Вступна лекція з дисципліни

«Теорія ймовірностей і математична статистика»

Серед математичних наук особливе місце належить теорії ймовірностей. Ця наука вивчає закони, які управляють випадковими явищами.

Сучасний період розвитку науки характеризується широким використанням ймовірностних (статистичних) методів у всіх областях знань. Елементарне знайомство з теорією ймовірностей в наш час вимагається від кожного інженера, наукового працівника, організатора виробництва. Але досвід показує, що теорія ймовірностей досить важко дається початківцям, що до її специфічних особливостей нелегко призвичаїтися людині, яка звикла до інших традиційних наукових методів.

Розглянемо більш детально, що ж таке «випадкове явище».

Нехай проводиться деякий експеримент, результат якого не може бути передбаченим. Наприклад, підкидаємо монету. Наперед не можна сказати, як вона випаде: гербом або числом. Витягуємо навмання карту з колоди. Наперед не можна сказати, якої вона буде масті. Скільки виробів буде забраковано відділом технічного контролю і т.д.

Всі ці приклади відносяться до області випадкових явищ. В кожному з них результат експерименту наперед не можна передбачити. Якщо такі експерименти повторювати, то кожного разу результат буде змінюватися. Причина цих відмінностей в тому, що умови експерименту, які нам уявляються однаковими, взагалі кажучи, різні: на результат кожного з них впливає багато малопомітних факторів, які обумовлюють у своїй сукупності невизначеність результату.

Випадковою подією будемо називати будь-який факт, який в результаті експерименту може відбутися або не відбутися.

Теорія ймовірностей дає змогу нам виміряти кількісну степінь вірогідності (або ймовірності) різних подій, порівнювати їх між собою за ймовірностями, а головне, на основі оцінки ймовірностей передбачувати результати випадкових явищ.

Звичайно, передбачити можна тільки ті випадкові події, які мають високу степінь вірогідності, або, як кажуть, велику ймовірність. А визначити, які з подій належать до категорії досить вірогідних якраз і дозволяє нам знання теорії ймовірностей.

Елементарне розуміння того, що таке «ймовірність події», властиве будь-якій людині зі здоровим глуздом. Ми з усіх боків оточені випадковими явищами, випадковими подіями, і звикли, плануючи свої дії, якось оцінювати ймовірності подій, розрізняти серед них ймовірні, малоймовірні, неможливі. Якщо ймовірність якоїсь події досить мала, ми не розраховуємо серйозно на її появу. Наприклад, у книжці 500 сторінок, і на якійсь з них є потрібна нам формула. Чи можна розраховувати на те, що розкривши книжку навмання, ми попадемо якраз на цю сторінку? Звичайно, ні. Ця подія можлива, але малоймовірна.

Для того, щоб обчислювати (оцінювати) ймовірності випадкових подій, виберемо одиницю виміру. За таку одиницю в теорії ймовірностей вважають ймовірність вірогідної події, тобто події, яка в даному експерименті обов’язково відбудеться. Нульову ймовірність надають неможливій події, тобто події, яка в даному експерименті нізащо не відбудеться. Таким чином, ймовірність випадкової події завжди знаходиться між нулем і одиницею, і це число показує, яку частину ймовірності вірогідної події складає ймовірність даної події.

Основна наша задача: користуючись обчисленими ймовірностями, передбачувати результати експериментів в області випадкових явищ. Існують такі експерименти, у яких, незважаючи на наявність випадковості, результат можна передбачити. Якщо не точно, то наближено, якщо не з повною вірогідністю, то з майже повною (практична вірогідність). Однією з найважливіших задач теорії ймовірностей і є виявлення особливого роду подій, практично вірогідних і практично неможливих, які завжди з’являються парами. Якщо ми впевнилися, що в даному експерименті подія практично вірогідна, то це і означає, що ми можемо передбачити появу події в цьому експерименті. Наприклад, можемо передбачити максимальну похибку при розрахунку на комп’ютері; максимальне і мінімальне практично можливе число запасних частин в автогосподарстві за рік; максимально практично можливу кількість бракованих деталей на виробництві і т.д. Такі передбачення, як правило, можливі, якщо мова йде не про одиничне окреме випадкове явище, а про масу однорідних випадкових явищ.

Наскільки ж великою має бути ймовірність події, щоб вважати її практично вірогідною: 0,99, 0,995, 0,999? Все залежить від того, наскільки важливий для нас успіх передбачення і що нам загрожує, якщо воно не здійсниться.

У будь-якому прогнозі, який дається методами теорії ймовірностей, завжди присутні дві особливості: передбачення робиться майже вірогідно, тобто з великою ймовірністю; і числове значення цієї великої ймовірності (рівень довіри) задається з врахуванням важливості, яку має для нас успіх передбачення.

Отже, теорія ймовірностей вивчає кількісні закономірності масових однорідних випадкових явищ.

Випадкові події зустрічалися людині вже дуже давно (мисливець під час полювання здобував дичину або не здобував; рільник збирав врожай, а інколи цей врожай вибивало градом; гравець одного разу вигравав значну суму, а іншого разу програвав все, що у нього було). З часом знання про нашу планету, про багатства і природні особливості окремих зон розширювалися; почали створюватися все більш досконалі механізми, а згодом і корисні машини.

Все це з’явилося великим стимулом для розвитку наук. Теорія ймовірностей народилася у листуванні двох видатних вчених XVII сторіччя - Ферма і Паскаля. Ці науковці розглядали питання, які, начебто, не мали серйозного інтересу – про те, як часто випадають ті чи інші комбінації очок при грі у кості (кожному відома гральна кість кубічної форми з числами на гранях). Але у їх переписці визначилося поняття ймовірності; це знаменувало зародження нової науки. Вже перші творці, не зважаючи на штучний характер питань, які вони розглядали, добре розуміли, що нові поняття будуть описувати серйозні закономірності навколишнього світу. У той час почали з’являтися перші демографічні дослідження, у яких згодом стали з успіхом застосовуватися досягнення нової науки. На межі XVII і XVIII ст. одну з найбільш вживаних стандартних задач теорії ймовірностей розглянув Я. Бернуллі. Але у XVII ст. математичний апарат теорії ще не виходив за межі елементарної арифметики та комбінаторики. XVIІI ст. принесло нові успіхи – застосування у теорії ймовірностей математичного аналізу (Муавр, Лаплас).Тепер виявилось можливим обчислювати важливі ймовірності за допомогою елементарних функцій.

Чільне місце у дослідженнях посідає поняття випадкової величини, тобто величини, що приймає ті чи інші числові значення, але які саме точно сказати не можна (наприклад, розмір деталі може коливатися при масовому її виготовленні). На початку XIX ст. з’ясувалось, що похибки при вимірах теж підпорядковуються теоретико-ймовірностним закономірностям. У працях Лапласа та Гаусса все чіткіше з’ясовувалась роль одного з законів розподілу ймовірностей - нормального. Ймовірність характеризує число, навколо якого коливається деяка величина при великій кількості вимірів. Це коливання, а також степінь наближення випадкової величини до імовірності описують так звані закони великих чисел. Ці закони походять ще з досліджень Я. Бернуллі, Муавра, а також Лапласа. В середині XIX ст. загальна форма закону великих чисел була відкрита Чебишевим і Б’єноме. Учень Чебишева Ляпунов одержав один з головних результатів у сучасній теорії ймовірностей – центральну граничну теорему, у якій з’ясував універсальність нормального закону. Це було зроблено у період роботи Ляпунова професором Харківського університету. З початку XX ст. до наших днів у розвитку теорії ймовірностей відбуваються великі зміни – створюється аксіоматика теорії (Берштейн, який у той час працював у Харкові; згодом – Колмогоров), бурхливо розвиваються окремі розділи теорії, зокрема теорія випадкових процесів (Марков наприкінці XIХ ст., Колмогоров). Після другої світової війни виникають нові прикладні науки, які народжуються з теорії ймовірностей і служать для розв’язування задач, що ставить перед собою практика: теорія масового обслуговування, теорія надійності, теорія розпізнавання образів, теорія інформації. Але серед наук, які тісно пов’язані з теорією ймовірностей, треба виділити одну, що посідає, мабуть, чільне місце у застосуваннях – математичну статистику. Ми вже говорили про те, що демографічні закономірності з’явились одним з джерел, які стимулювали розвиток теорії ймовірностей. Завдання математичної статистики – одержати певні висновки з експериментальних даних. Як обробити зроблені виміри? Які наслідки обробки мають бути прийняті, а які відкинуті або перевірені? У яких межах знаходиться випадкова величина? На ці та інші питання відповідає статистика, математичний апарат якої являє собою невід’ємну частину аналізу даних експерименту або спостережень. У розв’язок питань математичної статистики великий вклад зробили Стьюдент, Мізес, Колмогоров, Смирнов. Слід зауважити, що в повоєнні роки теорія ймовірностей бурхливо розвивається в Україні (насамперед у Києві).

В подальшому розглянемо наступні питання теорії ймовірностей і математичної статистики: випадкові події; ймовірність;обчислення ймовірностей;випадкові величини; статистичні розподіли; статистичні оцінки параметрів розподілу; інтервальне оцінювання невідомих параметрів; перевірка статистичних гіпотез; кореляція і регресія.

Поиск по сайту: