Замечание. Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают

Обратим внимание на то, что собственные значения А и А’ совпадают. Действительно, собственные значения для А’ — это значения .

Таким образом характеристические многочлены матриц совпадают. Размерность , тогда .

Поэтому, если — собственное значение матрицы А, то и является собственным значением матрицы А’, т. е. существует , что (*) или .

Транспонируем (*) и получим (транспонируем это равенство).

В этом случае называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно, называют правым собственным подпространством, — левым собственным подпространством.

Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x₁, x₂, …, x_n и существует n линейно независимых собственных векторов y₁ , y₂,…,y_n, где x₁, x₂, …, x_n такие, что , (1); y₁, y₂,…,y_n такие, что (2), .

Запишем равенство (1) в виде (3).

Если А — простая, то существуют матрицы X и Y, что или (**).

DF

Множества векторов x₁, x₂, …, x_n и y₁, y₂,…,y_n, удовлетворяющие условию , т. е. называются квазиортогональными.

Учитывая равенство (**) и определение, делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и .

Очень важной для матриц является следующая теорема.

Поиск по сайту: