Зенон Элейский

Введение

Апори́и Зено́на (от др.-греч.трудность) — внешне парадоксальные рассуждения на тему о движении и множестве, автором которых является древнегреческий философ Зенон Элейский (V век до н. э.). Современники упоминали более 40 апорий Зенона, до нас дошли 9, обсуждаемые в «Физике» и в других трудахАристотеля, в комментариях Симпликия, Филопона и Фемистия к Аристотелю; одна апория из этих 9 приводится также у Диогена Лаэртского, апории о множестве обсуждаются в диалоге Платона «Парменид». Комментатор Элиас сообщает, что Зенон высказал 40 рассуждений (эпихейрем) о множестве и пять — о движении.

Исследование парадоксов Зенона лучше всего начать со знакомства с истории интерпретации его аргументов, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними проблем и позволит найти собственный путь к разрешению загадок Зенона. Для этого требуется определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах или более убедительных предположениях.

Дошедшие до нас апории Зенона можно подразделить на две группы: в одних «опровергается» существование «многого», причем «многое» понимается как актуально существующая, то есть заданная всем набором своих элементов, некоторая полная, завершенная совокупность; в других вскрываются противоречия, связанные с отображением движения в логике понятий. Однако и те, и другие тесно связаны между собой.

Как показывает личный опыт, апории Зенона — идеальный тест на самостоятельность мышление. Мало того, его, как правило, не проходят именно обладатели технических дипломов и степеней, называя Зенона софистом. Потому что они привыкли оперировать четкими определениями, установленной формализацией и т.д. А апории Зенона — это тот самый гносеологический кошмар, который зрит в самый корень и ставит под сомнение любую формализацию и любые термины. Они требуют мышления, не отягощенного догмами, т.е. самостоятельного мышления. Они показывают разницу между знаниями и разумом, начитанностью и умом.

Апории Зенона неразрешены и поныне. Причем современные издания, в отличие от советских, с этим соглашаются: “А[пории] теперь признаются подлинными парадоксами, связанными, в частности, с описанием движения”[1]

Другое дело, что принятие основных выводов философии элеатов (терминологические расхождения не в счет) происходит в науке неосознанно. Далеко не все физики и математики даже слышали о Пармениде, хотя, быть может, имя Зенона им более известно. Современная наука взяла на вооружение главный тезис элеатов, состоящий в противопоставлении чувственного знания и знания умопостигательного. Желая описать при помощи математики какое-либо явление природы, ученые меньше всего склонны при этом обращать внимание на соответствие принятых теоретических допущений данных восприятия и даже эксперимента. Например, допущение в современной математике и физике бесконечных структур, весьма проблематичных с точки зрения эмпирического оправдания, приобрело поистине повальный характер. Так, время сплошь и рядом отождествляют с множеством действительных чисел, количество которых не только бесконечно, но и несчетно. Явно дискретная структура нашего опыта никак не сказывается на масштабах применения в физике непрерывных образований (вроде только что упоминавшейся действительной прямой) и т. д. — количество примеров легко умножить...

Разумеется, мало сказать, что апории неразрешимы. Куда более интересно проследить за рассуждениями авторов различных статей и за тем, какие глобальные вопросы выросли из незамысловатых апорий. Оказалось, что ни математика, ни физика, ни другая наука не могут обезвредить элеатских парадоксов. Наоборот, сами апории и вытекающие из них вопросы постоянно требуют пересмотра уже устоявшейся формализации. И для разрешения апорий необходимо разрешить основополагающие вопросы: чтó собой представляет мироздание — бытие или становление? чтó такое бесконечность? дискретен мир или непрерывен? как разрешить проблемы пространства и времени? и т. д.

«Нашей целью будет не реконструкция зеноновских аргументов, а стремление понять с точки зрения современной науки, на какие реальные трудности в анализе движения указал Зенон Элейский. Именно указал, поскольку о попытке приписать непосредственно Зенону современную постановку проблем движения не может быть и речи. Кстати говоря, эта постановка в логико-философской литературе не отличается единством. Нередко ответственность за парадоксы движения возлагается на неточность и размытость используемых понятий. Уточним понятия — парадоксы исчезнут. Мы с этим не согласны. Апории Зенона касаются самих основ человеческого миропонимания. Они требуют не просто уточнения понятий, а выбора философской платформы объяснения реальности. Поскольку дело построения таких платформ не может быть завершено, пока существует мыслящий разум, на выборе одной из них лежит печать неизбежной исторической ограниченности. Сказанное, разумеется, в полной мере относится и к построениям в данной статье. Но сегодня, несомненно, мы понимаем и знаем больше, чем два с половиной тысячелетия назад, а завтра, возможно, удастся продвинуться вперед еще дальше»

Апории Зенона Начнем рассмотрение зеноновских затруднений с апорий о движении. Ахилл и черепаха. Ахилл — герой и, как бы мы сейчас сказали, выдающийся спортсмен. Черепаха, как известно, одно из самых медлительных животных. Тем не менее Зенон утверждал, что Ахилл проиграет черепахе состязание в беге. Примем следующие условия. Пусть Ахилла отделяет от финиша расстояние 1, а черепаху — ½. Двигаться Ахилл и черепаха начинают одновременно. Пусть для определенности Ахилл бежит в 2 раза быстрее черепахи. Тогда, пробежав расстояние ½, Ахилл обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолеть отрезок ¼ и по-прежнему находится впереди героя. Далее картина повторяется: пробежав четвертую часть пути, Ахилл увидит черепаху на одной восьмой части пути впереди себя и т. д. Следовательно, всякий раз, когда Ахилл преодолевает отделяющее его от черепахи расстояние, последняя успевает уползти от него и по-прежнему остается впереди. Таким образом, Ахилл никогда не догонит черепаху. Начав движение, Ахилл никогда не сможет его завершить.

Древние греки не могли себе представить завершенную бесконечную совокупность. Поэтому вывод Зенона о том, что движение из-за необходимости “пересчитать” бесконечное число точек не может закончиться, еще тогда произвел большое впечатление. На схожих аргументах основывается апория о невозможности начать движение.

Суть проблемы заключается в интеграции бесконечного количества частей, а наука — математический анализ, в частности — рассматривает только дифференциацию уже определенной, а значит, и актуализированной бесконечности: целое уже дано и остается только делить его на части; в то время как Зенон задается вопросом, а как это целое из таких частей составить (а уже потом пробовать его делить)? Получается, само решение возможно только при завершении процесса, т. е., по сути, возможно только при актуальной бесконечности. При потенциальной бесконечности, т. е. при условиях, заданных Зеноном, первые две апории (Ахилл и Дихотомия) неразрешимы. Но ведь условия, заданные Зеноном, безупречны с точки зрения логики. Посылка может быть либо ложной, либо универсальной. Ложность посылки никто не утверждает. Но если она универсальна, то вывод логически верен, ибо обратное утверждение противоречит универсальности посылки, что абсурдно. А потому утверждение, что ошибка Зенона якобы заключается в том, что предел бесконечной последовательности не является членом этой последовательности, есть не утверждение ошибки Зенона, но как раз его правоты: действительно, предела “догнал” в рассуждениях Зенона не получается. Логически все безупречно.

Впрочем, при рассмотрении проблем, связанных с апорией Ахилл и черепаха, пришлось встретиться со следующим аргументом: “У нас в условии апории произведено деление на бесконечное число частей. Поэтому то, что мы не можем указать, на каком конечном этапе бегун догонит черепаху, не может служить основанием для утверждения о том, что он не догонит ее за бесконечное число этапов. Доказательство от противного здесь не применимо, мы не можем доказать, исходя из посылок, ни справедливость утверждения, ни справедливость отрицания. Кажущееся логичным рассуждение о том, что раз бегун не догоняет черепаху на конечном числе этапов (мы не можем указать конечный этап, на котором он ее догонит), то он не догонит ее и на бесконечном числе, является порочным кругом: доказывается ровно то утверждение, что кладется в основу”. Т. е. ставится под сомнение закон исключенного третьего, дающий основание доказательству от противного (что, кстати, само по себе уже ставит рассуждения Зенона в ряд парадоксов). Но ведь аналогичным путем в математике постулируются сходящиеся суммы: никто не может прямым путем доказать того, что они не превысят своего предела, это доказывается от противного. На каждом из этапов Ахилл не догоняет черепаху, причем число этих этапов потенциально бесконечно. А потому мы не только не можем указать конечный этап, на котором Ахилл догонит черепаху, мы знаем, что такой этап невозможен, ибо противоречит посылке. И здесь нет никакого порочного круга как логической ошибки, здесь именно “доказывается ровно то утверждение, что кладется в основу”. Circulus vitiosus как ошибка возможен при условном допущении посылки, а в апории посылка — бесспорна. При этом всякая логика тавтологична, если верна, и выводит ровно то, что в нее заложили. Т. е. мы снова возвращаемся к тому, с чего и начали: для опровержения апории необходимо опровергнуть посылку, а она-то как раз и неоспорима.

Другой небезынтересный аспект — тривиальность самой апории Ахилл и черепаха: речь всегда идет о догоняющем Ахилле, а догоняющий (потенциальная бесконечность), разумеется, — и не догнал. Но, с другой стороны, если, как в математическом анализе, уже “дано” (актуальная бесконечность), то и говорить не о чем — апория разрешается, фактически, путем постулирования наличия решения. Но такое “решение” не менее тривиально рассуждений Зенона. Беда в том, что тривиальны оба варианта, и выходит, что в обоих случаях мы получаем ровно то, что постулируем. Но нетривиальность данной апории в том, что Зенон показывает невыводимость актуальной бесконечности из потенциальной. В то же самое время из опыта мы знаем, что догоняющий, если он быстрее, становится догнавшим и перегнавшим. И проблема описания движения в апории Ахилл и черепаха остается — во всяком случае, до тех пор, пока не будет постулирована дискретность пространства-времени.

Поистине удивительно, как разум может запутывать себя в догматическом нежелании признать свою слабость: “всегда (черепаха впереди)”, “никогда (Ахилл не догонит)” — не значит бесконечное течение времени. Согласно апориям, и время не превысит своего предела. А парадокс не опровергается его констатацией. Констатацией он как раз утверждается. К сожалению, многих настолько приучили опровергать путем приведения к противоречию, что они и сами противоречия (парадоксы) готовы “опровергать” подобным же образом. Ведь можно переформулировать апорию следующим образом: “Никогда не пройдет одна секунда, ибо когда пройдет полсекунды, останется полсекунды, когда пройдет половина полсекунды (¼), останется ¼ секунды...” и т. д. Как же действительно опровергается парадокс? Он опровергается демонстрацией того, за счет чего он существует. Т. е. необходимо указать принципиально неверное утверждение в рассуждениях Зенона, а не демонстрировать путем других рассуждений или эмпирики, что Зенон пришел к противоречию — Зенон об этом и сам прекрасно знал и сам же об этом говорил. Наконец, формулировку апории можно изменить, не меняя ее сути: “Самый быстрый бегун не сможет догнать самого медленного (хотя при этом он не будет прекращать движения), ибо догоняющий должен прежде достичь того места, откуда сдвинулся убегающий, так что более медленный будет впереди”.

