ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1. Материальная точка движется по следующему закону , где коэффициенты равны , . Определить вектор скорости, вектор ускорения и траекторию движения материальной точки.

Решение

Физическая система состоит из одного идеального объекта ‑ материальной точки. Задан формально закон ее движения. Следовательно, наша задача ‑ прямая задача кинематики: по известному закону движения определить один или несколько параметров движения. Находим компоненты радиус-вектора:

, , . (1)

Таким образом, движение материальной точки происходит в плоскости XOY. Далее определяем компоненты вектора скорости:

, . (2)

Находим компоненты вектора ускорения:

, . (3)

С учетом численных значений и запишем выражения для векторов скорости и ускорения в следующем виде:

, (4)

. (5)

Для получения уравнения траектории исключим время t из системы уравнений (1). Тогда получим уравнение кривой, по которой движется материальная точка:

.

Итак, траекторией движения материальной точки является парабола.

Задача 2. Груз массой 700 кг падает с высоты 5 м для забивки сваи массой 300 кг. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая входит в грунт на глубину 4 см. Удар между грузом и сваей считать абсолютно неупругим.

Решение

По условию задачи удар неупругий и поэтому груз и свая после удара двигаются вместе, их путь . На движущуюся систему действует сила

тяжести и сила сопротивления грунта F_ср, которую можно определить из формулы работы сил сопротивления. По закону сохранения энергии

, (1)

где Т – кинетическая энергия, П ‑ потенциальная энергия, А ‑ работа сил сопротивления, которую можно определить по формуле . При движении системы на пути s ее потенциальная и кинетическая энергии изменяется следующим образом: , , где ‑ общая скорость груза и сваи после удара (в начале их совместного движения). Используя эти условия, перепишем выражение (1) в виде:

. (2)

Для оценки средней силы сопротивления установим значение общей скорости груза и сваи, для чего применим закон сохранения импульса:

. (3)

Для системы «груз‑свая» закон сохранения импульса имеет вид:

, (4)

где ‑ скорость груза в конце падения его с высоты h, ‑ количество движения или импульс груза в конце его падения до удара о сваю, ‑ импульс груза и сваи после удара. Скорость груза в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения:

. (5)

Общая скорость груза и сваи после удара находится из формул (4) и (5):

. (6)

Определим среднюю силу сопротивления материала из формул (2) и (6):

, (7)

. (8)

Произведем численный расчет:

.

Проверим единицу измерения полученной величины:

.

Задача 3. В закрытом сосуде емкостью 3 м ³ находятся 1,4 кг азота и 2 кг гелия. Определить температуру газо­вой смеси и парциальное давление гелия, если парциаль­ное давление азота равно 1,3 атм.

Решение

Задачу решаем на основании уравнения Клапейрона ‑ Менделеева. Под парциальным давлением p_i понимаются то давление, которое произво­дил бы соответствующий этот газ, если бы только он один находился в со­суде. Парциальное давление гелия и температура газовой смеси определяется из уравнений Клапейрона – Менделеева для каждого компонента газовой смеси:

, (1)

, (2)

Из (1) находим температуру и потом из (2) можно определить парциальное давление гелия:

. (3)

Подставим все величины в формулы (1) и (3), прове­дем вычисления температуры и давления: , .

Проверим единицы измерения полученных величин:

, .

Задача 4. Вычислить величину совершенной работы и изменение внутренней энергии 1,0 кг воды, когда она полностью выкипает и превращается в пар при температуре 100° C. Давление считать постоянным и равным 1,0 атм.

Решение

Объем 1,0 кг воды при температуре 100° C равен . Из таблиц находим, что пар массой 1,0 кг при 100° C занимает 1,67 м ³. Переведя величину давления пара в систему единиц СИ, получим . Следовательно, работа, совершенная при постоянном давлении равна

. (1)

Количество теплоты, необходимое для полного выкипания 1,0 кг воды, равно теплоте испарения . Используя первое начало термодинамики, получим

. (2)

Таким образом, лишь 8% сообщенной воде теплоты используется для совершения работы. Остальные 92% теплоты идут на увеличение внутренней энергии воды.

Поиск по сайту: