Алгоритм нахождения обратной матрицы

Методические указания к проведению лекционного занятия

Тема № 1.3. Обратная матрица

План:

1. Определение

2. Алгоритм нахождения обратной матрицы

Определение

Обратной для матрицы А называется такая матрица (обозначают: А ^-1), которая удовлетворяет условиям:

А×А ^–1 = А ^-1×А = Е, (1)

где Е - единичная матрица.

Заметим, что А ^-1 не означает 1/А, так как нет операции деления для матриц. Кроме того, из условий (1) следует, что только квадратная матрица может иметь обратную матрицу.

Если det A = 0, то обратной матрицы для А не существует.

Если det A = D ¹ 0, то матрица А называется невырожденной, обратная матрица для неё существует и вычисляется по формуле:

А ^-1 = ,

где A_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij.

Матрицы А и А ^-1 называются взаимообратными. Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

На практике обычно используют следующую схему вычисления обратной матрицы:

1) находят det A = D (если D= 0, то обратной матрицы для А не существует);

2) находят алгебраические дополнения всех элементов a_ij матрицы А и записывают новую матрицу:

;

3) транспонируют матрицу :

;

4) умножают матрицу на число 1/D, получают обратную матрицу:

А ^-1 .

Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы А = .

Решение. 1) Вычислим det A = D = 2×3 - (-1)×4 = 6 + 4 = 10.

Так как D ¹ 0, то обратная матрица существует.

2) Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А: А ₁₁ = (-1)¹⁺¹ ×3 = 3; А ₁₂ = (-1)¹⁺² ×4 = - 4; А ₂₁ = (-1)²⁺¹×(-1) = 1;

А ₂₂ = (-1)²⁺² ×2 = 2. Составим матрицу = .

3) Транспонируем матрицу : ^Т= .

4) Вычислим обратную матрицу:

^Т .

5) Проверим полученный ответ:

А×А ^-1= .

Иллюстрации:

Презентация «Матричная алгебра»

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение обратной матрицы

2. Запишите формулу для нахождения обратной матрицы

3. Какие матрицы называются взаимнообратными?

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

Поиск по сайту: