|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Матрицы1.Основные определения. Пусть К – коммутативное кольцо с единицей.
Определение 1: Матрицей размеров над кольцом К называется прямоугольная таблица из элементов кольца К и имеющая строк и столбцов: где – номер строки, – номер столбца. – элементы матрицы, и - порядки матрицы. Говорят, матрица размера . Если , то матрица называется квадратной, а число – её порядком. Далее для изображения матрицы применяются либо круглые скобки, либо сдвоенные прямые: или . Для краткого обозначения матрицы используется либо заглавная латинская буква , либо символы , , либо с разъяснением: . Множество всех матриц обозначается .
Частные случаи матриц. 1. Если , то матрица называется квадратной. Её диагональ называется главной диагональю, а – побочная диагональ. 2. Диагональная матрица – это матрица, у которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали, т.е. . 3. Диагональная матрица вида называется скалярной. 4. Скалярная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной. Обозначается или , – порядок. 5. Матрица размера , у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается . 6. Если , то матрица называется строкой, или матрица-строка, или строка. Если столбцовая = матрица-столбец = столбец.
Определение 2: Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.
2. Операции над матрицами и их свойства.
Определение 3: Суммой матриц и (т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица : . Обозначение: . Пример: Сумма матриц – алгебраическая операция. .
Свойства (сложения матриц): 1˚. . 2˚. . 3˚. . 4˚. . При этом, если , то . Матрица называется противоположной к и обозначается . Доказательство – самостоятельно.
Теорема 1: Множество относительно сложения образует абелеву группу. Доказательство: Следует из свойств 1-4.
Определение 4: Произведением элемента называется матрица Обозначение . Операция сопоставляющая и и их произведение называется умножением элемента кольца на матрицу.
Свойства (умножения матрицы на элемент кольца): . 1˚. . 2˚. . 3˚. . 4˚. . Доказательство – самостоятельно.
Замечание: Разность двух прямоугольных матриц и определяется равенством .
Определение 5: Произведение матриц размеров и размеров называется матрица размеров , такая что каждый элемент . Обозначение . Операция произведения на называется перемножением этих матриц. Из определения следует, что элемент матрицы , стоящий на -ой строке и -ом столбце равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы .
Пример: , . Таким образом, две матрицы можно перемножать, когда число столбцов равно числу строк матрицы . Тогда матрица называется согласованной с . Из согласованности с не следует согласованность с . Если даже выполняется, то .
Свойства (умножения матриц): 1˚. имеем . Доказательство: Из определения 5 следует, что элемент матрицы равен , а элемент матрицы равен . Равенство следует из возможности изменения порядка суммирования. 2˚. , . , . Доказательство: следует из определения суммы и произведения. 3˚. . Доказательство: Пусть , и . Тогда , здесь – символ Кронекера. . 4˚. . 5˚. . Доказательство: аналогично свойству 3˚. 6˚. .
Теорема 2: Множество квадратных матриц порядка над кольцом относительно операций сложения матриц и умножения матриц образует кольцо с единицей. Доказательство: Из Теоремы 1 – абелева группа. Так как любые матрицы из согласованы умножение определено. Дистрибутивность и ассоциативность умножения следует из свойств 2˚ и 1˚. Свойство 3˚ демонстрирует наличие единицы. Замечание: В общем случае произведение не коммутативно. Но: из 4˚ и 5˚ умножение квадратной матрицы на и – коммутируют. Также коммутирует умножение квадратной матрицы на скалярную . 3. Блочные матрицы. Пусть матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае рассматривается как некоторая новая, блочная матрица , элементами которой являются блоки указанной матрицы ( – элементы матрицы, поэтому заглавное). Здесь – номер блочной строки, – столбца. Например , , , , . Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки. Действительно, если , то , где вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число. Аналогично, если и имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме отвечает блочная матрица : . Для умножения на необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока равно числу строк блока . Тогда . Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц . Пусть Пример: , , , ,
, , В качестве применения блочных матриц рассмотрим
Определение 6: Прямой суммой квадратных матриц порядков соответственно называется квадратная матрица порядка : . Обозначение .
Свойства (прямой суммы): 1˚. . 2˚. . 3˚. . 4˚. . Доказательство – самостоятельно. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.019 сек.) |