Действительно, апория Ахилл и черепаха известна нам прежде всего в формулировке Аристотеля: “Самый быстрый бегун никогда не догонит самого медленного, т. к. догоняющий должен прежде достичь того места, откуда сдвинулся убегающий, так что более медленный всегда будет чуть впереди”. На это оппоненты Зенона, как правило, возражают: “Почему это “всегда будет чуть впереди”? Пусть скорость первого — 10 м/с, второго — 5 м/с, начальная дистанция между ними — 5 м. Тогда через 2 секунды более быстрый бегун будет на 5 м впереди, следовательно, слово “всегда” неверно”.[2]

Дихотомия. Рассуждения очень простое. Для того, чтобы пройти весь путь, движущееся тело сначала должно пройти половину пути, но чтобы преодолеть эту половину, надо пройти половину половины и т. д. до бесконечности. Иными словами, при тех же условиях, что и в предыдущем случае, мы будем иметь дело с перевернутым рядом точек: (½)n,..., (½)3, (½)2, (½)1. Если в случае апории Ахилл и черепаха соответствующий ряд не имел последней точки, то в Дихотомии этот ряд не имеет первой точки. Следовательно, заключает Зенон, движение не может начаться. А поскольку движение не только не может закончиться, но и не может начаться, движения нет. Существует легенда, о которой вспоминает А. С. Пушкин в стихотворении «Движение»:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей

Другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами солнце ходит,

Однако ж прав упрямый Галилей.

Действительно, согласно легенде, один из философов так и “возразил” Зенону. Зенон велел быть его палками: ведь он не собирался отрицать чувственное восприятие движения. Он говорил о его немыслимости, о том, что строгое размышление о движении приводит к неразрешимым противоречиям. Поэтому, если мы хотим избавиться от апорий в надежде, что это вообще возможно (а Зенон как раз считал, что невозможно), то мы должны прибегать к теоретическим аргументам, а не ссылаться на чувственную очевидность.

Апория Ахилл основывается на тезисе о невозможности завершить движение из-за необходимости посетить последовательно каждую из точек бесконечного ряда, упорядоченного по типу ω (т. е. по типу порядка на натуральных числах), который не имеет последнего элемента. В свою очередь Дихотомия утверждает невозможность начала движения из-за наличия бесконечного ряда точек, упорядоченных по типу ω* (так упорядочены целые отрицательные числа), который не имеет первого элемента.

Проанализировав более тщательно две приведенные апории, мы обнаружим, что обе они опираются на допущение о непрерывности пространства и времени в смысле их бесконечной делимости. Такое допущение непрерывности отличается от современного, но имело место в древности. Без допущения тезиса о том, что любой пространственный или временной интервал можно разделить на меньшие по длине интервалы, обе апории рушатся. Зенон прекрасно это понимал. Поэтому он приводит аргумент, исходящий из принятия допущения о дискретности пространства и времени, т. е. допущения о существовании элементарных, далее неделимых, длин и времен.

Получается в итоге, что трудности, связанные с апориями Ахилл и Дихотомия, остались не преодоленными. Другое дело апория Стадий, которая оставляет надежду на положительное разрешение проблемы движения в дискретном случае. Однако у Зенона есть апория против движения, которая вообще не связана ни с трудностями оперирования с бесконечностью, ни с вопросом о непрерывности или дискретности пространства и времени. Это апория Летящая стрела. Формулируется она очень просто. В каждый момент полета стрела занимает определенное место и покоится в нем. В противном случае придется допустить, что за мгновение стрела способна изменить свое местоположение, что нелепо. Следовательно, движение стрелы есть сумма состояний покоя, т. е. стрела не движется.

Суть затруднения в том, что, согласно Зенону, движение тела означает изменение его местоположения. За мгновение времени никаких изменений в местоположении тел произойти не может. Но поскольку время слагается из мгновений, в каждой из которых все тела покоятся, движения нет. Отметим, что это рассуждение нельзя опровергнуть ссылкой на то, что движущееся тело обладает отличной от нуля мгновенной скоростью, как это иногда думают. Рассмотренное представление движения имеет статический характер. Оно полностью подобно изображению движения при помощи кинематографии. Как известно, изображение движения на киноленте складывается из отдельных кадров, на которых все неподвижно. Но если прокрутить эту ленту со скоростью 24 кадра в секунду, возникает иллюзия движения. Теперь представим себе, что количество кадров ленты несчетно, и что все они упорядочены так же, как и действительные числа, в результате чего каждому моменту времени соответствует один кадр. В итоге мы получим как раз ту картину движения, которая сводит его к сумме состояний покоя (отдельных кадров), расположенных непрерывным образом (в отличие от реальных кинолент). Но именно так и описывается движение в современной физике. Выдающиеся ученые чувствовали это. Например, такой тонкий аналитик, как Б. Рассел, фактически прямо признал то, что Зенон отрицал в качестве парадокса: “... мы живем в неизменном мире и... стрела в каждый момент своего полета фактически покоится”, однако, согласно Расселу, данное обстоятельство не мешает признавать наличие движений и изменений в том смысле, что в разные моменты времени мир находится в разных состояниях.

Разумеется, раздавались голоса против такого статического подхода к описанию времени и движения в современной науке. Одним из критиков был философ-интуитивист А. Бергсон. Он настаивал на том, что необходимо различать описание результатов движения и описание движения как особого процесса или акта. По мнению Бергсона, наука в принципе не способна постичь движение как процесс или акт:

“... Если во времени механика постигает лишь одновременность, то в движении — только неподвижность.

Можно было бы предвидеть этот результат, если вспомнить, что механика по необходимости оперирует с уравнениями, а алгебраическое уравнение всегда выражает совершившийся факт. Между тем сама суть длительности и движения, какими они предстают нашему сознанию, заключается в процессе непрерывного становления; алгебра же может выражать в своих формулах результаты, полученные в определенный момент длительности, и положение, занимаемое в пространстве движущимся телом, но она не в состоянии выразить саму длительность и само движение”.

В случае движения мы “имеем дело не с вещью, но с процессом”, поэтому “в движении следует различать два элемента: пройденное пространство и действие, посредством которого тело проходит его”. Обращаться с этими элементами нужно по-разному. Например, “делить можно вещь, но не акт”. Зенон же, по мнению Бергсона, смешивает процесс движения, каждый акт которого неделим, с бесконечно делимым пространством.[3]

Принятие основных выводов философии элеатов (терминологические расхождения не в счет) происходит в науке неосознанно. Далеко не все физики и математики даже слышали о Пармениде, хотя, быть может, имя Зенона им более известно. Современная наука взяла на вооружение главный тезис элеатов, состоящий в противопоставлении чувственного знания и знания умопостигательного. Желая описать при помощи математики какое-либо явление природы, ученые меньше всего склонны при этом обращать внимание на соответствие принятых теоретических допущений данных восприятия и даже эксперимента. Например, допущение в современной математике и физике бесконечных структур, весьма проблематичных с точки зрения эмпирического оправдания, приобрело поистине повальный характер. Так, время сплошь и рядом отождествляют с множеством действительных чисел, количество которых не только бесконечно, но и несчетно. Явно дискретная структура нашего опыта никак не сказывается на масштабах применения в физике непрерывных образований (вроде только что упоминавшейся действительной прямой) и т. д. — количество примеров легко умножить...

Вряд ли в данном случае стоит разделять оптимизм А. М. Анисова, поскольку о пространстве и времени, а следовательно, и о движении мы знаем отнюдь не больше, чем древние греки. Научные теории, которые, как правило, дают нам новые знания, давным-давно отошли от проблемы движения и со времен Галилея движением называют “продвинутость”. Сама же проблема движения осталась за рамками науки.

Увы, и апелляция к интуиции совершенно не дает нам разрешения проблемы движения. Так, М. Мерло-Понти в своей работе «Пространство» пишет: “Пытаясь мыслить движение и разрабатывая его философию, мы незамедлительно попадаем под влияние критической установки, направленной на проверку истины. Мы спрашиваем себя, что же в действительности дано нам в движении; мы готовы отвергнуть явления, чтобы постичь истину движения, не осознавая, что именно эта установка редуцирует феномен и противостоит нашему желанию охватить его, поскольку она вводит вместе с понятием истины в себе такое предположение, которое способно скрыть от нас генезис движения. Предположим, что я бросаю камень. Он пролетает над садом. На мгновение он становится удаляющимся предметом, напоминающим метеор, а затем, когда падает на землю на некотором расстоянии, вновь становится камнем. Если я хочу “ясно” помыслить этот феномен, то его необходимо разложить на составные части. Я должен предположить, что сам камень реально в движении не изменяется. Поскольку камень, который я держал в своей руке и который обнаружил на земле в момент окончания его полета, — один и тот же, то, следовательно, он является тем же самым камнем, который передвигался в воздухе. Движение — это только атрибут движущегося тела и невидимо в самом камне. Оно может быть только изменением отношений между камнем и средой, окружающей его. Мы можем говорить о движении в той мере, насколько камень сохраняет свою идентичность, противополагаясь в различных соотношениях своему окружению. Если, с другой стороны, я предполагаю, что камень исчезает, достигая точки Р, а другой камень, тождественный первому, возникает из ничего в точке Р', находящейся на максимально близком расстоянии к первой точке, то, в этом случае, мы имеем не одно, а два различных движения. Следовательно, не существует движения, отличного от движущегося тела, которое бы переносило его от начальной точки к конечной, сохраняя свою непрерывность. Поскольку движение никоим образом не присуще движущемуся телу, а всецело заключается в его отношениях со своей окружающей средой, оно не может обойтись без внешнего указателя. Действительно, указатель является наилучшим способом наиболее явного приписывания движения “телу в движении”. Если различия между телом в движении и движением установлены, то не существует ни движения без движущегося тела, ни движения без объективного указателя, ни абсолютного движения. Тем не менее, эта идея фактически отрицает движение. Для того чтобы точно отличить движущееся тело от движения, необходимо, строго говоря, утверждать, что “движущееся тело” не движется. Как только мы привносим идею движущегося тела, которое остается в течение своего движения одним и тем же, аргументы Зенона вновь обнаруживают свою актуальность. В этом случае бесполезны возражения о том, что мы не должны рассматривать движение как последовательность дискретных позиций, соотносящихся с последовательностью дискретных моментов времени, и что пространство и время не состоят из совокупности дискретных элементов. Даже если мы рассматриваем два завершенных последовательных момента и две фиксированные примыкающие точки, то все равно между ними в каждом случае существует различие, несмотря на то, что оно меньше любого заранее заданного количества, а их дифференциация находится в начальной стадии. Идея движущегося тела, идентичного во всех фазах движения в качестве простого явления, исключает феномен “сдвига” и предполагает идею пространственной и временной позиций, которые всегда идентичны в себе, даже если они не являются таковыми для нас, и, следовательно, такое положение камня, которое всегда существует и никогда не изменяется. Даже если мы создадим математический способ, позволяющий зафиксировать неопределенную множественность позиций и моментов, то все равно невозможно понять сам акт перехода, имеющий место в одном и том же движущемся теле, который всегда осуществляется между двумя моментами и двумя позициями, независимо от того, в какой близости друг от друга мы их выбираем. Таким образом, пытаясь отчетливо мыслить движение, я не могу понять, как возможно его начало и то, как оно может быть дано мне как феномен”.

