РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. В ЗАДАЧАХ №№ 1 – 30 для дифференциальных уравнений без начальных условий найти их общие решения

Типовой расчет 9

В ЗАДАЧАХ №№ 1 – 30 для дифференциальных уравнений без начальных условий найти их общие решения. При наличии начальных условий найти соответствующие этим условиям частные решения.

Вариант 1	Вариант 2
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4. ; ;	4. ; ;
5.	5.
6.	6.

Вариант 3	Вариант 4
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4. ; ;	4. ; ;
5.	5.
6.	6.

Вариант 5	Вариант 6
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4. ; ;	4.
5.	5.
6.	6.

Вариант 7	Вариант 8
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4. ;	4. ; ;
5.	5.
6.	6.

Вариант 9	Вариант 10
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4. ; ;	4. ; ;
5.	5.
6.	6.

Вариант 11	Вариант 12
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4.	4.
5.	5.
6.	6.

Вариант 13	Вариант 14
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4.	4.
5.	5.
6.	6.

Вариант 15	Вариант 16
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4.	4.
5.	5.
6.	6.

Вариант 17	Вариант 18
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4. ; ;	4. ; ;
5.	5.
6.	6.

Вариант 19	Вариант 20
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4. ; ;	4. ; ;
5.	5.
6.	6.

Вариант 21	Вариант 22
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4. ; ;	4. ; ;
5.	5.
6.	6.
Вариант 23	Вариант 24
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4.	4.
5.	5.
6.	6.

Вариант 25	Вариант 26
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4.	4.
5.	5.
6.	6.

Вариант 27	Вариант 28
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4.	4.
5.	5.
6.	6.

Вариант 29	Вариант 30
1.	1.
2.	2.
3. ;	3. ;
4.	4.
5.	5.
6.	6.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ.

ПРИМЕР 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к классу уравнений с разделяющимися переменными.

Учитывая, что , уравнение запишется в виде .

Разделяем переменные: .

Интегрируем обе части равенства и получаем общее решение уравнения: .

Вычислим интегралы:

;

.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид ;

ПРИМЕР 2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Разделим обе части уравнения на x, получим . Представим искомую функцию в виде произведения: , где - некоторая функция, тогда .

Исходное уравнение примет вид , или . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. После разделения переменных получаем .

Окончательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

ПРИМЕР 3. Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее заданному начальному условию (решить задачу Коши): .

Решение. Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Разделим обе части уравнения на x, получим . Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функций: , тогда

. Исходное уравнение примет вид , или .

Подберем функцию таким образом, чтобы выражение в скобках обращалось в нуль: (при нахождении функции постоянную величину C полагаем равной нулю).

Считая, что при выражение в скобках равно нулю, получим .

Вычислим интеграл методом интегрирования по частям:

.

Таким образом, , а общее решение исходного уравнения имеет вид .

Для нахождения частного решения уравнения воспользуемся начальным условием . Имеем , откуда .

Итак, исходное частное решение имеет вид .

ПРИМЕР 4. Найти частные решения следующих линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях:

1) ;

2) ;

3) .

Решение. 1) Характеристическое уравнение имеет вид . Решая, получаем два различных вещественных корня , тогда общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде

,

где - произвольные постоянные.

Дифференцируя, получаем

.

Подставляя в уравнения начальные условия, получаем систему

откуда . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид

.

2) Характеристическое уравнение имеет два равных корня , поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения запишется в виде

,

откуда

.

Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения :

Отсюда , поэтому искомое частное решение имеет вид

.

3) Характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня , поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде

.

Отсюда

.

Для определения значений , применяя начальные условия, получаем систему уравнений

Откуда .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

.

ПРИМЕР 5. Найти общие решения следующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1) ; .

Решение.

1) Найдем общее решение линейного однородного уравнения

.

Корни характеристического уравнения действительны и различны , тогда общее решение однородного уравнения записывается в виде

,

где - произвольные постоянные.

Правая часть заданного неоднородного уравнения относится к виду , где - многочлен степени n от переменной x. В нашем случае , поэтому, с учетом того, что один из корней уравнения совпадает с параметром , частное решение исходного неоднородного уравнения будем отыскивать в виде

,

где A и B – неопределенные коэффициенты. Находим

,

.

Подставляя в исходное уравнение и сокращая все слагаемые на множитель , получаем

или,

.

Отсюда получаем систему уравнений

Откуда .

Таким образом, общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

.

2) Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня , тогда общее решение однородного дифференциального уравнения записываем в виде

.

Правая часть заданного неоднородного уравнения относится к виду , так как в нашем случае нет совпадения корней характеристического уравнения с выражением , то частное решение исходного уравнения подбираем по формуле

,

где A и B – неопределенные коэффициенты. Для определения значений A и B находим

,

.

Подставляя в исходное уравнение, получаем

.

Откуда получаем систему уравнений

Отсюда .

Следовательно, .

Таким образом, общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

.

Поиск по сайту: