Інтегрування дробово-раціональних функцій

Розв’язання.

Слід зауважити, що універсальна підстановка в багатьох випадках веде до складних обчислень, тому на практиці здебільшого застосовують інші підстановки, за допомогою яких швидше можна знайти інтеграл, а саме:

Приклад. Знайти інтеграл: .

Розв’язання.

Розглянемо кожен інтеграл окремо:

.

Для знаходження І₂ скористаємося методом інтегрування частинами.

Остаточно матимемо:

Інтегрування дробово-раціональних функцій.

Означення. Раціональним дробом називається дріб вигляду , де Р(х) та Q (х) - многочлени. Раціональний дріб називається правильним, коли степінь Р(х) нижчий степеня Q (х), в протилежному випадку дріб називається неправильним. У неправильному дробі завжди можна виділити цілу частину і зобразити його у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу. Кожний правильний дріб розкладається на суму елементарних раціональних дробів типу:

(m – ціле число, m > 1),

(n – ціле число, n > 1, квадратний тричлен х² + рх +q не має дійсних коренів).

Такий розклад є єдиний, але методи розкладу різноманітні, з яких найбільш уживаний метод невизначених коефіцієнтів. Цей метод ґрунтується на наступному:

1) якщо задано неправильний раціональний дріб, треба виділити з нього цілу частину, тобто привести до вигляду:

= де М(х) – многочлен, а - правильний раціональний дріб;

2) розкласти знаменник дробу на прості множники першого та другого степеня:

де < 0, тобто тричлен не має дійсних коренів;

3) правильний раціональний дріб розкласти на суму елементарних:

обчислити невизначені коефіцієнти А₁, А₂,…, А_m,…, В₁, С₁, В₂, С₂,…, В_n, С_n,…; для цього привести останню рівність до спільного знаменника, а потім порівняти коефіцієнти при однакових степенях х в лівій і правій частинах одержаної тотожності та розв’язати систему лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів. Ці невідомі коефіцієнти можна знайти іншим способом, надаючи в одержаній тотожності змінній х довільних числових значень. В багатьох випадках корисно використовувати обидва способи обчислення невідомих коефіцієнтів.

4) Розглянемо інтегрування елементарних раціональних дробів:

<0.

Спочатку виділяють в чисельнику дробу похідну знаменника, тобто чисельник записують в вигляді:

Тоді:

В першому інтегралі чисельник є похідною знаменника, тому

Перш ніж знайти другий інтеграл, треба перетворити квадратний тричлен в знаменнику, виділивши повний квадрат:

Тоді другий інтеграл зводиться до табличного арктангенса, або “високого” логарифма.

Приклад 1. Знайти інтеграл: .

Зауваження. Якщо квадратний тричлен має вигляд (ax²+bx+c), тоді його треба перетворити так:

і звести знаходження інтеграла до розглянутого раніше інтеграла .

Приклад 2. Знайти інтеграл .

Розкладемо дріб на елементарні дроби.

Зведемо до спільного знаменника вираз у правій частині та прирівняємо чисельники дробів.

Звідки ,

Остаточно отримаємо

.

Зауваження. Інтеграл виду , < 0, n ³ 2 підстановкою зводиться до суми інтегралів:

Перший з цих інтегралів обчислюється безпосередньо, а другий за рекурентною формулою:

Поиск по сайту: