О сумме двух углов треугольника

Крепитесь, друзья мои. В следующей главе нас ждет доказательство целых шести теорем. Для того, чтобы все было не так плохо, в этой главе я докажу одну небольшую вспомогательную теорему, которая чем-то похожа на пистолет во многих компьютерных играх: он кажется бесполезным, но до того момента, когда вы найдете крупнокалиберный пулемет, не раз спасет вам жизнь.

Начну с определения:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с одним из углов треугольника.

Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним. Например, для треугольника ABC на рисунке* внешний угол DBC больше каждого из углов ∠ BAC и ∠ BCA.

Доказательство:

Нам понадобятся:

Аксиома о пересечении прямых ℗.

Аксиома о построении отрезка.

Аксиома о величине угла.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Теорема о вертикальных углах.

Теорема о смежных углах (не нужна для доказательства самой теоремы, но используется при доказательстве следствия из нее).

Докажем например, что ∠ BCA меньше ∠ DBC. Очевидно, что неравенство ∠BAC < ∠ DBC можно будет доказать аналогичным образом.

Пусть Е — середина стороны BC. Проведем прямую AE и построим на ней точку F таким образом, чтобы точка E лежала на отрезке AF и выполнялось равенство AE=EF. По аксиоме о построении отрезка такая точка F существует, причем ровно одна. Очевидно**℗, точка F лежит внутри угла DBE, следовательно, луч BF делит угол DBC на два угла, причем по аксиоме о величине угла ∠DBC=∠DBF+∠EBF.

Углы ∠BEF и ∠AEC — вертикальные, следовательно, по теореме о вертикальных углах они равны. ∠BEF=∠AEC, BE=CE (по построению), AE=EF(по построению) => ΔBEF=ΔCEA (по двум сторонам и углу между ними) => ∠EBF=∠ECA (по определению равных треугольников).

∠EBF=∠ECA, ∠DBC=∠DBF+∠EBF => ∠DBC=∠DBF+∠ECA => ∠DBC>∠ECA, что и требовалось доказать.

У этой теоремы есть важное следствие: поскольку ∠ACB<∠DBC (по только что доказанной теореме), а ∠ABC+∠DBC=180⁰ (по теореме о смежных углах), то ∠ABC+∠ACB<180⁰. Аналогично можно доказать то же самое для любых двух углов любого треугольника. Следовательно, в любом треугольнике сумма любых двух углов меньше 180⁰.

* - Мы уже дошли до доказательств той степени сложности, где отсутствие хоть какого-то чертежа является чрезмерной жестокостью по отношению к читателю. А я тщательно слежу за тем, чтобы читатель страдал в меру. Можете не благодарить.

** - Привыкайте, что в переводе с математического языка слово «очевидно» означает «могу доказать». Действительно, могу, но сделаю это не здесь, а в конце учебника в разделе «для особо извращенных умных». В дальнейшем я буду обозначать символом ℗ те утверждения, которые можно и нужно доказывать, но в интересах душевного благополучия большинства читателей я делаю это в отдельном разделе. Таким же символом я буду отмечать «ингредиенты» теоремы, которые нужны только для доказательства этих утверждений.

Поиск по сайту: