|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Волновые функции, описывающие электрон в атоме водорода
Потенциальная энергия сферически симметрична, поэтому оператор Лапласа в уравнении Шредингера обычно записывается в сферических координатах и при решении (13-1в) требуется использование сферических координат, в которых ψ =ψ(r,θ,φ). Оператор Лапласа в сферических координатах представляется в виде двух частей – радиальной и угловой.
Поэтому: , где - радиальная функция, - угловая функция, . (13-2) Уравнение Шредингера вследствие сферической симметрии распадается на 3 уравнения, каждое из которых зависит только от одной переменной – радиальной r, меридиональной θ и азимутальной φ. Волновая функция ψ должна удовлетворять 3 условиям (см. выше), а также условиюнормировки. , (13-3) где модуль ψ2 определяет плотность вероятности найти данную частицу в объеме dV. Поэтому, уравнение (13-3) – есть условие достоверности нахождения частицы во всем пространстве. Решение для угловой части волновой функции А). Из условия сферической симметрии, а также условия однозначности волновой функции следует: являются функциями целочисленного аргумента m который может принимать значения m=0,±1,±2… Б). Функция Θ - непрерывная и однозначная является специальной функцией – присоединенным полиномом Лежандра. При подстановке этой функции в (13-1б) получается уравнение, которое имеет однозначные и конечные решения только при целочисленных значениях l, которые: - могут быть отрицательными - связаны с числом m: m=-l,…,0,… l. В).Угловая функция Y= ΘФ зависит от l, и при решении уравнения Шредингера дает квантование момента импульса электрона в атоме: (13-4) и проекцию момента импульса на выделенное направление . (13-5) С точки зрения графического решения угловая функция определяет форму электронного облака и его ориентацию. Решение для радиальной части волновой функции Радиальная функция R выражается через шаровые функции и полиномы Лагерра. Частное решение имеет вид: (13-6) Где , А). Подстановка функции R в исходное уравнение (13-1в) дает характеристическое уравнение, из решения которого следует, что при W < 0 (электрон «связан» в атоме) энергия электрона определяется выражением: (13-7) которое описывает энергетические уровни электрона в водородоподобной системе и является аналогичным выражению в теории Бора: Таким образом, последовательное решение уравнения Шредингера для электрона в водородоподобной системе приводит к энергетическим уровням типа Бальмера - Ридберга без использования каких-либо постулатов. б). Найдем вероятность того, что электрон в основном состоянии атома водорода находится на расстоянии r от ядра (n=1,l=0) в интервале расстояний от r до r+dr, т. е. в шаровом слое с объемом dV=4πr2dr. Вероятность обнаружить электрон в элементе объема dV: Если подставить в эту формулу выражение (13-6), то получим зависимости плотности вероятности обнаружения электрона от расстояния. Максимумы этих зависимостей дают те расстояния rn от ядра атома, на которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью (рис.13-1 а и б).
Рис.13-1
В частности, при n=1 исследование выражения dw/dr на максимум дает r1=а0. Этот результат является частным случаем более общего вывода: боровские орбиты электрона представляют собой геометрические места точек, в которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью. Например, по теории Бора, вероятность обнаружить электрон в состоянии с n =1 отлична от нуля только для r1=а0.. Согласно же квантовой механике, эта вероятность лишь достигает максимума при r1=а0 , но она отлична от нуля во всем пространстве. На рис. 13-1 сопоставлены вероятности обнаружить электрон на различных расстояниях от ядра по теории Бора и по квантовой механике.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.) |