Кроме того, оппоненты Зенона говорят, что в апории Стрела заложена следующая ошибка: утверждается, что в каждый момент времени стрела покоится (скорость = 0), а в отдельной точке вообще ничего нельзя сказать о движении/скорости объекта. Однако речь в данной апории идет о дискретной, прерывной модели, в котором каждый промежуток — есть сумма неделимых точек, точек-“атомов”. И здесь нужно задать вопрос: тело, преодолевшее неких промежуток, побывало во всех точках-“атомах” этого промежутка? Надо полагать, что побывало (в противном случае, тело “размазано” по некоторому отрезку, т. е. аморфно). Оно могло двигаться в рамках каждой отдельной точки-“атома”? Нет. Ибо продвижение на пол-“атома” невозможно уже хотя бы потому, что у самого движущего тела нет такой части — пол-“атома”, — которая могла бы продвинуться. Так чтó делало тело, когда было в определенной точке, если не могло двигаться в ее рамках? Ничего, отвечают оппоненты Зенона, ибо чтó можно сделать за нулевой промежуток времени (мол, мы не можем даже утверждать, что тело покоилось в этой точке, т. к. в отдельной точке мы не можем отличить движение от неподвижности)? Но ведь промежуток не нулевой, а меньший “дискретного” параметра. Хотя, по сути, в этот “промежуток времени” (не нулевой, но меньший “дискретного” параметра) “застывает” и само время, т. е. в этот “промежуток” нет и самого времени. И мы можем продолжить утверждение диалектического материализма “Движение есть, и движенья нет” до “Время есть, и времени нет”.

Аргументы о движении известны нам только по краткому разбору их Аристотелем в «Физике» и комментариям Симплиция, Филопона и Фемистия. Симплиций утверждает, что он имел в своем распоряжении сочинение Зенона, и его комментарии относительно множества подтверждают это. Но комментарии о движении, хотя по некоторым замечаниям очевидно, что он знал и эту часть сочинения, не содержат ничего нового, отличного от Аристотеля, возможно, из-за общепризнанной трудности этих аргументов. Всего апорий, затрагивающих парадоксы движения, мы знаем четыре: «Дихотомия» и «Ахиллес» затрагивают трудности понимания движения при предположении неограниченной делимости пути и времени, а «Стрела» и «Стадий» выражают затруднения при обратных предположениях, то есть при допущении неделимых элементов пути и времени (проблема квантов пространства и времени).

Апория «Дихотомия». Формулировка апории: Пусть АВ – отрезок длины 1 и точка М движется из А в В. Прежде чем дойти до В, она должна «отсчитать» бесконечное множество «середин» А1, А2, …, Аn, …; значит, точка В никогда не будет достигнута. Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что оно должно сначала дойти до середины пути, затем до середины остатка пути и так далее.[4] Анализ апории: В первом парадоксе утверждается, что, прежде чем движущийся объект сможет преодолеть определенное расстояние, он должен пройти половину этого пути, затем половину оставшегося пути и т.д. до бесконечности. Поскольку при повторных делениях данного расстояния пополам всякий отрезок остается конечным, а число таких отрезков бесконечно, данный путь невозможно пройти за конечное время. Более того, этот довод действителен для любого, сколь угодно малого расстояния, и для любой, сколь угодно большой скорости. Следовательно, невозможно какое бы то ни было движение. Бегун не в состоянии даже тронуться с места. Симплиций, который подробно комментирует этот парадокс, указывает, что здесь за конечное время необходимо совершить бесконечное число касаний: «Тот, кто чего-либо касается, как бы считает, однако бесконечное множество невозможно сосчитать или перебрать»[5]. Или, как формулирует это Филопон, «бесконечное абсолютно неопределимо». Аристотель усматривал в «Дихотомии» скорее заблуждение, нежели парадокс, полагая, что его значимость сводится на нет «ложной посылкой, «будто невозможно пройти или коснуться бесконечного числа точек за конечный период времени». Также и Фемистий полагает, что «Зенон либо в самом деле не знает, либо делает вид, когда полагает, что ему удалось покончить с движением, сказав, что невозможно движущемуся телу за конечный период времени пройти бесконечное число положений». При разборе данной апории можно отметить ту ошибку, что Зенон разделили пространство до бесконечности. На самом же деле, пространство и время бесконечно делимы, но никак не бесконечно разделены. Особое внимание при рассмотрении следует уделить тому, что пространство и время не актуально разделены бесконечным образом, а лишь потенциально делимы до бесконечности. Утверждение Зенона в этой апории относительно невозможности движения спорит со всеми какими бы то ни было законами восприятия мира.

, выбранного сколь угодно малым. Однако самими по себе вычислениями парадокс не разрешается. Ведь сначала необходимо доказать утверждение, что расстояние - это скорость, умноженная на время, а сделать это невозможно без анализа того, что подразумевается под моментальной скоростью - понятием, лежащим в основе третьего парадокса движения. Таким образом можно заключить, что этот парадокс построен на трудности суммирования бесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно представить себе, что эта сумма равняется конечной величине. В большинстве источников, где излагаются парадоксы, говорится о том, что Зенон вообще отрицал возможность движения, но иногда утверждается, что доводы, которые он отстаивал, были направлены лишь на доказательство несовместимости движения с постоянно оспаривавшимся им представлением о непрерывности как о множестве. В «Дихотомии» и «Ахилле» утверждается, что движение невозможно при предположении о бесконечной делимости пространства на точки, а времени на мгновения. В последних двух парадоксах движения утверждается, что движение равным образом невозможно и в том случае, когда делается противоположное предположение, а именно, что деление времени и пространства завершается неделимыми единицами, т.е. время и пространство обладают атомарной структурой. Известный философ-интуитивист А. Бергсон высказывает такое мнение по поводу этой апории: ««делить можно вещь, но не акт».[6] Зенон, по мнению Бергсона, смешивает процесс движения, каждый акт которого неделим, с бесконечно делимым пространством. Однако вряд ли можно согласиться с Бергсоном. Похоже, для Зенона было несомненным, что движение есть именно процесс. Ведь он говорит не о трудностях введения завершенных в своей данности отрезков пространства, а о немыслимости процесса их прохождения. Либо движение будет описано как процесс, как ряд последовательных операций или действий по осуществлению движения, либо придется признать, что любая попытка такого описания неминуемо ведет к противоречиям, что будет означать логическую невозможность движения.

Апория «Стрела». Формулировка апории: Если время и пространство состоят из неделимых частиц, то летящая стрела неподвижна, так как в каждый неделимый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится, а отрезок времени и есть сумма таких неделимых моментов. Анализ апории: Зенон утверждает: любая вещь либо движется, либо стоит на месте. Однако ничто не может пребывать в движении, занимая пространство, которое равно ему по протяженности. В определенный момент движущееся тело (в данном случае стрела) постоянно находится на одном месте. Следовательно, летящая стрела не движется. В этом рассуждении допущена явная логическая ошибка. Она заключается в смешении взаимоисключающих понятий «покоя» и «механического движения». Состояние покоя всегда выступает как отрицание кого-либо механического движения. Аристотель с наскока отмел парадокс «стрела», утверждая, что время не состоит из неделимых моментов. «Ошибочен ход рассуждений Зенона, когда он утверждает, что если все, занимающее равное себе место, находится в покое, и то, что находится в движении, всегда занимает в любой момент такое место, то летящая стрела окажется неподвижной».[7] Трудность устраняется, если вместе с Зеноном подчеркнуть, что в каждый данный момент времени летящая стрела находится там, где она находится, все равно как если бы она покоилась. Динамика не нуждается в понятии «состояния движения» в аристотелевском смысле, как реализации потенции, однако это не обязательно должно приводить к сделанному Зеноном выводу, что раз такой вещи, как «состояние движения», не существует, не существует и самого движения, стрела неизбежно находится в покое. Как бы то ни было, мы должны признать, что элеаты относились к описанию движения более критично, нежели современная механика, которая не может дать вразумительного ответа, каков физический смысл точки «бесконечно малой величины»? Действительно, если «бесконечно малая величина» — функция (а так оно и есть), то придется признать, что она является всего лишь математической абстракцией, совершенно не имеющей никакого физического смысла. Следовательно, не имеет никакого физического смысла понятие «мгновенная» скорость. А значит, все это не отменяет положения Зенона, что в любой момент времени t стрела находится в строго определенных ٍî÷êàُ пути, и в этих точках она вполне неподвижна. Надо отметить, что выдающиеся мыслители чувствовали это. Например, такой тонкий аналитик, как Бертран Рассел, фактически прямо признал то, что Зенон отрицал в качестве парадокса: «... we live in an unchanging world and... the arrow, at every moment of its flight, is truly at rest» («... мы живем в неизменном мире и... стрела в каждый момент своего полета фактически покоится»).

Апория Стрела показывает нам, что в дискретной модели мира объект даже не прыгает из точки в соседнюю точку, а исчезает из одной точки и появляется в другой (в противном случае мы приходим к непрерывности). По сути, это — два разных объекта, ибо между ними нет связи, непрерывности, идентичности, а это в корне противоречит интуитивному пониманию движения, ибо никто не называет движением исчезновение одного объекта в одном месте и появление другого объекта в другой точке. Движение мыслится и понимается нами как движение одного и того же тела, ибо движение — это атрибут движущегося тела и может быть только изменением отношений между телом и средой, окружающей его. Мы можем говорить о движении в той мере, насколько тело сохраняет свою идентичность, противополагаясь в различных соотношениях своему окружению. (Руслан Хазарзар.)

Вывод

Но как только мы осознали этот факт, не остается иного выхода, кроме как отвергнуть те предпосылки, из которых логически необходимо вытекает противоречащий им вывод о «несуществовании многого в бытии». Этого шага Зенон не сделал, чему мы можем, казалось бы, удивляться; однако и сейчас еще не утихают споры вокруг восходящей к Зенону проблемы актуально бесконечных множеств. Оставаясь при мнении, что если существует многое в бытии, то оно одновременно и конечно, и бесконечно, и не видя логических путей и средств опровержения этого мнения, Зенон не мог интуитивно согласиться с таким мнением и поэтому сделал субъективно вполне последовательный шаг – отказался от признания многого в бытии, не поверил в его существование.

К сожалению, до сего времени еще недостаточно четко осознается принципиальный характер не вполне понятой и Зеноном дилеммы: или признать конечность реально существующего многого в бытии, или же в противном случае оно реально не существует, ибо в принципе невозможно логически последовательно получить вывод о существовании многого при признании не только конечности, но и актуальной бесконечности его. В этом убеждает нас и многовековое существование все еще неразрешимой проблемы апорий, и использование средств современной логики; в противном случае надо открыто выразить недоверие последней..

Вот пример того, как неаккуратное использование слов способствует возникновению обоснованных подозрений в непонимании элементарных вещей. Утверждать, что “механика постигает лишь одновременность” - значит входить в вопиющее противоречие с действительным положением дел в этой науке. Еще раз повторим: критика статических, парменидовских, представлений о времени и движении современной науки не должна приписывать ей нелепое утверждение об одновременности разновременных событий.

Увы, и апелляция к интуиции совершенно не дает нам разрешения проблемы движения. Так, М. Мерло-Понти в своей работе «Пространство» пишет: “Пытаясь мыслить движение и разрабатывая его философию, мы незамедлительно попадаем под влияние критической установки, направленной на проверку истины. Мы спрашиваем себя, что же в действительности дано нам в движении; мы готовы отвергнуть явления, чтобы постичь истину движения, не осознавая, что именно эта установка редуцирует феномен и противостоит нашему желанию охватить его, поскольку она вводит вместе с понятием истины в себе такое предположение, которое способно скрыть от нас генезис движения. Предположим, что я бросаю камень. Он пролетает над садом. На мгновение он становится удаляющимся предметом, напоминающим метеор, а затем, когда падает на землю на некотором расстоянии, вновь становится камнем. Если я хочу “ясно” помыслить этот феномен, то его необходимо разложить на составные части. Я должен предположить, что сам камень реально в движении не изменяется. Поскольку камень, который я держал в своей руке и который обнаружил на земле в момент окончания его полета, — один и тот же, то, следовательно, он является тем же самым камнем, который передвигался в воздухе.

Движение — это только атрибут движущегося тела и невидимо в самом камне. Оно может быть только изменением отношений между камнем и средой, окружающей его. Мы можем говорить о движении в той мере, насколько камень сохраняет свою идентичность, противополагаясь в различных соотношениях своему окружению. Если, с другой стороны, я предполагаю, что камень исчезает, достигая точки Р, а другой камень, тождественный первому, возникает из ничего в точке Р', находящейся на максимально близком расстоянии к первой точке, то, в этом случае, мы имеем не одно, а два различных движения. Следовательно, не существует движения, отличного от движущегося тела, которое бы переносило его от начальной точки к конечной, сохраняя свою непрерывность. Поскольку движение никоим образом не присуще движущемуся телу, а всецело заключается в его отношениях со своей окружающей средой, оно не может обойтись без внешнего указателя. Действительно, указатель является наилучшим способом наиболее явного приписывания движения “телу в движении”. Если различия между телом в движении и движением установлены, то не существует ни движения без движущегося тела, ни движения без объективного указателя, ни абсолютного движения. Тем не менее, эта идея фактически отрицает движение. Для того чтобы точно отличить движущееся тело от движения, необходимо, строго говоря, утверждать, что “движущееся тело” не движется. Как только мы привносим идею движущегося тела, которое остается в течение своего движения одним и тем же, аргументы Зенона вновь обнаруживают свою актуальность. В этом случае бесполезны возражения о том, что мы не должны рассматривать движение как последовательность дискретных позиций, соотносящихся с последовательностью дискретных моментов времени, и что пространство и время не состоят из совокупности дискретных элементов. Даже если мы рассматриваем два завершенных последовательных момента и две фиксированные примыкающие точки, то все равно между ними в каждом случае существует различие, несмотря на то, что оно меньше любого заранее заданного количества, а их дифференциация находится в начальной стадии. Идея движущегося тела, идентичного во всех фазах движения в качестве простого явления, исключает феномен “сдвига” и предполагает идею пространственной и временной позиций, которые всегда идентичны в себе, даже если они не являются таковыми для нас, и, следовательно, такое положение камня, которое всегда существует и никогда не изменяется. Даже если мы создадим математический способ, позволяющий зафиксировать неопределенную множественность позиций и моментов, то все равно невозможно понять сам акт перехода, имеющий место в одном и том же движущемся теле, который всегда осуществляется между двумя моментами и двумя позициями, независимо от того, в какой близости друг от друга мы их выбираем. Таким образом, пытаясь отчетливо мыслить движение, я не могу понять, как возможно его начало и то, как оно может быть дано мне как феномен”.

Кроме того, оппоненты Зенона говорят, что в апории Стрела заложена следующая ошибка: утверждается, что в каждый момент времени стрела покоится (скорость = 0), а в отдельной точке вообще ничего нельзя сказать о движении/скорости объекта. Однако речь в данной апории идет о дискретной, прерывной модели, в котором каждый промежуток — есть сумма неделимых точек, точек-“атомов”. И здесь нужно задать вопрос: тело, преодолевшее неких промежуток, побывало во всех точках-“атомах” этого промежутка? Надо полагать, что побывало (в противном случае, тело “размазано” по некоторому отрезку, т. е. аморфно). Оно могло двигаться в рамках каждой отдельной точки-“атома”? Нет. Ибо продвижение на пол-“атома” невозможно уже хотя бы потому, что у самого движущего тела нет такой части — пол-“атома”, — которая могла бы продвинуться. Так чтó делало тело, когда было в определенной точке, если не могло двигаться в ее рамках? Ничего, отвечают оппоненты Зенона, ибо чтó можно сделать за нулевой промежуток времени (мол, мы не можем даже утверждать, что тело покоилось в этой точке, т. к. в отдельной точке мы не можем отличить движение от неподвижности)? Но ведь промежуток не нулевой, а меньший “дискретного” параметра. Хотя, по сути, в этот “промежуток времени” (не нулевой, но меньший “дискретного” параметра) “застывает” и само время, т. е. в этот “промежуток” нет и самого времени. И мы можем продолжить утверждение диалектического материализма “Движение есть, и движенья нет” до “Время есть, и времени нет”.

Апория Стрела показывает нам, что в дискретной модели мира объект даже не прыгает из точки в соседнюю точку, а исчезает из одной точки и появляется в другой (в противном случае мы приходим к непрерывности). По сути, это — два разных объекта, ибо между ними нет связи, непрерывности, идентичности, а это в корне противоречит интуитивному пониманию движения, ибо никто не называет движением исчезновение одного объекта в одном месте и появление другого объекта в другой точке. Движение мыслится и понимается нами как движение одного и того же тела, ибо движение — это атрибут движущегося тела и может быть только изменением отношений между телом и средой, окружающей его. Мы можем говорить о движении в той мере, насколько тело сохраняет свою идентичность, противополагаясь в различных соотношениях своему окружению.

Современная наука, особенно математика и физика, блестяще подтвердила философию элеатов, приняв статические представления о движении. Та картина движения, которую она дает, надо полагать, вполне бы удовлетворила как Парменида, так и Зенона с точки зрения отсутствия в ней процесса движения. Обгоняя черепаху, Ахилл не движется в том смысле, что не переходит из одного места в другое. Просто в один момент времени он находится в одном месте, в другой — в другом, подобно тому, как мчащийся по шоссе автомобиль на киноленте просто размещается в разных кадрах этой ленты. Произошла всего лишь смена терминологии при неизменном подходе, выдвинутом еще элеатами. Они вряд ли согласились бы считать уравнения и графики функций, показывающие, где находится движущееся тело в каждый момент времени, описанием движения. Такого рода аппарат способен зафиксировать наличный результат движения, но не объяснить, как тело переходит от одного места к другому. А раз нет актов перехода, нет и движения. Но можно отмахнуться от проблемы процессуальности движения, подменив ее статическим геометрическим представлением: вместо актов перехода взять графики соответствующих функций и назвать их описаниями движения тел.

Можно вообразить, что если бы элеатам предъявили современный взгляд на движение, сводящийся к тому, что в одни моменты времени тела находятся тут, а в другие там, то они вряд ли стали бы спорить с такой позицией. В сущности, именно это и утверждает Зенон в апории Летящая стрела. Стрела в разные мгновения полета находится в разных местах. Данное положение он и не думает оспаривать. Только если современная наука ставит здесь точку, считая, что тем самым философские проблемы описания движения исчерпаны и осталось лишь преодолеть технические трудности, элеаты идут дальше, требуя, если угодно, предъявления своего рода алгоритмов движения, а не геометрических функций или уравнений. Их вывод о невозможности движения основывается исключительно на неудачах попыток построения таких алгоритмов. Осталось вернуться к статической картине мира, в которой в разные моменты времени тела могут находиться в разных местах, но покоятся в каждом из них. Словно бы вняв призыву элеатов, современная наука послушно следует в русле заданной ими парадигмы. Единственное отличие состоит в том, что наука не согласилась считать движение чем-то бóльшим, чем нахождением в разные моменты времени в разных местах. Но поистине это бунт на коленях. Фактически, современная наука приняла выводы элеатов, забыв о том, откуда и как они были получены, изменив при этом терминологию и назвав движением то, что элеаты не могли позволить считать таковым.

Мы видим, что апории Зенона затронули действительно глубокие и сложные вопросы. Как же ответила на них античная наука? В частности, как она разрешила вопрос о том, допустимо ли пользоваться в математике актуально бесконечно большими и актуально бесконечно малыми величинами? Мы можем судить о тех точках зрения, которые имели место в античной математике, и о тех дискуссиях, которые там велись, по косвенным данным, главным образом по сообщениям Аристотеля и других философов этого времени. Четырьмя парадоксами Зенон очень хорошо достигает того, чего хотел. Он логически строго показывает, что в пифагорейских представлениях о движении, пространстве и времени что-то неверно. Эти демонстрационные примеры Зенона не убедили более поздних мыслителей принять выводы Парменида, однако заставили этих мыслителей проникнуться уважением к формальной логике и увидеть новые возможности ее применения. Так же они заставили их попытаться сформулировать пифагорейские понятия по-новому, таким образом, чтобы исключить показанные Зеноном противоречия. Эти попытки имели много форм: у Анаксагора – отказ от представления об отдельных точках и замена их непрерывной последовательностью, у Аристотеля – полное отделение арифметики от геометрии, а в атомистической теории – лежащее в ее основе четкое разграничение физической и математической «делимости». Итак, можно заключить, что Зенон Элейский много привнёс не только в античную философию, но и в развитие мировой математики посредством своих апорий.

Список использованной литературы:

1) Бергсон А. «Опыт о непосредственных данных сознания»

2) Анисов А. М. «Апории Зенона и проблема движения»

3) Войшвилло Е. К. Еще раз о парадоксе движения о диалектических и формально-логических противоречиях // «Философские науки»

4) Уитроу Дж. «Естественная философия времени.»

5) Грюнбаум А. «Философские проблемы пространства и времени.»

[1] А.А. Ивин, А.Л. Никифоров «Словарь по логике», М.: «Владос», 1997, стр. 22.

[2] По книге: А.К. Манеев «Философский анализ зеноновских апорий», Минск, 1972

[3] Ф. Коплстон «История философии: Древняя Греция и Древний Рим», том 1, М.: «Центр-полиграф», 2003, стр. 77

[4] Ф. Коплстон «История философии: Древняя Греция и Древний Рим», том 1, М.: «Центр-полиграф», 2003, стр. 77

[5] «Универсальный энциклопедический словарь», М.: Научное издательство «Большая российская энциклопедия», 2002, стр. 1177

[6] Сочинения в 4 т., Том 1., М.: Московский клуб, 1992, стр. 98

[7] Ф. Коплстон «История философии: Древняя Греция и Древний Рим», том 1, М.: «Центр-полиграф», 2003, стр.

Поиск по сайту: