 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Рудаченко С.В., Рудаченко Т.В.
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Методические указания по выполнению
графической работы
«Пересечение плоскостей»
для студентов 1 курса специальностей и направлений:
240500 — Эксплуатация судовых энергетических
установок,
240600 — Эксплуатация электрооборудования и
автоматики судов,
100100— Электрические станции,
100500 — Тепловые электрические станции
ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Содержание работы- 2
2. Методы построения линии пересечения плоскостей-2
3. Последовательность выполнения работы - 11
Приложение - 18
Литература - 19
Калининград
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В каждом варианте задания указаны:
- координаты шести точек;
- способ задания плоскостей;
- вид аксонометрической проекции.
Варианты заданий приведены в файле «Задания.Doc».
Требуется решить следующие задачи:
а) по заданным координатам первых трех точек построить треугольник АВС — первая плоскость. По заданным координатам остальных трех точек и способу задания построить вторую плоскость (треугольник, две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые, следы);
б) построить линию пересечения двух плоскостей и составить алгоритм решения данной задачи;
в) построить горизонтальный и фронтальный следы линии пересечения плоскостей;
г) определить видимость плоскостей;
д) перечисленные пункты (а-г) выполнить в заданной аксонометрической проекции.
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ
Две плоскости пересекаются по прямой линии. Эта линия определяется двумя точками, принадлежащими обеим плоскостям. Для нахождения таких точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но суть этих построений можно прояснить в случае, когда одна из плоскостей перпендикулярна к какой-либо плоскости проекций. Рассмотрим такой случай [1].
На Рис.1 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна плоскость (заданная треугольником DEF) расположена перпендикулярно к плоскости π2. Так как треугольник DEF проецируется на плоскость π2 в виде прямой линии(DIIFII), то фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются оба треугольника, представляет собой отрезок К1II К2II на линии DIIFII. Дальнейшее построение ясно из чертежа.
Рис. 1
На рис.2 горизонтальнопроецирующая плоскость a,заданная следами, пересекает плоскость треугольника АВС. Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей - отрезок 1I2I определяется на следе hoaI.
Рис. 2
Вопрос о видимости линий всегда можно свести к вопросу о видимости точек [1].
Если несколько точек расположены на общей для них проецирующей прямой, то видимой будет только одна из них:
а) по отношению к пл. П1 - Точка, наиболее удаленная от П1;
б) по отношению к пл. П2 - Точка, наиболее удаленная от П2;
в) по отношению к пл. П3 - Точка, наиболее удаленная от П3;
Рассмотрим рис.3. Точки 1 и 2 двух скрещивающихся прямых расположены на общей для них проецирующей прямой, перпендикулярной к пл. П2, а точки З и 4- на проецирующей прямой, перпендикулярной пл. П1.
Рис. 3
Точка пересечения горизонтальных проекций данных прямых представляет собой слившиеся проекции двух точек, из которых точка 4 принадлежит прямой АВ, а точка З - прямой СD. Так как 3II 3I> 4II 4I, то видима относительно пл. П1 точка 3, принадлежащая прямой СD, а точка 4 закрыта точкой З. Так же и точка пересечения фронтальных проекций прямых АВ и СD представляет собой слившиеся проекции двух точек 1 и 2, из которых точка 1 принадлежит прямой АВ, а точка 2 - прямой СD. Так как 1I1II >2I2II, то видима относительно пл. П2 точка 1, закрывающая собой точку 2.
Рассмотрим теперь общий случай построения линии пересечения двух плоскостей (метод вспомогательных секущих плоскостей).
Пусть одна из плоскостей, β, задана двумя пересекающимися прямыми, а другая, γ - двумя параллельными прямыми (рис. 4). В результате взаимного пересечения плоскостей β и γ получена прямая К1 К2.
Для определения положения точек К1 и К2 используем две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости (a1 и a2), пересекающие каждую из плоскостей β и γ. При пересечении плоскостей β и γ с плоскостью a1 получаем прямые с проекциями 1II 2II и 3II 4II. Затем определяем горизонтальные проекции этих прямых - 1I 2I и 3’ 4’. Эти прямые в своем пересечении определяют первую точку линии пересечения плоскостей β и γ - точку К1.
Рис.4
Введя, далее, плоскость a2, получаем в ее пересечении β и γ прямые с проекциями 5II 6II (5’ 6’), 7II 8II (7I 8I). Эти прямые в своем пересечении определяют вторую точку, К2, общую для β и γ.
Получив горизонтальные проекции К1I и К2I, находим на следах fIIОa1 и fIIоa2 проекции К1II и К2II. Этим определяются проекции К1I К2I, искомой прямой пересечения плоскостей β и γ (проекции проведены штрихпунктирной линией).
Алгоритм решения данной задачи:
1. a1 ┴ П2
2. (1,2) = a1 ∩ β (АВ ∩ ВС) /\ (3,4) = a1 ∩ γ (ED || GF)
з. К1 = (1,2) ∩ (3,4)
4. a2 ┴ П2 /\ a2 || a1
5. (5,6) = a2 ∩ β (АВ ∩ ВС) /\ (7,8) = a2 ∩ γ (ED || GF)
6. К2 = (5,6) ∩ (7,8)
7. (К1, К2) = β ∩ γ
Если плоскости заданы их следами на плоскостях
проекций (Рис.5), то естественно искать точки, определяющие прямую пере-
сечения плоскостей, в точках
пересечения одноименных
следов плоскостей: прямая,
проходящая через эти точки,
является общей для обеих
плоскостей, то есть их линией пересечения.
Схему построения линии
пересечения двух плоскостей (Рис. 4) можно распространить и на случай задания плоскостей их следами.
Здесь роль вспомогательных
секущих плоскостей выпол -
Рис.5 няют сами плоскости проекций.
Алгоритм:
1. hIОa = a ∩ П1 hIОβ = β ∩ П1
2. М = hIОa ∩ hIОβ
3. fIIОa = Σ ∩ П2 fIIОβ = β ∩ П2
4. N = fIIОa ∩ fIIОβ
5. (M, N) = a ∩ β
Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей a и β (рис. 5) надо: 1) найти точку МI в пересечении
следов hIОa и hIОβ ‘ и точку NII в пересечении fIIОa и fIIОβ; 2) провести прямые линии МI NI и МII NII.
При нахождении линии пересечения двух плоскостей (рис.4) вспомогательные секущие плоскости можно провести и через прямые, принадлежащие одной из плоскостей ( например, АВ, ВС или ED, GF), и найти точки пересечения с другой плоскостью.
Следовательно, надо уметь строить точку пересечения прямой линии с плоскостью общего положения. Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения надо выполнить следующее [1]:
1) через данную прямую провести некоторую вспомогательную плоскость;
2) построить прямую, пересечения данной и вспомогательной плоскостей;
3) определить положение точки пересечения прямых - данной и построенной.
На рис.6 показано построение точки пересечения прямой DЕ с плоскостью a, заданной треугольником АВС. Через прямую DЕ проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость γ. По точкам 1I и 2I найдены фронтальные проекции 1II и 2II’ и тем самым определена прямая (1,2), по которой вспомогательная плоскость γ пересекает плоскость a, заданную треугольником АВС. Затем найдена точка КII, в которой фронтальная проекция прямой пересекает фронтальную проекцию 1II 2II. После этого остается найти горизонтальную проекцию точки пересечения - КI.
Поиск по сайту: