Наращение по простой процентной ставке

Проценты и виды процентных ставок.

Под процентными деньгами или процентами понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д.

Процентная ставка - это относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т.е. отношение процентных денег к сумме долга за единицу времени (в % или в виде дроби).

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления (год, полугодие, квартал, месяц, день).

Проценты различаются по базе для их начисления (постоянная или последовательно изменяющаяся). При постоянной базе используются простые, а при переменной используются сложные проценты.

Существуют два способа расчетов процентов:

· наращение на сумму долга;

· скидка с конечной сумы задолженности.

Проценты, полученные по ставке наращения, называют декурсивными (просто проценты), а по учетной ставке называют антисипативными.

Маржа – это разница между процентной ставкой уплачиваемой банком за кредитные ресурсы, и процентной ставкой, взимаемой с заемщика. Размер маржи может быть постоянным на протяжении всего срока ссудной операции или переменным, что зависит от ряда условий:

· финансовым положением заемщика;

· сроком кредита и т.д.

Фиксированные процентные ставки могут быть постоянными или переменными, в контракте указывается их размер.

В практических расчетах применяются так называемые дискретные проценты, то есть проценты, начисляемые за фиксированные в договоре интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Время рассматривается как дискретная переменная.

Наращение по простой процентной ставке.

Первоначальную суму ссуды (долга, депозита и т.д.) с начисленными процентами к концу срока называют наращенной суммой.

P - первоначальная сумма долга;

i - годовая процентная ставка(ставка наращения), выражается десятичной дробью;

n – срок ссуды в годах;

I – проценты за весь срок ссуды;

S – наращенная сумма в конце срока.

Начисленные проценты за весь срок ссуды:

Наращенная сумма:

- формула наращения по простым процентам.

Множитель наращения по простых процентов:

График роста по простым процентам:

Таким образом, наращенная сумма определяется умножением первоначальной сумы долга на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.

1.3. Методы расчета процентов для краткосрочных ссуд.

Если срок ссуды меньше года, то при вычислении наращенной суммы и процентов общий срок ссуды выражают в виде дроби:

где t – число дней ссуды; K - число дней в году.

На практике применяются три способа расчета простых процентов:

· Первый способ – точные расчеты с точным числом дней ссуды.

· Второй способ – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.

· Третий способ - обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

·

1.4. Начисление процентов в смежных календарных периодах.

Часто даты начала и окончания срока ссуды нахордятся в двух смежных календарных отрезках времени. Тогда начисленные проценты не могут быть целиком отнесены к одному из них.

График изменения наращенной сумы при сроке ссуды, захватывающем смежные календарные периоды.

Пусть общий срок ссуды, длительностью менее двух лет, делится на два периода (n₁ и n₂). В этом случае начисленные проценты рассчитываются по формуле:

1.5. Переменные процентные ставки.

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются переменные ставки в разные периоды начисления. При простых переменных ставках наращенная на конец срока сума определяется следующим образом:

где - ставка простых процентов в периоде t, t=1, 2,..., k; n_t – продолжительность периода, – срок ссуды.

1.6. Реинвестирование.

Иногда в практике при вложении средств в краткосрочные депозиты прибегают к последовательному не однократному повторению наращения по простым процентам полученным на каждом этапе наращения средств, то есть реинвестированию.

Наращенная сума для всего срока определяется следующим образом:

где i_t – ставки, по которым производится реинвестирование; n_t – периоды начисления по соответствующим процентным ставкам.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то наращенная сумма с учетом реинвестирования:

где m – количество реинвестиций.

Задания:

Задача №1:

1.1. Определить проценты и сумму накопленного долга, если ссуда P=60 тыс. руб. срок ссуды n=3 года, проценты простые, годовая ставка i=33 %.

Решение:

Накопленные проценты за весь срок ссуды:

Сумма накопленного долга за весь срок ссуды:

1.2. Постройте график наращенной суммы в масштабе в зависимости от срока ссуды:

1.3. Определить, во сколько раз измениться наращенная сумма при увеличение процентной ставки в два раза.

Задача №2:

Ссуда в размере P=120 тыс. руб. выдана на срок от 20.02. по 20.09. под i=30 % годовых. Определить сумму накопленного долга в конце срока тремя методами, применяемыми на практике. Сравните полученные результаты.

Решение:

1 способ:

2 способ:

3 способ:

Задача №3:

Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов в первый год ставка i=33 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1 %. Определить множитель наращения за весь срок ссуды n=3 года.

Задача №4:

Какова должна быть продолжительность ссуды в днях, чтобы долг, равный P=80 тыс. руб., вырос до S=110 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по договорной ставке i=10,5 % годовых плюс маржа m=0,5 %(K=365)?

Решение:

отсюда

отсюда

Задача №5:

В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме S=120 млн. руб. через t=90 дней. Первоначальная сумма долга – P=70 млн. руб. Определить доходность ссудной операции для кредитора в виде годовой ставки процента(K=360).

Решение:

отсюда

отсюда

2. Сложные проценты.

2.1. Начисление сложных годовых процентов.

Если в средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга для наращения, как правило применяются сложные проценты. В отличие от простых процентов, где база при начислении остается постоянной, база при начислении сложных процентов увеличивается с каждым шагом во времени. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

Присоединение начисленных процентов к сумме, являющейся базой для их начисления, называют капитализацией процентов.

Формула для расчета наращенной суммы при условии, что сложные проценты начисляются и капитализируются один раз в году. Годовую сложную процентную ставку обозначим i_c. Тогда наращенная сумма в конце года составит:

В конце второго года:

В конце n-го года наращенная сумма: – формула сложных процентов.

Проценты на этот период рассчитываются по формуле:

Проценты для некоторого промежуточного года t определяются по формуле:

где t=1, 2, …, n.

Множитель наращения по сложным процентам:

Рост по сложным процентам представляет собой процесс, следующий геометрической прогрессии, первый член которой равен P, знаменатель – (1+i_c), а последний член – наращенной сумме в конце срока.

2.2. Рост по сложным и простым процентам.

Для сопоставления наращения по сложным и простым стамвкам достаточно сравнить соответствующие множители наращения.при одинаковых уровнях процентных ставоксоотношение этих множителей существенно зависят от срока.

Наращение по сложным и простым процентам.

Соотношения множителей наращения для сроков:

а) n<1, q>q_c, т.е. (1+ni) > (1+ni_c)ⁿ;

б) n>1, q<q_c, т.е. (1+ni) < (1+ni_c)ⁿ;

в) n=1, q=q_c? если временная база для начисления процентов одна и та же, то наращенные суммы в двух случаях равны.

2.3. Формулы увеличения суммы долга в N раз.

При определении времени, необходимого для увеличения первоначальной суммы в N раз, нужно множители наращения приравнять к N:

а) для простых процентов 1+ni=N, откуда

б) для сложных процентов (1+ni_c)ⁿ=N, откуда

2.4. Начисление процентов в смежных календарных периодах.

Если даты начала и конца мссудной ссудной операции находятся в двух смежных календарных периодах, то иногда возникает задача определения процентов по периодам.

График наращения при сроке ссуды, захватывающем смежные календарные периоды.

Общий срок ссуды (пусть он меньше двух лет) делится на два периода, n₁ и n₂. Тогда начисленные проценты рассчитываются следующим образом:

где ,

В формуле общий срок ссуды n=n₁+n₂.

2.5. Переменные процентные ставки.

Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет изменять «классическую» схему начисления процентов, применяя плавающие ставки. В этом случае множитель наращения определяется как произведение частных множителей:

где – последовательные во времени значения процентных ставок;

n₁, n₂…n_k – периоды, в течение которого действуют соответствующие ставки.

2.6. Начисление процентов при дробном числе лет.

Часто срок для начисления процентов не является целым числом. Для некоторых операций в этих случаях проценты начисляются банками за целое число лет или других временных периодов.

В большинстве же случаев учитывае6тся полный срок. При этом применяются два метода. По первому, часто используется, расчет ведется по формуле . Второй, смешанный период за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть периода по формуле простых процентов:

где a+b=n: а – это целое число периодов; b – дробная часть периода.

2.7. Наращение процентов m раз в году.

Проценты могут капитализироваться банками не один, а несколько раз в году: по полугодиям, кварталам и т.д. при начисление процентов в этом случае можно воспользоваться формулой , однако параметр n в этих условиях будет означать число преиодов начисления, а под ставкой i_c следует понимать ставку за соответствующий период. Например, при поквартальном начислении процентов за 5 лет число периодов начисления составит: n=4*5=20.

На практике, как правило, в контрактах фиксируется не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления процентов, например: «14% годовых с поквартальным начислением процентов».

Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления в году равно m/ таким образом, проценты будут начисляться по ставке j/m. Ставку j называют номинальной.

Формулу наращения можно представить в виде:

где N – общие количество начисления (N=m*n); j– номинальная годовая ставка (десятичная дробь).

Заметим, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

Эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через i_э.

По определению, множители наращения по двум видам ставок (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:

Из равенства получим:

Как видим, эффективная ставка при m>1 больше номинальной, а при m=1, i_э=j.

Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку I, не изменяет обязательств участвующих сторон, т.е. обе ставка эквивалентны в финансовом отношении.

Задания:

Задача №1.

1.1. Какой величины достигает долг, равный P=140 тыс. руб., через n=3 года при росте по сложной годовой ставке i_c=24 %?

1.2. Постройте график наращенной суммы в масштабе в зависимости от срока ссуды.

Решение:

1.1.

1.2.

Задача №2.

1.1. Для сравнения множителей наращения по простым и сложным процентам (при условии i=i_c=24 %) произведите расчеты q и q_c для следующих периодов времени n=0,25; 0,5; 1; 5; 10 лет. Значение процентной ставки i=24 %. Результаты занесите в тамблицу.

1.2. Постройте графики множителей наращения в зависимости от срока ссуды в масштабе.

Решение:

1.1.

1.2. Постройте графики множителей наращения в зависимости от срока ссуды в масштабе.

Задача №3.

Найдите срок удвоения первоначального капитала, применяя сложные и простые проценты для ставки, значение которой возьмите из предыдущей задачи.

Решение:

1. Простые проценты:

2. Сложные проценты:

Задача №4.

Срок ссуды – n=8 лет, договорная процентная ставка - i_c=9 % годовых плюс маржа 0,5 % в первые два года и 0,75 % в оставшиеся. Определите множитель наращения.

Решение:

Задача №5.

Кредит в размере P=160 тыс. руб. выдан на a=6 лет и b=120 дней по i_c=15 % годовых. Определить сумму долга на конец срока общим и смешанным методами.

Решение:

Задача №6.

Суда выдана на срок n=4 года, номинальная годовая ставка j=12 %.

Определите множители наращения при различных начислениях: годовых, полугодовых, поквартальных, ежемесячных и ежедневных.

Результаты вычислений задачи занесите в таблицу.

Решение:

Задача №7:

В договоре указана номинальная ставка j=12 %, начисление процентов помесячное. Определите эффективную ставку.

Решение:

3. Погашение долга.

3.1. Погашение краткосрочных обязательств частичными платежами.

Краткосрочные обязательствам могут погашаться с помощью последовательности частичных платежей. Как в этом случае определяется остаток задолженности и какая сумма берется за базу для расчета процентов? На практике применяются два метода погашения краткосрочной задолженности: актуарный и метод, названный правилом торговца. Чаще при начислении процентов используется обыкновенные проценты с приближенным числом дней.

Актуарный метод применяется в основном в операциях со сроком более года. Начисление процентов производится на фактические суммы долга. Мчастичный платеж идет в основном на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Остаток долга служит базой для начисления процентов на следующий период.

Если частичный платеж меньше начисленных процентов, то то никакие зачеты в суме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу.

Погашение частичными платежами наглядно можно представить на графике, называемом контуром финансовой операции.

График погашения задолженности частичными платежами.

На графике приняты следующие обозначения: D₀ – первоначальная сума долга; T – срок ссуды; τ₁, τ₂, τ₃ – временные интервалы; R₁, R₂ – последовательные платежи; R₃ – остаток задолженности, выплачиваемый в конце срока; S₁, S₂, S₃ – наращение суммы в конце временных интервалов.

Последняя выплата должна полностью покрывать остаток задолженности. Сбалансированная финансовая операция обязательно имеет замкнутый контур.

При погашении задолженности по актуарному методу получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности:

Метод расчета по правилу торговца предусматривает другой подход к погашению задолженности. Здесь возможны два варианта.

1-й вариант. Если срок ссуды не превышает одного года, то сумма долга с начисленными за весь срок процентами остается неизменной до полного погашения долга. Параллельно идет накопление частичных платежей с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен сбалансировать долг и платежи.

2-й вариант. Если срок ссуды превышает год, то все указанные расчеты в первом варианте делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычисляется наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток долга погашается в следующем году.

Остаток долга на конец срока или года рассчитывается по формуле:

где D – первоначальная сума долга; S – наращенная сума долга; R – наращенная сумма платежей; R_j – сумма частичного платежа; n – общий срок ссуды; τ_j – интервал времени от момента платежа до конца срока ссуды или года.

Графическое изображение такой финансовой операции охватывает как бы два параллельных контура. Второй контур относится к промежуточному платежу.

График погашения задолженности по методу торговца.

3.2. Погашение долгосрочной задолженности.

Для количественного анализа долгосрочной задолженности можно выделить три цели:

1) Разработка погашения долга согласно принятым условиям финансового соглашения;

2) Оценка величины долга на любой момент времени с учетом всех поступлений платежей для его погашения и состояния денежного рынка на момент оценивания;

3) Анализ эффективности (доходности) финансовой операции для кредитора.

Разработка плана погашения заключается в составление графика периодических платежей заемщика.

Методы определения размера срочных уплат зависят от срока займа, уровня и вида процентных ставок, продолжительности льготного периода, методов уплаты процентов и способов погашения основной суммы долга.

В льготном периоде основной долг не выплачивается, а выплачиваются только проценты.

При определении срочных уплат будем использовать следующие обозначения: D – сумма задолженности; Y – срочная уплата; I – проценты по займу; I – ставка процента по займу; n – общий срок займа.

3.2.1. Погашение основного долга равными суммами (равными долями).

Если долг размере D, выданный на n лет, погашается равными суммами, тогда ежегодная выплата на погашение основного долга:

Размер основного долга со временем последовательно сокращается, соответственно и уменьшается выплачиваемые проценты, т.к. они начисляются на остаток долга.

Размер основного долга со временем последовательно сокращается, соответственно и уменьшаются выплачиваемые проценты, т.к. они начисляются на остаток долга.

Если платежи производятся в конце каждого года на протяжении всего срока ссуды, то схему расчета показателей плана погашения задолженности можно представить в виде, приведенном в таблице.

План погашения основного долга равными суммами.

Рассмотренный метод отличается простотой расчетов. Однако срочные уплаты в начале срока погашения выше, чем в конце, что часто является нежелательным для должника.

3.2.2. Погашение долга равными срочными уплатами.

В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга на протяжении всего срока его погашения. Общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процентов, остаток идет на погашение долга. Величина долга последовательно сокращается, соответственно уменьшаются процентные платежи и увеличиваются платежи по погашению долга.

План погашения равными срочными уплатами разрабатывается при условии, что задается срок погашения долга, либо фиксированная сума постоянных срочных уплат. Рассмотрим эти два случая.

1. Задан срок погашения долга.

Первый этап разработки плана погашения долга – это определение размера срочной уплаты Y. Затем эта величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После этого находятся остаток задолженности.

Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с постоянными параметрами.

Выведем формулу для расчета срочной уплаты Y постнумерандо.

Остатки долга будут определяться следующими выражениями:

в конце первого года: ;

в конце второго года: и т.д.

…

В конце n-го года:

Члены суммы в квадратных скобках представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем , первый член которой a₁=1? А последний – (1+i)^n-1. Используя формулу суммы n членов геометрической прогрессии:

Получим из формулы :

где a_n;i – коэффициент приведения годовой ренты

План погашения долга равными срочными уплатами.

2. Заданны расходы по обслуживанию долга.

Такая постановка задачи может возникнуть при разработке условий контракта. Ее решение, очевидно, заключается в определении срока погашения долга, корректировки первичных условий для достижения полной сбалансированности платежей.

Срок погашения долга легко находится из формулы:

отсюда

Очевидно, что это решение существует тогда, когда . Расчетное значение n в общем случае оказывается дробным. Поэтому его округляют до наименьшего целого числа. Однако при этом план не будет сбалансированным. Для его корректировки нужно найти новое значение Y или скомпенсировать остаток долга.

3.2.3. Переменные расходы по займу.

Условие равных срочных уплат (Y=const) не всегда оказывается удобным. Например, погашение долга может быть связанно с поступлениями средств от каких-либо источников и зависеть от ряда обстоятельств. В этом случае размеры срочной уплаты планируется в виде графика погашения долга. Размер последней срочной уплаты не задается. Она определяется как сумма остатка долга на начало последнего периода. Схема расчета показателей плана погашения долга приведена в таблице. Предполагается, что платежи производятся ежегодно постнумерандо.

План погашения долга переменными срочными уплатами.

Погашение долга может осуществятся последовательностью срочных уплат, предс

тавляющих собой арифметическую или геометрическую прогрессии. Вывод расчетных формул срочных уплат для этих случаев несложен.

Задача №1.

Имеется обязательство погасить долг в размере D₀=700 тыс. руб., выданный под i=24 % годовых, в определенный срок. Кредитор согласен получать частичные платежи. Срок займа с 10.06.96 по 30.12.97 года.

1.1. Определите остаток задолженности на конец срока займа.

1.2. Составить схему расчетов погашения задолженности.

1.3. Постройте контур финансовой операции в масштабе.

Решение:

1.1. =

1.2. План погашения задолженности.

План погашения долга переменными срочными уплатами.

Задача №2:

Долг в сумме D=750 тыс. руб. необходимо погасить последовательными равными

суммами за n=5 лет платежами постнумерандо. За заем выплачиваются проценты по ставке i=12 % годовых.

1.1. Составьте план погашения кредита.

1.2. Изобразите контур финансовой операции в масштабе.

Решение:

1.1.План погашения долга равными срочными уплатами.

1.2.

Задача №3:

Заем величиной D=750 тыс. руб. погашается равными, срочными уплатами, т. Е. рентой с параметрами Y=?, n, i.

1.1. Составьте план погашения займа.

1.2. Изобразите контур финансовой операции в масштабе.

Решение:

1.1.

1.2.

Задача №4:

Кредит в размере D=300 тыс. руб. решено погасить специальному графику за четыре года – размеры расходов по погашению долга по трем годам известны: 1 год – 100, 2 год – 60, 3 год – 80. Остаток выплачивается в конце четвертого года.

1.1. Составьте план погашения кредита при условии, что процентная ставка установлена на уровне i=16 %.

1.2. Изобразите контур финансовой операции в масштабе.

Решение:

1.1.

План погашения долга переменными срочными уплатами.

1.2.

Задача №5:

Кредит в размере D=200 тыс. руб. выдан под i=14 % годовых. Для погашения долга предпологается выделять сумму d=40 тыс. руб. Оцените велечину срока, необходимого для погашения задолженности. Округлите расчетный срок. Для сбалансированности плана погашения долга рассмотрите две возможности:

1. Рассчитайте новое значение срочных уплат γ;

2. При прежних уплатах рассчитайте остаток долга на последний год займа.

Решение:

1.1. лет

1.2. Остаток долга в конце 5-го года:

Поиск по сайту: