АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Определение f(A) в общем случае

Читайте также:
  1. I. Определение жестокого обращения с детьми.
  2. I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ И ТЕХНИКОЙ
  3. T.5 Определение нормальной скорости распространения пламени и термодинамических параметров
  4. T.5. Определение нормальной скорости распространения пламени и термодинамических параметров.
  5. V. Определение классов
  6. V. Определение основных параметров шахтного поля
  7. V.2 Определение величин удельных ЭДС.
  8. VI. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ПЕРВЕНСТВА
  9. VI. Определение учебной нагрузки педагогических работников, отнесенных к профессорско-преподавательскому составу, и основания ее изменения
  10. VII. Определение установившихся скоростей поезда рассчитанной массы на прямом горизонтальном участке пути при работе электровоза на ходовых позициях.
  11. XI. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОБЕДИТЕЛЕЙ И ПРИЗЕРОВ
  12. А Определение годовых амортизационных отчислений различными способами

Матричный анализ

Функции от матриц

Определение функции

Df

Пусть — функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т. е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f(x) — многочлен: , тогда .

Определение f(A) в общем случае

Пусть m(x) — минимальный многочлен А, и он имеет такое каноническое разложение , , — собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения.

Пусть g(A) = h(A) (1), тогда многочлен d(x) = g(x) - h(x) — аннулирующий многочлен для А, так как d(A) = 0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т. е. d(x) = m(x) * q(x) (2).

Тогда , т. е. (3), , , .

Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать .

Если множество f (Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т. е. из (3) > (2) > (1).

Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т. е. все многочлены gi (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения gi (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т. е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A).

Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A) = g(A).

Df

Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A) = g(A), где g(A) — многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A), .

Df

Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .

Среди многочленов из С [x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающей одинаковые значения на спектре А, что и f(x) — это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x) на минимальный многочлен m(x) = g(x) = m(x) * g(x) + r(x).

Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа – Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)