РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

ПРИМЕР 2. Написать формулу общего члена ряда:

Решение.

Числители членов данного ряда - четные числа, следовательно, формула числителя . Знаменатели членов данного ряда - квадраты чисел. Квадрат первого числа равен 36, следовательно, . Откуда и формула знаменателя .Таким образом, общий член .

ПРИМЕР 3. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда: .

Решение. Найдем предел общего члена: .

Как видно, необходимое условие сходимости не выполняется. Ряд расходится.

ПРИМЕР 4. Исследовать сходимость ряда, применив признак сравнения 1:

Решение. Сравним данный ряд с убывающей геометрической прогрессией

Знаменатель прогрессии равен , меньше единицы, следовательно, ряд сходится. Члены исследуемого ряда не превосходят соответствующих членов геометрической прогрессии . По признаку сравнения данный ряд также сходится (если каждый член ряда с положительными членами, начиная с некоторого члена, не превосходят соответствующего члена другого заведомо сходящегося ряда, то данный ряд тоже сходится).

Исследовать сходимость ряда, применив признак сравнения 1:

Решение. Общий член данного ряда , больше общего члена гармонического ряда, который, как известно, расходится: , следовательно, данный ряд также расходится (если каждый член ряда с положительными членами, начиная с некоторого члена, не меньше соответствующего члена другого заведомо расходящегося ряда, то данный ряд тоже расходится).

ПРИМЕР 5. Исследовать сходимость ряда с заданным общим членом, используя признак сравнения 2: .

Решение. Общий член данного ряда . Общий член расходящегося гармонического ряда . Применим признак сравнения 2.Так как

,

то исследуемый ряд расходится (если при n®¥ существует конечный отличный от нуля предел отношения общих членов рядов, то есть =k ¹0 то рассматриваемые ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся).

ПРИМЕР 6. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать сходимость ряда: .

Решение. Применим признак Даламбера:

; ;

Так как q<1, то по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

ПРИМЕР 7. Исследовать сходимость ряда, пользуясь интегральным признаком Коши:

.

Решение. Применим интегральный признак сходимости Коши.

Для данного ряда: .

Вычислим несобственный интеграл:

=

Так как несобственный интеграл сходится, то по интегральному признаку сходится и исследуемый ряд.

ПРИМЕР 8. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда по признаку Лейбница: .

Решение. Данный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают, так как ; . Следовательно, по признаку Лейбница этот ряд сходится. Если составить ряд из абсолютных величин членов данного ряда, то получим гармонический ряд, который расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.

ПРИМЕР 9. Найти интервал сходимости (-R;R) степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала, т.е. при x = R и при x = -R: .

Решение. Здесь

Таким образом, . При получаем числовой знакочередующийся ряд который сходится по признаку Лейбница.

При получаем гармонический ряд, который, как известно, расходится. Следовательно, область сходимости ряда есть промежуток [-3,3).

ПРИМЕР 10. Вычислить следующие определенные интегралы с точностью до 0.001: а) ,b) , c) .

Чтобы, выполнить задание, нужно разложить подынтегральную функцию в ряд по формуле Тейлора или воспользоваться разложениями основных элементарных функций в ряд Тейлора:

, ,

,

а) Вычислить с точностью до 0,001..

Решение. Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции на 2 x, получим:

Тогда

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютному значению меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов. Следовательно,

b) Вычислить с точностью до 0,001..

Решение. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрируем почленно полученный сходящийся ряд в указанных пределах. Заменив в разложении функции x на - x ², получим искомое разложение:

Следовательно,

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как шестой член этого ряда по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения требуемой точности достаточно учесть только сумму первых пяти членов.

Таким образом,

c) Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. = .

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для этого положим в разложении функции

и заменим x на x² :

Так как отрезок интегрирования [0; 0,5] принадлежит области сходимости полученного ряда (-1,+1), то интегрирование можно выполнять почленно в указанных пределах:

В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001. Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только первые три члена ряда.

= 0,4875

Так как первый из отброшенных членов имеет знак минус, то полученное приближенное значение будет с избытком. Поэтому ответ с точностью до 0,001 равен 0,487.

ПРИМЕР 11.При указанных начальных условиях найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции , являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

а) , .

Решение. Положим, что искомое частное решение имеет вид

Из начальных условий уже известны . Подставив эти значения в заданное уравнение, вычислим

.

Последовательно дифференцируя данное уравнение, будем иметь:

Теперь вычислим значения производных при x = 0:

Следовательно, , или

есть искомое частное решение.

b) ,

Решение. Будем искать частное решение в виде степенного ряда, разложенного по степеням (x -2).

Так как уже известны, то, подставив их в заданное уравнение, получим :

;

Определим значение Для этого дважды дифференцируем данное уравнение и вычисляем значения производных при x =2:

Подставив найденные значения производных в ряд, получим

искомое частное решение.

Поиск по сайту: