Подпространство решений ОСЛУ

Базис системы векторов.

Определение1. Пусть дана конечная система векторов S пространства Rⁿ. Её базисом называется любая подсистема B, удовлетворяющая следующим условиям: а)B линейно не зависима;б)S линейно выражается через B. Теорема 1. Любая система векторов S пространства Rⁿ, содержащая хотя бы один не нулевой вектор, имеет базис. (с доказательством) Теорема 3. Любые два базиса системы S состоят из одинакового числа векторов.

Определение 2. Рангом системы векторов S называется число векторов в любом её базисе. Обозначение: rank(S).

Определение 3. Базисом пространства Rⁿ называется любая система векторов B, удовлетворяющая следующим условиям: а)B линейно независима; б)любой вектор пространства Rⁿ линейно выражается через B.

Теорема 4. Любой базис пространства Rⁿ состоит из n векторов.

Теорема5. Всякая линейно независимая система из n векторов пространства Rⁿ является его базисом.

Лекция 4. Вопрос 8.

Определение1. Не пустое подмножество L пространства Rⁿ называется подпространством, если выполняются следующие условия:

а) если x ∈ L и y ∈ L, то x+y ∈ L;

б) если x ∈ L и λ ∈ R, то λ x ∈ L.

Условия а)и б)означают, что подмножество L замкнуто относительно векторных

операций, т.е. результат выполнения этих операций над векторами из L не должен оказаться вне L. Тривиальными подпространствами называются нулевое подпространство {0} и само пространство Rⁿ.

Определение 2. Базисом подпространства L называется любая система B векторов из L, удовлетворяющая условиям:

а) B линейно независима;

б ) любой вектор подпространства L линейно выражается через B.

Теорема 1. Всякое подпространство L ≠{0} пространства Rⁿ имеет базис. Любые два базиса L содержат одно и то же число векторов, не превосходящее n.

Определение3. Размерностью подпространства L называется число векторов в любом базисе этого подпространства. Обозначение: dim(L). Dim (Rⁿ)=n. Размерность нулевого пространства равна нулю.

Подпространство решений ОСЛУ.

Каждое решение ОСЛУ x^∗=(x^∗₁,...,x^∗_n) можно интерпретировать как вектор пространства Rⁿ, а всё множество решений — как некоторое подмножество L пространства Rⁿ.

Какой-нибудь базис подпространства решений L ОСЛУ, называют фундаментальной системой решений.

Лекция 5. Вопрос 9

Определение 2. Строчечным рангом матрицы A называется rank(S). Лемма. Пусть S₁ и S₂— две системы векторов в пространстве Rⁿ, причём S² линейно выражается через S₁. Тогда rank(S₂) ≤ rank(S₁) Теорема 1. При элементарных преобразованиях строк матрицы её строчечный ранг не меняется. Теорема 2. Строчечный ранг ступенчатой матрицы равен числу её строк. Определение 3. Столбцовым рангом матрицы A называется rank(T). Теорема 3. Столбцовый ранг матрицы равен её строчечному рангу.

Лекция 6. Вопрос 10.

Теорема Кронекера—Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когдаrank(A) = rank(A^---). (ранг расширенной матрицы)

Критерий однозначной разрешимости СЛУ:

Теорема 2. СЛУ однозначно разрешима тогда и только тогда, когда rank(A)=rank(A^---) = n.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Случай однозначной разрешимости СЛУ(1) характеризуется тем, что вектор b должен единственным образом линейно выражаться через систему векторов a₁,...,a_n. Как мы уже знаем, условие «должен линейно выражаться» равносильно равенству(3), а условие «единственным образом» равносильно, как нетрудно понять, линейной не зависимости системы векторов a₁,...,a_n, т.е. равенству rank(A)=n.

Лекция 7. Вопрос 11.

Определение 1. Пусть заданы две матрицы A=(a_ij) и B=(b_ij) одинакового размера. Матрицы C=(c_ij) и D=(d_ij) называются соответственно суммой матриц A и B и произведением матрицы A на число λ, если c_ij=a_ij+b_ij, d_ij=λa_ij для всех i,j. Обозначения: C=A+B и D=λA.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой суть

нули, а матрицей, противоположной матрице A=(a_ij) — матрица −A=(−a_ij).

Свойства операций над матрицами:

1. Умножение матриц некоммутативно, т.е., вообще говоря, AB≠ ВА.

2. Умножение матриц ассоциативно: (AB)C = A(BC).

3. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения: A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA.

Свойства транспонированных матриц:

1. (A+B)^t = A^t+B^t. 2. (λA)^t = λA^t. 3. (AB)^t = B^tA^t.

Единичная матрица: такая матрица, что при умножении на нее ни чего не происходит! АЕ = ЕА = А. Играет роль обычной единицы при умножении.

Обратимая матрица: Матрица A называется обратимой, если существует такая матрица B, что AB=BA=E. Эта матрица B называется обратной к матрице A. Обратимость матрицы. Матрица A обратима тогда и только тогда, когда rank(A)=n.

Лекция 8. Вопрос 13-14

Количество перестановок: Число всех перестановок элементов множества Ω равно n!—произведению первых n натуральных чисел.

Подстановкой на множестве Ω называется взаимно-однозначное соответствие между элементами множества Ω.

Неподвижная подстановка: Если для некоторого k∈Ω имеем α(k)=k, то элемент k называется неподвижным относительно подстановки α. Столбцы таблицы можно переставлять, не меняя смысла.

Произведение подстановок: Пусть α,β∈S_n. Произведением подстановки α на подстановку β называется такая подстановка γ∈S_n, выполнение которой эквивалентно последовательному выполнению подстановки α, а затем подстановки β. Обозначение: γ=αβ.

Свойства подстановок: 1) умножение подстановок некоммутативно, т.е, αβ≠βα. 2) обладает свойством ассоциативности: (αβ)γ=α(βγ) для любых подстановок α,β,γ.

Тождественная подстановка: такая подстановка ε, в которой нет перестановки.

Обратная подстановка: Для данной подстановки α∈S_n подстановка β∈S_n называется обратной, если αβ=βα=ε.

Любую подстановку можно разложить в произведение попарно независимых циклов. Это разложение единственно, если не учитывать порядок сомножителей в произведении.

Четность (не четность подстановок).

Декрементом подстановки α∈ S_n называется целое число d(α)=n−(s+t),

где s—число независимых циклов, в произведение которых разлагается α,а t—число

элементов, неподвижных относительно α. Подстановка α называется чётной (нечётной), если её декремент d(α) чётен (нечётен).

Теорема3. При умножении подстановки на транспозицию (как слева, так и справа) чётность подстановки меняется.

Лекция 9. Определитель матриц. Вопрос 15.

Аля «правило треугольников»

Свойства определителей: 1) При транспонировании матрицы определитель не меняется.

2) При перестановке двух строк матрицы определитель меняет только знак.

3) Если строку матрицы умножить на число, то определитель тоже умножится на это же число.

4) Определитель матрицы не изменится, если к какой-либо строке матрицы прибавить другую предварительно умноженную на какое-либо число λ.

5) Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Критерий равенства определителя нулю: det(A) = 0 тогда и только тогда, когда rank(A)<n.

Невырожденная матрица: такая матрица, у которой det(a) ≠ 0 и rank(A) = n.

Матрица обратима тогда, и только тогда, когда она не вырождена.

Мультипликативное свойство определителя: det(AB) = det(A)det(B).

Билет 17

Определение 1. Минором M(I,J) матрицы A, расположенным в строках с номерами из I и столбцах с номерами из J, называется det(A(I,J)).

Определение2. Минором M_ij матрицы A, соответствующим элементу a_ij, называется определитель подматрицы, получающейся из A вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Число Aij=(-1)i+jMij называется алгебраическим дополнением aij.

Поиск по сайту: