АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. ПРИМЕР 9. Найти интервал сходимости (-R;R) степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала

Читайте также:
  1. B. Любая матричная игра имеет решение, по крайней мере, в смешанных стратегиях
  2. а затем полное обоснованное решение и ответ
  3. Архитектурно строительное и конструктивное решение здания
  4. Архитектурное решение улиц и проездов
  5. В десятидневный срок сайентологи получили разрешение замминистра здравоохранения Агапова на внедрение своей программы в России
  6. В кассационной жалобе ЗАО «Астор», ссылаясь на нарушение судом норм административного права, просит решение и постановление по делу отменить.
  7. В ходе какой встречи глав правительств США, СССР и Англии было принято представленное ниже решение? О чем еще, в ходе этой встречи, договорились Сталин, Рузвельт и Черчилль?
  8. В) имеющий разрешение для перевозки пищевых продуктов (санитарный паспорт).
  9. Вещественные доказательства, их хранение. Решение вопроса о вещественных доказательствах при разрешении уголовного дела.
  10. Выбор и разрешение
  11. Выдвижение и решение ведущих воспитательных задач в процессе формирования у учащихся дисциплины и культуры поведения
  12. Г) перечень типовых управленческих документов, образующихся в деятельности организации, с указанием сроков их хранения

ПРИМЕР 9. Найти интервал сходимости (-R;R) степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала, т.е. при x = R и при x = -R: .

Решение. Здесь

Таким образом, . При получаем числовой знакочередующийся ряд который сходится по признаку Лейбница.

При получаем гармонический ряд, который, как известно, расходится. Следовательно, область сходимости ряда есть промежуток [-3,3).

ПРИМЕР 10. Вычислить следующие определенные интегралы с точностью до 0.001: а) ,b) , c) .

Чтобы, выполнить задание, нужно разложить подынтегральную функцию в ряд по формуле Тейлора или воспользоваться разложениями основных элементарных функций в ряд Тейлора:

, ,

,

а) Вычислить с точностью до 0,001..

Решение. Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции на 2 x, получим:

Тогда

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютному значению меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов. Следовательно,

b) Вычислить с точностью до 0,001..

Решение. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрируем почленно полученный сходящийся ряд в указанных пределах. Заменив в разложении функции x на - x 2, получим искомое разложение:

Следовательно,

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как шестой член этого ряда по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения требуемой точности достаточно учесть только сумму первых пяти членов.

Таким образом,

c) Вычислить с точностью до 0,001.

Решение. = .

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для этого положим в разложении функции

и заменим x на x2 :

Так как отрезок интегрирования [0; 0,5] принадлежит области сходимости полученного ряда (-1,+1), то интегрирование можно выполнять почленно в указанных пределах:

В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001. Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только первые три члена ряда.

= 0,4875

Так как первый из отброшенных членов имеет знак минус, то полученное приближенное значение будет с избытком. Поэтому ответ с точностью до 0,001 равен 0,487.

 


Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (2.741 сек.)