Секущая и ее друзья

Представьте, что вы переходите через трамвайные пути. С одной стороны, они выглядят вполне параллельными и не пересекаются у вас на виду. С другой стороны, вы не дадите голову на отсечение, что они не пересекаются нигде. Ровно о такой ситуации написана вся следующая глава: две прямые, которые то ли параллельны, то ли нет, и третья прямая, которая точно пересекает обе прямые. Первые две прямые называются просто двумя прямыми, а третья называется секущей, очевидно, от радости, что хотя бы с ней все просто и понятно. Очевидно℗, что, пересекая две прямые, секущая образует с ними 8 углов (считая только те, которые меньше 180 градусов):

Помимо того, что здесь есть 4 пары вертикальных и 8 пар смежных углов, для некоторых пар углов при двух прямых и секущей придумали отдельные названия.

Сначала расскажу немного о том, почему они так называются*. Возможно, вы будете смеяться, но многие люди постоянно путают и забывают названия этих углов, поэтому я хочу сделать все, что может увеличить шансы успешного запоминания их названий.

Итак, накрест лежащие — это углы, которые лежат по разные стороны от секущей, но оба либо внутри, либо снаружи относительно двух прямых. Название, видимо, связано с тем, что только эти углы лежат по разные стороны от секущей, а слово «разносторонние» в момент, когда придумывалось это название, то ли не существовало, то ли было не в моде.

С односторонними все просто — они лежат по одну сторону от секущей и оба либо внутри, либо снаружи относительно двух прямых.

Соответственные углы называются так, потому что одинаково расположены относительно пересечений прямых. А еще потому, что если наложить одно пересечение на другое, то они совпадут или почти совпадут. Точно так же при наложении совпадают соответственно равные углы и стороны равных треугольников.

Теперь, когда вы немного привыкли к этой куче углов, время рассказать самое главное — про эти углы есть целых 6 теорем. Проще всего проиллюстрировать суть этих теорем в виде схемы:

Из любого факта слева следует параллельность двух прямых, а из параллельности прямых следуют все три факта слева.

Теперь, когда вы поняли общую картину, я одну за другой сформулирую эти теоремы и докажу их.

Признак параллельности прямых по односторонним углам: если сумма каких-нибудь односторонних углов при двух прямых и секущей равна 180⁰, то эти две прямые параллельны.

Доказательство:

Нам понадобятся:

Теорема о смежных углах ℗.

Следствие из теоремы о внешнем угле треугольника.

Для начала надо осознать, что если сумма хотя бы какой-нибудь пары односторонних углов равна 180⁰, то сумма любых других односторонних углов при данных двух прямых и секущей тоже равна 180⁰ ℗. Теперь докажем от противного, что в этом случае прямые параллельны.

Пусть прямые не параллельны, то есть пересекаются в некоторой точке C, то есть существует треугольник ΔABC, причем по условию ∠CAB+ABC=180⁰. Но такого не может быть, поскольку в любом треугольнике сумма любых двух углов всегда меньше 180⁰ (по следствию из теоремы о внешнем угле треугольника). Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Признак параллельности прямых по накрест лежащим углам: если какие-нибудь два накрест лежащих угла при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.

Доказательство:

Нам понадобятся:

Теорема о смежных углах.

Признак параллельных прямых по односторонним углам.

Пусть какие-либо два накрест лежащих угла равны, назовем их α и β. Как бы они ни располагались, всегда найдется угол γ, смежный с углом α, такой, что β и γ - односторонние углы при тех же двух прямых и секущей.

α=β(по условию), α+γ=180⁰(по теореме о смежных углах) => β+γ=180⁰ => две прямые параллельны (по признаку параллельных прямых по односторонним углам), что и требовалось доказать.

Признак параллельности прямых по соответственным углам: если какие-нибудь два соответственных угла при двух прямых и секущей равны, то эти две прямые параллельны.

Доказательство:

Нам понадобятся:

Теорема о смежных углах.

Признак параллельных прямых по односторонним углам.

Данное доказательство отличается от предыдущего ровно одним словом.

Пусть какие-либо два соответственных угла равны, назовем их α и β. Как бы они ни располагались, всегда найдется угол γ, смежный с углом α, такой, что β и γ - односторонние углы при тех же двух прямых и секущей.

α=β(по условию), α+γ=180⁰(по теореме о смежных углах) => β+γ=180⁰ => две прямые параллельны (по признаку параллельных прямых по односторонним углам), что и требовалось доказать.

Свойство односторонних углов при параллельных прямых и секущей: сумма любых двух односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180⁰.

Доказательство:

Нам понадобятся:

Аксиома о построении угла.

Аксиома о параллельных прямых.

Теорема о смежных углах.

Признак параллельных прямых по односторонним углам.

Мы уже знаем, что нам достаточно доказать то, что сумма хотя бы каких-нибудь двух односторонних углов равна 180⁰ и тогда это будет выполняться для всех остальных пар односторонних углов при данных двух прямых и секущей.

Доказывать будем от противного. Пусть при параллельных прямых a и b и секущей c есть пара односторонних углов α и β, причем α+β≠180⁰. Тогда по аксиоме о построении угла через точку пересечения прямых b и c можно провести такую прямую d, что угол между прямыми c и d будет равен γ=180⁰-α => α+γ=180⁰ => aǁd (по признаку параллельности прямых по односторонним углам). Но тогда получается, что через одну точку проходят две прямые (b и d), параллельные третьей (a), а это противоречит аксиоме о параллельных прямых => прямые b и d совпадают => β=γ=180⁰-α => α+β=180⁰, что и требовалось доказать.

Свойство накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей: если два угла являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей, то они равны.

Доказательство:

Нам понадобятся:

Теорема о смежных углах.

Свойство односторонних углов при параллельных прямых и секущей.

Возьмем любые два накрест лежащих угла при параллельных прямых и секущей; назовем их α и β. Как бы они ни располагались, всегда найдется угол γ, смежный с углом α, такой, что β и γ - односторонние углы при тех же двух прямых и секущей.

β+γ=180⁰(по свойству односторонних углов при параллельных прямых и секущей), α+γ=180⁰(по теореме о смежных углах) => α=β, что и требовалось доказать.

Свойство соответственных углов при параллельных прямых и секущей: если два угла являются соответственными при параллельных прямых и секущей, то они равны.

Доказательство:

Нам понадобятся:

Теорема о смежных углах.

Свойство односторонних углов при параллельных прямых и секущей.

Как и в случае с признаками, данное доказательство отличается от предыдущего ровно одним словом.

Возьмем любые два соответственных угла при параллельных прямых и секущей; назовем их α и β. Как бы они ни располагались, всегда найдется угол γ, смежный с углом α, такой, что β и γ - односторонние углы при тех же двух прямых и секущей.

β+γ=180⁰(по свойству односторонних углов при параллельных прямых и секущей), α+γ=180⁰(по теореме о смежных углах) => α=β, что и требовалось доказать.

Вот и все шесть теорем. Вообще в планиметрии есть два таких «куста» по шесть теорем в каждом: первый мы только что прошли, второй пройдем в течение ближайших нескольких глав.

Задания:

а) Докажите, что если сумма каких-нибудь двух односторонних углов равна 180⁰, то сумма любых других двух односторонних углов при тех же самых прямых и секущей тоже равна 180⁰.

б) Докажите, что если какие-нибудь два накрест лежащих угла равны между собой, то для остальных пар накрест лежащих углов при тех же самых прямых и секущей выполняется то же самое.

в) Докажите, что если какие-нибудь два соответственных угла равны между собой, то для остальных пар соответственных углов при тех же самых прямых и секущей выполняется то же самое.

* - На самом деле, я просто терпеть не могу утверждать что-то на основании авторитета: мол, умные дяди задолго до вас все придумали, а ваше дело — вызубрить. Нет, я вам честно пытаюсь объяснить, почему так, и лучший способ отблагодарить меня за такое отношение — никогда не путать и не забывать названия этих углов.

Поиск по сайту: