 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Неравенство Коши-Буняковского
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Длиной вектора 
в евклидовом пространстве называетсячисло равное:
(2)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Углом между векторами 
и 
мы назовем число, определенное выражением:
, (3)
или
. (4)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ4. Векторы и 
называютсяортогональными,еслиугол между ними равен 
.
В этом случае из формулы (1) следует:
(, )=0. (5)
Н е р а в е н с т в о К о ш и- Б у н я к о в с к о г о. Так как косинус угла между двумя векторами определяется выражением (4)
, (6)
то
.
Откуда
.
или
. (7)
Неравенство (7) называется неравенством Коши-Буняковского.
Если скалярное произведение задается формулой
причем
,
то неравенство (7) примет вид
Т е о р е м а. 3. Для любых векторов и в евклидовом пространстве Е имеет место неравенство:
. (8)
Д о к а з а т е л ь с т в о.
.
Так как 
, то
то есть
,
что и требовалось доказать.
2.2. Ортогональный и орто-нормированный
базисы в пространстве Е
В линейном пространстве у нас нет оснований предпочесть одни базисы другим. Там все базисы равноправны. В евклидовом пространстве существуют наиболее удобные базисы, а именно, ортогональные базисы. Они играют здесь ту же роль, что и прямоугольные системы координат в аналитической геометрии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Будем говорить, что n векторов 
ни один из которых не равен нулю, образуют ортогональный базисв n-мерном евклидовомпространстве 
, если они попарно ортогональны, то есть:
при 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Векторы ни один из которых не равен нулю, образуют ортогональный нормированный базис, если они попарно ортогональны и имеют каждый длину равную единице, то есть, если выполняется равенство:
(9)
Для того, чтобы данное нами определение ортогонального и ортонормированных базисов было корректным, необходимо доказать, что входящие в определение векторы действительно образуют базис, то есть являются линейно независимыми.
Докажем, что равенство
(10)
возможно лишь, если 
, то есть является тривиальным. Умножим обе части равенства (10) скалярно на 
. Получим:
.
Но по определению ортогонального базиса
при 
.
Следовательно, 
Аналогично, умножая (10) на 
, получим l 2=0 и т. д. Таким образом, соотношение (10) выполнено, если , то есть векторы 
являются независимы, что и доказывает корректность утверждения.
Чтобы доказать существование ортогональных базисов в евклидовом пространстве , воспользуемся, так называемым, процессом ортогонализации.
2.3. Ортогонализация базиса в пространстве
Процесс ортогонализации состоит в том, что из не ортогональных, но линейно независимых векторов 
, можно построить систему попарно ортогональных векторов . Опишем процесс их построения. Пусть даны n линейно независимых векторов . По этим векторам построим n попарно ортогональных векторов . Сначала положим 
. Вектор 
будем искать в виде: 
, где число l 1 подберем таким образом, чтобы выполнялось условие 
.
Имеем:
(11)
Предположим, что построена система попарно ортогональных и отличных от нуля векторов 
. Далее вектор 
будем определять так:
, (12)
то есть вектор мы получаем из вектора 
путем "исправления" его с помощью линейной комбинации уже построенных векторов .
Коэффициенты 
находим из условия ортогональности вектора к векторам . Последовательно умножим соотношение (12) на , затем на и т.д. Имеем
(13)
Так как векторы попарно ортогональны, то равенства (13) запишутся так:
Отсюда находим:
(14)
До сих пор не было использовано то, что векторы 
линейно независимы. Это будем использовать при доказательстве того, что построенный вектор отличен от нуля. Заметим предварительно, что вектор есть линейная комбинация векторов 
. Но, с другой стороны, вектор 
можно заменить линейной комбинацией 
и векторов 
. В итоге, вектор записывается в виде:
. (15)
Теперь ясно, что 
.Так как, в противном случае, правая часть равенства (15) была бы нулем, что противоречит линейной независимости векторов 
.
Итак, доказано, что .
Мы построили по векторам и 
вектор . Таким же образом по 
и 
мы построим 
и т.д.
Продолжая этот процесс до тех пор, пока не будут исчерпаны заданные векторы . Получаем n отличных от нуля и попарно ортогональных векторов , которые образуют ортогональный базис в исходном евклидовом пространстве .
Т е о р е м а 4. Во всяком n -мерном евклидовом пространстве существует ортогональный базис.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению n- мерного пространства в нем существует базис линейно независимых векторов . С помощью процесса ортогонализации из векторов можно построить ортогональный базис , что и доказывает теорему.
2.4. Скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве
Пусть - ортогональный базис евклидова пространства Е. Найдем, как выражается скалярное произведение двух векторов через их координаты в этом базисе.
Пусть 
- координаты вектора 
, а 
- координаты вектора в этом базисе, то есть:
Тогда:
(16)
Если базис является ортонормированным, то есть
, (17)
то выражение (16) в таком базисе примет вид
). (18)
Таким образом, в нормированном ортогональном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.
2.5. Изоморфизм евклидовых пространств
Если рассмотреть ряд n -мерных евклидовых пространств, то эти пространства могут отличаться одно от другого во всяком случае способом задания векторов базиса. Возникает вопрос: какие из этих пространств действительно различны и какие различия являются лишь чисто внешними?
Для того, чтобы вопрос был точно поставлен, нужно определить, какие два
евклидова пространства будем считать несущественно различающимися (изоморфными).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Два евклидовых пространства 
и 
называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие 
так, что:
1 
. Если 
и 
, то 
.
2 . Если 
, то 
.
3 . Если 
и 
, то 
.
Таким образом, два евклидовых пространства и изоморфны, если они изоморфны как линейные пространства. И этот изоморфизм таков, что он сохраняет скалярное произведение соответствующих векторов.
.
Поиск по сайту: