Элементы зонной теории твердых тел

Физика твердого тела.

Физикой твердого тела (ФТТ) называется раздел физики, в котором изучаются свойства кристаллов с микроскопической точки зрения. С точки зрения ФТТ любой кристалл состоит из ионных островов и внешних электронов. Ионный остров – ядро с окружающими его электронами внутренних оболочек.

Элементы зонной теории твердых тел

1. Образование энергетических зон кристалла. Их внутренняя структура.

Твердое кристаллическое тело рассматривается в зонной теории твердых тел как строго периодическая структура, в которой атомные ядра создают периодическое электрическое поле. Задача состоит в описании поведения электронов в этом поле.

Точное решение уравнения Шредингера для такой системы невозможно и, поэтому, используют различные упрощающие приближения, позволяющие свести задачу многих тел к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле.

В основе зонной теории лежит так называемое адиабатическое приближение.

Квантово-механическая система разделяется на тяжелые и легкие частицы — ядра и электроны. Поскольку массы и скорости этих частиц значительно различаются, можно считать, что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Принимая, что ядра в узлах кристаллической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер.

Далее используется приближение самосогласованного поля. Взаимодействие данного электрона со всеми другими электронами заменяется действием на него стационарного электрического поля, обладающего периодичностью кристаллической решетки. Это поле создается усредненным в пространстве зарядом всех других электронов и всех ядер.

Таким образом, в рамках зонной теории многоэлектронная задача сводится к задаче движения одного электрона во внешнем периодическом поле — усредненном и согласованном поле всех ядер и электронов.

Атомы, находящиеся на значительном расстоянии друг от друга, не взаимодействуют друг с другом. По мере уменьшения расстояния r между ядрами атомов возрастают силы взаимного притяжения. Однако на малых расстояниях проявляют свое действие силы взаимного отталкивания. Эти силы не позволяют электронам данного атома проникать слишком глубоко внутрь электронных оболочек другого атома. Силы притяжения и отталкивания различно зависят от расстояния между атомами. (рис.1)

Посмотрим, какое влияние оказывает взаимодействие между атомами при их сближении на энергетические уровни атомов.

Рассмотрим два атома натрия, расположенных на расстоянии r >> d постоянной решетки. На таком расстоянии взаимодействие между ними можно пренебречь и энергетическое состояние электронов в них можно считать таким же как в отдельно взятом изолированном атоме.

Изобразим энергетические сколы двух изолированных атомов натрия. (рис.2)

Каждый атом можно изобразить в виде плоской веретенообразной потенциальной ямы. Яма ограничена потенциальными кривыми, выражающими зависимость потенциальной энергии электрона от расстояния его от ядра

.(1)

Внутри ямы проведены энергетические уровни, на которых размещаются электроны

1s, 2s, 2p, 3s, и т.д.

На уровнях 1s и 2s располагаются по два электрон, на уровне 2р – шесть электронов, на уровне 3s – один электрон, уровни лежащие выше 3s являются свободными.

Атомы отделены друг от друга потенциальными барьерами толщиной r. Потенциальный барьер препятствует свободному переходу электронов от одного атома к другому. Подвергнем теперь решетку медленному однородному сжатию, не нарушающему ее симметрии. По мере сближения атомов взаимодействие между ними растет и на расстоянии r =d равных параметру решетки достигает нормальной своей величины. Изобразим энергетические схемы атомов в этом случае. (рис.3)

Рис.3

Из рис.3 видно, что потенциальные кривые, разграничивающие соседние атомы частично накладываются друг на друга и дают результирующую кривую, проходящую ниже нулевого энергетического уровня. Это означает, что сближение атомов вызывает уменьшение не только ширины потенциального барьера, препятствующего переходу электронов из одного атома в другой, но и его высоты. При r = d высота этого барьера оказывается ниже первоначального положения энергетического уровня 3s. Поэтому эти электроны приобретают способность беспрепятственно переходить от одного атома к другому и свободно странствовать по кристаллу.

Уменьшение потенциальной энергии электронов при сближении атомов приводит к смещению их энергетических уровней.

На рис.3 пунктиром показано положение энергетических уровней в изолированном атоме, сплошными линиями - положение этих уровней в кристалле. Наиболее сильно смещаются эти верхние уровни электронов, т.к. здесь наблюдается наибольшее изменение потенциальной энергии.

Уровни внутренних электронов, потенциальная энергия которых почти не меняется при образовании кристаллов, остаются на своих местах.

Взаимодействие атомов при образовании кристаллической решетки приводит еще к одному важному результату - к расщеплению энергетических уровней атомов и превращению их в кристалле в энергетические зоны.

Образование зонного энергетического спектра электронов в кристалле может быть объяснено исходя из соотношения неопределенностей.

.(2)

Для изолированного атома электрон может находиться в возбужденном состоянии Δt = 10^-8 с. Подсчитаем ширину энергетического уровня

, ΔЕ = 10^-7 эВ,

т.е. в изолированном атоме уровень имеет определенное значение. В кристалле валентные электроны могут переходить от одного атома к другому. Вследствие чего для кристалла время пребывания электрона вблизи своего атома составляет Δt = 10^-15 с. Подставляя это значение в формулу (2), получим ΔЕ = 1 эВ.

Таким образом, вместо электронного энергетического уровня в изолированном атоме шириной ΔЕ = 10^-7 эВ в кристалле возникает зона дозволенных значений энергии с шириной порядка 1 эВ, т.е. 10⁷ раз шире, чем в изолированном атоме.

Следует заметить, что такая картина наблюдается только для валентных электронов. Внутренние электроны имеют ничтожную вероятность перехода к другому атому. Энергетические уровни этих электронов в кристалле такие же узкие как и в отдельно взятом атоме.

Поиск по сайту: