свойства»

Доклад.

На тему: «Элементарные функции и их

свойства».

Подготовила ученица 9 «б» класса

Оруджева Альбина.

2013-2014гг

Функция, и её свойства:

График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента, а ординаты — соответствующими значениями функции.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению
х соответствует единственное значение у.

Переменная х - независимая переменная или аргумент.

Переменная у - зависимая переменная

Значение функции - значение у, соответствующее заданному

значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая
переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые
принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения
функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной - если для любого х из области определения
функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2,
выполняется неравенство f(х1)<f(х2)

Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2,
выполняется неравенство f(х1)>f(х2)</f(х2)

Способы задания функции:

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для
каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.
Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью
формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком
случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана
аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При
этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для
имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания
функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Элементарные функций и их свойства:

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у = b, где
b-некоторое число.

Графиком постоянной функции у=b является прямая,
параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат.

Свойства:

1)Функция неограниченна

2)Область определения все действительные числа

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у = kx.

Cвойства функции y=kx:

1)Область определения функции - множество всех действительных чисел
2) нечетная функция
3)При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3) Линейная функция - функция, которая задана формулой y=kx+b, где k
и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную
функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx. Для построения графика достаточно 2 точек.

Свойства функции y=kx+b:
1)Область определения - множество всех действительных чисел

2)Область значения функции- множество всех действительных чисел

3) ни чётна, ни нечётна.

4)При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

 

 

 

4)Квадратичная функция. Это функция: y = ax ² + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае: b = c = 0 и y = ax ². График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат (рис.11). Каждая парабола имеет осьсимметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

Свойства функции(при х >0):

1)Х- независимая переменная

2)Область определения (-∞; +∞)

3)Область значения [0;+∞)

4) Ограничена снизу

5) Непрерывна

6)Убывает на (-∞; 0]; возрастает на [0;+∞)

7) Выпуклая вниз

8)Координаты вершины параболы: .

 

 

 

Свойства функции y = ax ² + bx + c (при х<0)

 

1)Область определения (-∞; +∞)

3)Область значения (-∞; 0]

4) Ограничена сверху

5) Непрерывна

6) Выпуклая вверх

7) Возрастает на (-∞; 0]; убывает на [0;+∞)

 

 

 

5) Обратная пропорциональность - функция, заданная формулой y ,где х ≠ 0

Свойства функции y = :

1)Область определения - множество всех действительных чисел, кроме нуля

2)Область значения функции - множество всех действительных чисел, кроме нуля
3)Нечетная функция

4)Функция неограниченна.
5)Если k>0, то функция убывает.(график расположен в I и III координатной четверти). Если k<0, то функция возрастает(график расположен во II и IV координатной четверти)
6)Графиком функции является гипербола.

7) у наиб. и наим. не существуют

8)при k>0: выпуклая вниз (-∞; 0); выпуклая вверх (0; +∞);

При k<0: выпуклая вверх (-∞; 0); выпуклая вниз (0; +∞)

 

6)

Степенная функция. Это функция: y = axn, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу;при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат.

 

 

А) Функция y = x²

Свойства функции y=x² (n-чётное,х>0)

1)Область определения - вся числовая прямая

2)Область значения- [0; +∞)

3) четная функция

4)На промежутке [0;+(∞) функция возрастает

5)На промежутке (-∞);0] функция убывает

6)Графиком функции является парабола.

7) Выпуклая вниз

8) наиб. У не существует, у наим.= 0

9) непрерывная

Б) Функция y = -x²

Свойства функции y = -x² (n-чётное, х <0)

1)Область определения - вся числовая прямая

2)Область значения- (-∞; 0]
3) четная функция
4)На промежутке [0;+∞) функция убывает
5)На промежутке (-∞;0] функция возрастает
6)Графиком функции является парабола.

7)Выпуклая вверх

8) наим. У не существует, у наиб.= 0

9) непрерывная

в) Функция y=x³ (n- нечётное, х>0)
Свойства функции y=x³:

1)Область определения - вся числовая прямая

2)Нечетная функция

3)Функция возрастает на всей числовой прямой

4)Графиком функции является кубическая парабола

5) График расположен в I и III координатной плоскости

6) Непрерывная

7) Неограниченная

8) наиб. и наим. у не существует

Г) Функция y = -x³ (n- нечётное, х<0)

Свойства функции y=-x³:

1)Область определения; область значения - вся числовая прямая
2)Нечетная функция
3)Функция убывает на всей числовой прямой
4)Графиком функции является кубическая парабола

5) График расположен во II и IV координатной плоскости

6) Непрерывная

7) Неограниченная

8) наиб. и наим. у не существует

9) выпуклая вниз на (-∞;0); выпуклая вверх на (0; +∞)

Д) Функцияу = х ^-2

Свойства функции:

1)Область определения (-∞;0)U(0; +∞)

2)Область значений (0; +∞)
3)Четная функция
4)Функция возрастает на (-∞; 0); убывает на (0; +∞)

5) Графиком является гипербола
6) График расположен в I и IV координатной плоскости

7) Непрерывная на области определения

8) Ограниченная снизу

9) наиб. и наим. у не существует

10) выпуклая вниз на (-∞;0) U (0; +∞)

Е) Функция у = х ^-n (у=х ^-3)

(n –нечетное, х>0)

Свойства функции:

1)Область определения (-∞;0)U(0; +∞)

2)Область значений (-∞;0)U(0; +∞)
3)Нечетная функция
4)Функция убывает

5) Графиком является гипербола
6) График расположен в I и III координатной плоскости

7) Непрерывная на области определения

8) Не ограниченная

9) наиб. и наим. у не существует

10) выпуклая вниз на (0; +∞), выпуклая вверх (-∞;0)

Ж) Функция у = х ^-n (у=х ^-3)

(n –нечетное, х<0)

Свойства функции:

1)Область определения (-∞;0)U(0; +∞)

2)Область значений (-∞;0)U(0; +∞)
3)Нечетная функция
4)Функция возрастает

5) Графиком является гипербола
6) График расположен во II и IV координатной плоскости

7) Непрерывная на области определения

8) Не ограниченная

9) наиб. и наим. у не существует

10) выпуклая вниз на (-∞;0), выпуклая вверх на (0; +∞)

7) Функция у = IхI

Свойства функции:

1)Область определения (-∞; +∞)

2)Область значений [0; +∞)
3)Четная функция
4)Функция убывает на (-∞;0); возрастает на (0; +∞)
5) График расположен в I и IV координатной плоскости

6) Непрерывная

7) Ограничена снизу

8) наиб. у не существует, наим. У=0

8) Функция у = - IхI

Свойства функции:

1)Область определения (-∞; +∞)

2)Область значений (-∞;0]
3)Четная функция
4)Функция убывает на(0; +∞); возрастает на (-∞;0)

5) График расположен во II и III координатной плоскости

6) Непрерывная

7) Ограничена сверху

8) наим. у не существует, наиб. У=0

9) Функция у =

10) Функция у = -

11) Функция у =