Функцияларды дифференциалдау

1. (1)

тепе-теңдiгi кез келген мәндерiнде орындалса, онда функциясы аралығында айқындалмаған түрде теңдеуiмен берiлдi дейдi. функциясының туындысын табу үшiн (1) тепе-теңдiктiң сол жағын х айнымалысының күрделi функциясы деп, х бойынша дифференциалдап, алынған өрнектен - тi табу керек.

2. (2)

функциялары берiлсiн.

Егер аралығында функциясының керi функциясы бар болса, онда

. (3)

Функция (2)-нi параметрлiк қатынастар түрiнде берiлген деп атайды.

Керi функцияның дифференциалдау ережесi бойынша (3) функцияны х бойынша дифференциалдасақ

немесе өрнегiн аламыз. Бұл параметрлiк теңдеулер түрiнде берiлген функцияны дифференциалдау ережесi деп аталынады.

6 Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл. Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері.

Дифференциалдау мен интегралдау амалдары өзара кері амалдар. Функцияның алғашқы функциясын табу операциясын интегралдау деп атайды.

Анықтама: Кез келген жиынында өзгеретін үшін теңдігі орындалса онда функциясын функциясының алғашқы функциясы дейді.

Алғашқы функция анықтамасын қолданып есептер шығаруға мысалдар қарастырайық:

1-есеп:

функциясы аралығында функциясы үшін алғашқы функция болатынын көрсетейік.

теңдігін қолдансақ:

мұндағы ; дәлелдеу керегі осы болатын.

2-есеп: функциясы үшін графигі нүктесі арқылы өтетін алғашқы функцияны анықтаңыз.

Шешуі: функциясы үшін алғашқы функция болады.

Себебі (1) теңдікке мәндерін қойып:

теңдеуінен С мәнін анықтаймыз.

. Сонымен алғашқы функция болады.

Анықтама: функцияларының барлық алғашқы функцияларының жиынтығы берілген функциясының анықталмаған интегралы деп аталады.

Мынадай түрде жазылады:

(1)

Мұндағы - интегралдау белгісі, х –интегралдау айнымалысы, –ті интеграл таңбасы астындағы функция, ал - интеграл таңбасы астындағы өрнек дейді, - алғашқы функцияның жалпы түрі, - кез келген тұрақты сан, -тің дифференциалы.

Есептерді шешуде функциясы бойынша алғашқы функциялардың жалпы түрін табу қойылады. –ты негізгі алғашқы функция дейді.

Анықталмаған интегралдың қасиеттері:

1. -тұрақты сан.

2.

3.

4. [1].

Анықталмаған интегралдар кестесі:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19. [2].

Интегралды табуда мынадай жағдайларды ескеру керек:

1. Интегралды табуды тікелей кестелік интегралды пайдаланып есептеуге болады.

2. Анықталмаған интегралдың қасиеттерін пайдалану нәтижесінде интегралды есептеуді бір немесе бірнеше кестелік интегралдарды есептеуге алып келуге болады.

3. Интеграл таңбасы астындағы функцияны түрлендіру және интеграл қасиеттерін пайдалану нәтижесінде бір немесе бірнеше интегралдар есептеуге тура келеді.

Егер болса, онда орындалады.

Мұнда аргументі жаңа аргументімен ауыстырылған. Интеграл берілген күйінде кестелік интегралға келмейтін кезде көптеген жағдайларда, интеграл астындағы өрнекті түрлендіру арқылы оны кестелік интегралға келтіруге болады. Мұндай жағдайда қандай түрлендіру жүргізу керек екенін білу қажет.

Егер интеграл түрінде беріліп, теңдігі орындалса, онда интегралды кестелік интегралға келтіруге болады, яғни

7 Анықталмаған интеграл. Бөліктеп интегралдау әдістері. Рационалды функцияларды интегралдау. Тригонометриялық функцияларды интегралдау. Анықталған интеграл және оның қасиеттері.

Дифференциалдау мен интегралдау амалдары өзара кері амалдар. Функцияның алғашқы функциясын табу операциясын интегралдау деп атайды.

Анықтама: Кез келген жиынында өзгеретін үшін теңдігі орындалса онда функциясын функциясының алғашқы функциясы дейді.

Алғашқы функция анықтамасын қолданып есептер шығаруға мысалдар қарастырайық:

1-есеп:

функциясы аралығында функциясы үшін алғашқы функция болатынын көрсетейік.

теңдігін қолдансақ:

мұндағы ; дәлелдеу керегі осы болатын.

2-есеп: функциясы үшін графигі нүктесі арқылы өтетін алғашқы функцияны анықтаңыз.

Шешуі: функциясы үшін алғашқы функция болады.

Себебі (1) теңдікке мәндерін қойып:

теңдеуінен С мәнін анықтаймыз.

. Сонымен алғашқы функция болады.

Анықтама: функцияларының барлық алғашқы функцияларының жиынтығы берілген функциясының анықталмаған интегралы деп аталады.

Мынадай түрде жазылады:

(1)

Мұндағы - интегралдау белгісі, х –интегралдау айнымалысы, –ті интеграл таңбасы астындағы функция, ал - интеграл таңбасы астындағы өрнек дейді, - алғашқы функцияның жалпы түрі, - кез келген тұрақты сан, -тің дифференциалы.

Есептерді шешуде функциясы бойынша алғашқы функциялардың жалпы түрін табу қойылады. –ты негізгі алғашқы функция дейді.

Анықталмаған интегралдың қасиеттері:

1. -тұрақты сан.

2.

3.

4. [1].

Бөліктеп интегралдау

осы көбейтудің дифференциалының формуласын екі жағын интегралдап, келесі бөліктеп интегралдау формуласын аламыз:

Бұл формулада интегралын зерттеуде мына интегралды есептеуге келеді. Мұнда бастапқы интегралды есептеу соңғы интегралды есептеуден қиынырақ болғандықтан осы формуланы пайдаланып шығарамыз.

интегралын есептеу үшін интеграл астындағы өрнекті u және dv деп белгілеп алу керек. dv ретінде көбінесе туынды алынбайтын функцияларды аламыз, мысалы үшін .

Мысал.

Поиск по сайту: