIGHT}): f6:=textplot([0,-4,"-b"],align={BELOW,LEFT}): display({seq(f||i,i=0..6)},xtickmarks=[],ytickmarks=[]);
Для вычисления объема эллипсоида вращения, образованного вращением вокруг оси x, следует найти квадрат координаты y, а потом вычислить в соответствии с приведённой выше формулой определённый интеграл на промежутке [- a, a ]: > ellips:=x^2/a^2+y^2/b^2=1; > isolate(ellips,y^2); > f:=rhs(%); > V[x]=Pi*Int(f,x=-a..a); > V[x]=Pi*int(f,x=-a..a); При вращении эллипса вокруг оси y нам необходимо вычислить определённый интеграл от квадрата координаты x на промежутке [- b, b ]: > isolate(ellips,x^2); > f:=rhs(%); > V[y]=Pi*Int(f,y=-b..b); > V[y]=Pi*int(f,y=-b..b); Задание. Назначить переменным а и b числовые значения, вычислить объёмы эллипсоидов вращения и сравнить их между собой.
Задача 5. Найти объём общей части параболоида вращения 2 az = x 2+ y 2 и сферы x 2+ y 2+ z 2=3 a 2. Решение. Оба тела являются телами вращения относительно оси z, а поэтому и общая их часть также будет телом вращения относительно этой же оси: > g:=plot3d((x^2+y^2)/2/2,x=-4..4,y=-sqrt(16-x^2)..sqrt(16-x^2)): g1:=implicitplot3d(x^2+y^2+z^2=12,x=-4..4,y=-4..4,z=-4..4): display({g,g1},scaling=CONSTRAINED,axes=FRAME, shading=ZHUE,style=WIREFRAME,orientation=[45,70]);
Замечание. Для иллюстрации пересечения параболоида вращения и сферы мы задали значение параметра a равным 2.
Для вычисления объема тела, получаемого пересечением параболоида вращения и сферы, необходимо определить уравнение кривой, вращение которой образует их общую часть. Для этого следует построить сечения заданных тел плоскостью, проходящей через ось z, например, xz: > p:=2*a*z=x^2+y^2; > s:=x^2+y^2+z^2=3*a^2; > p[z]:=subs(y=0,p); > s[z]:=subs(y=0,s); > f0:=implicitplot({eval(p[z],a=2),eval(s[z],a=2)},x=-4..4,z=0..12, color=black,thickness=2,scaling=CONSTRAINED): f1:=plot([[0,2],[sqrt(8),2]],color=black): f2:=textplot([0,2,"a"],align={LEFT}): f3:=textplot([0,sqrt(12)+0.2,"sqrt(3)*a"],align={LEFT,ABOVE}): f4:=textplot([0,5,"z"],align=LEFT): f5:=textplot([5,0,"x"],align=BELOW): f6:=plot([[sqrt(8),0],[sqrt(8),2]],color=black): f7:=textplot([sqrt(8),-0.2,"sqrt(2)*a"],align=BELOW): display({seq(f||i,i=0..7)},xtickmarks=[],ytickmarks=[]); Точки пересечения сечений заданных в задаче тел вращения можно вычислить следующими командами: > subs(x^2=lhs(p[z]),s[z]); > solve(%,z); > z[1]:=%[1]; > x[1]:=simplify(subs(z=z[1],sqrt(lhs(p[z]))),symbolic); Так как параболоид вращения задан только при z ³ 0, то из двух значений z выбирается первое, которое больше нуля. Теперь ясно, что сечение тела вращения, являющегося пересечением параболоида и сферы, представляется параболой 2 az = x 2, пока z принадлежит промежутку [0, a ], и дугой окружности x 2+ z 2=3 a 2, когда z изменяется в интервале [ a, ]. Поэтому объём тела, полученного вращением составной кривой вокруг оси z, представляется суммой двух интегралов: > V=Pi*Int(lhs(p[z]),z=0..a)+ Pi*Int(rhs(isolate(s[z],x^2)),z=a..sqrt(3)*a); > V=simplify(Pi*int(lhs(p[z]),z=0..a)+ Pi*int(rhs(isolate(s[z],x^2)),z=a..sqrt(3)*a)); Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.011 сек.) |